• 대한수학회보
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• 제54권1호
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• pp.253-264
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• 2017

We first extend Yano-Nomizu's theorem, which characterizes extrinsic spheres in a Riemannian manifold, for Riemannian maps. Then we introduce Clairaut Riemannian maps, give an example and obtain necessary and sufficient conditions for a Riemannian map to be Clairaut type.

• 호남수학학술지
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• 제41권4호
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• pp.707-724
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• 2019

We investigate the new Clairaut conditions for anti-invariant submersions whose total manifolds are cosymplectic. In particular, we prove the fibers of a proper Clairaut Lagrangian submersion admitting horizontal Reeb vector field are one dimensional and classify such submersions. We also check the existence of the proper Clairaut anti-invariant submersions in the case of the Reeb vector field is vertical. Moreover, illustrative examples for both trivial and proper Clairaut anti-invariant submersions are given.

• 한국수학사학회지
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• 제34권1호
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• pp.1-20
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• 2021

Logic and intuition are considered as the opposite extremes of teaching geometry, and any teaching method of geometry is to be placed between these extremes. The purpose of this study is to identify the characteristics of logical and intuitive approaches for teaching geometry and to derive didactical implications by taking Euclid's Elements and Clairaut's Elements respectively representing the extremes. To this end, comparing the composition and contents of each book, we analyze which propositions Clairaut chose from Euclid's Elements, how their approaches differ in definitions, proofs, and geometrical constructions, and what unique approaches Clairaut took. The results reveal that Clairaut mainly chose propositions from Euclid's books 1, 3, 6, 11, and 12 to provide the contexts that show why such ideas were needed, rather than the sudden appearance of abstract and formal propositions, and omitted or modified the process of justification according to learners' levels. These propose a variety of intuitive strategies in line with trends of teaching geometry towards emphasis on conceptual understanding and different levels of justification. Specifically, such as the general principle of similarity and the infinite geometric approach shown in Clairaut's Elements, we could confirm that intuition-based geometry does not necessarily aim for tasks with low cognitive demand, but must be taught in a way that learners can understand.

• 호남수학학술지
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• 제45권1호
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• pp.109-122
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• 2023

In the present article, we introduce pointwise slant Riemannian submersion from nearly Kähler manifold to Riemannian manifold. We established the conditions for fibers to be totally geodesic. We also find necessary and sufficient conditions for pointwise slant submersion 𝜑 to be a harmonic and totally geodesic. Further, we study clairaut pointwise slant Riemannian submersion from nearly Kähler manifold to Riemannian manifold. We derive the clairaut conditions for 𝜑 such that 𝜑 is a clairaut map. Finally, one example is constructed which demonstrates existence of clairaut pointwise slant submersion from nearly Kähler manifold to Riemannian manifold.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제17권3호
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• pp.253-270
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• 2007

18세기 프랑스의 수학자 A.C. Clairaut는 역사발생적 원리에 근거하여 기하 교재에 이어 대수 교재 <대수학 원론>을 집필하였다. 본 논문은 <대수학 원론>을 분석함으로써 대수 지도를 위해 Clairaut가 의도한 원리 및 구체적인 방식의 특징들을 고찰하고, 학교 수학에서 대수 영역의 교수-학습과 비교, 논의함으로써 적용 가능한 교수학적 시사점을 찾는 것을 목표로 한다. 이를 위해 <대수학 원론>의 구성 및 내용에 대해 개관하고 초보자의 정신에 자연스럽게 전개한다는 Clairaut의 의도에서 비롯된 대수 지도 원리의 여섯 가지 특징을 추출한다. 이 중에는 <기하학 원론>에서의 특징과 공통적인 것도 있고 대수라는 내용 영역상의 구별에서 비롯되는 독특한 것도 있다. 그리고 학교 수학의 대수 영역 중 특정 주제-방정식 세우기, 문자식의 계산과 문자의 부호, 곱셈의 부호 규칙, 이차방정식의 해법, 근과 계수와의 일반적 관계-와 관련하여 논의하고 시사점을 찾는다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제13권3호
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• pp.351-364
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• 2003

Clairaut의 <기하학 원론>은 Euclid의 <원론>의 논리-연역적인 전개 방식에 대항하여 역사발생적 원리에 입각하여 쓰여진 최초의 기하 교재이다. 본 논문은 <기하학 원론>을 고찰함으로써 Clairaut가 생각한 역사발생적 원리를 파악하고, 아울러 학교 수학에의 적용 방안을 탐색하는 것을 목표로 한다. 이를 위해, <기하학 원론>의 내용 전개 방식으로부터 저자의 기본 아이디어에서 비롯된 다섯 가지 특징을 추출한다. 필요에 의한 기하의 출현, 실생활 문제 해결을 통한 접근, 초보자에게 자연스런 방법으로서 직관적 요소와 논리적 요소의 조화, 기본 원리의 파악, 활동적 원리의 구현. 이러한 특징은 Clairaut의 역사발생적 원리를 구체적으로 드러내며, 기하 영역의 교재 구성 및 교수 실제를 위한 시사점을 제공한다. 그리고, 학교 기하에서 매우 유용한 두 개의 정리를 예로 들어 그의 역사발생적 원리를 재음미한다.

• 한국수학사학회지
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• 제19권4호
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• pp.117-132
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• 2006

본 논문의 연구자는 중등과정 <7-나 단계> 작도 단원의 의미 있는 학습을 위하여, 자연스러운 발생을 강조하는 Clairaut의 <기하학 원론>을 기반으로 한 5차시 학습 자료를 개발하였다. 중학교 1학년 학생 6명을 대상으로 이를 적용한 수업을 실시하였고, 작도문제 해결을 분석에서 시작하여 작도, 확인 및 탐구로 이어지는 학습 과정의 특징을 분석하였다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제16권4호
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• pp.327-344
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• 2006

본 연구는 경기도의 A, S시 교육청 과학영재교육원에서 교육을 받고 있는 초등학교 6학년 학생들이 기하 영역의 특정 과제를 해결하는 과정에서 보여주는 증명의 수준과 증명의 구성 요소에 대한 이해 정도를 확인하는 것이다. 이를 위해 동일한 시기에 선발되어 함께 교육프로그램에 참여하고 있는 20명 중 표현력이 우수한 3명의 학생을 담임교수로부터 추천 받아 질적 연구 방법을 통해 분석하였다. 각 학생들에게 Clairaut의 기하 과제 중 하나인 '두 직사각형의 넓이를 합한 것과 동일한 넓이를 갖는 하나의 직사각형을 작도하시오'라는 과제를 제시하고, 그것을 해결하는 과정에서 나타나는 증명의 수준과 증명의 구성 요소에 대한 이해와 관련하여 초등 수학영재들이 보여주는 사고의 특징을 분석하였다. 자료 분석은 Waring(2000)이 제시한 증명 수준과 Galbraith(1981), Dreyfus & Hadas(1987), 서동엽(1999) 등이 제시한 증명의 구성 요소에 기초하여 이루어졌다. 그 결과, 4가지의 의미 있는 결과를 도출하였고 이를 바탕으로 수학영재교육에 주는 시사점을 논의하였다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제20권4호
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• pp.529-546
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• 2010

이 연구의 목적은 닮음 개념의 변천 과정에 대한 수학사 고찰을 바탕으로, 현재 수학 교과서에 나타난 닮음 정의를 분석하고 비판하는 것이다. 우선, 피타고라스학파의 닮음 정의, Euclid ${\ll}$원론${\gg}$의 닮음 정의, Clairaut의 ${\ll}$기하학원론${\gg}$의 닮음 정의, Birkhoff와 Beatly의 ${\ll}$기초기하학${\gg}$, SMSG의 ${\ll}$기하학${\gg}$의 닮음 정의를 분석하고, 현재 수학 교과서에 제시된 닮음 정의를 분석하였다. 수학사 고찰 결과를 바탕으로 교과서의 닮음 정의를 세 가지 측면에서 비판적으로 논의하고, 확인된 문제점에 대한 교육적 제언을 하였다.

• 한국수학사학회지
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• 제16권4호
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• pp.79-90
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• 2003

This paper aims to consider the genesis of irrational numbers and to suggest a method for teaching the concept of irrational numbers. It is the notion of “incommensurability” in geometrical sense that makes Pythagoreans discover irrational numbers. According to the historica-genetic principle, the teaching method suggested in this paper is based on the very concept, incommensurability which the school mathematics lacks. The basic ideas are induced from Clairaut's and Arcavi's.