• 한국초등수학교육학회지
• /
• 제21권1호
• /
• pp.115-134
• /
• 2017

나눗셈의 이해 및 학습 지도에 관한 논의를 더 세밀하게 구체화하기 위해서는 세분된 각 유형의 문제의 특성을 분석할 필요가 있다. 이 논문에서는 포함나눗셈의한 유형인 확대 상황 포함나눗셈에 대하여, 초등학생, 예비교사, 초등교사 대상 지필 조사 자료와 초등교사 및 예비교사 인터뷰 자료를 바탕으로 논의한다. 마법연필의 길이가 처음의 몇 배가 되었는지 알아보는 문제에 대하여, 초등학생, 예비교사, 초등교사 모두 한 관점의 풀이에 고착되는 경향이 나타났으며, 소수의 초등교사 및 예비교사만이 다른 관점의 풀이를 제시하였다. 또, 선분도나 수직선을 사용하여 풀이를 나타낸 초등학생은 소수였고, 분수배나 소수배를 나타내는 데 어려움을 겪는 아동이 많았다. 초등교사 및 예비교사 인터뷰는 확대 상황 포함나눗셈의 서로 다른 두 풀이가 각각 탈맥락 중시와 맥락 중시, 횟수로서의 배와 연산자로서의 배라는 인식과 연결되어 있음을 보여준다. 이와 같은 결과를 바탕으로, 시각적 모델, 두 가지 풀이와 연결된 인식, 포함나눗셈과 비례의 통합적 이해의 세 측면에서, 확대 상황 포함나눗셈의 특성과 교육적 시사점에 대하여 논의하였다.

• 한국초등수학교육학회지
• /
• 제17권3호
• /
• pp.395-411
• /
• 2013

나눗셈 맥락에는 크게 포함제 맥락과 등분제 맥락이 있다. 아동들은 학습을 통하여 포함제 맥락과 등분제 맥락에서 자연수 나눗셈 세로 형식 계산법의 원리를 점진적으로 이해해 갈 것으로 기대된다. 수학 교과서와 교사용 지도서는 아동들의 자연수 나눗셈 계산법의 종합적 이해를 지원할 수 있도록 구성되는 것이 바람직하다. 2007 교육과정에 따른 교과서와 교사용 지도서의 자연수 나눗셈 관련 내용을 분석한 결과, 교과서와 교사용 지도서는 편의적으로 포함제 맥락과 등분제 맥락을 사용하고 있었다. 이와 같은 편의적인 사용은 포함제와 등분제 맥락에서 자연수 나눗셈 계산법의 종합적 이해를 어렵게 할 수 있다. 이 논문에서는 교과서와 지도서 분석 결과를 바탕으로 포함제와 등분제 맥락에서 자연수 나눗셈 계산법의 종합적 이해를 도모하는 데 필요한 제언을 제시하였다.

• 한국초등수학교육학회지
• /
• 제18권2호
• /
• pp.319-339
• /
• 2014

최근의 우리나라 교육과정 문서 안에는 분수의 포함제와 등분제에 관한 논의가 증가하고 있다. 포함제와 등분제 두 가지 모두 성립이 불가능하다는 주장에서부터 두가지 모두 성립이 가능하다는 주장까지 다양한 의견이 제시되고 있다. 이 논문에서는 분수 나눗셈에서 포함제와 등분제 정의의 성립 가능성에 대해서 탐색하였다. 그 결과, 분수 나눗셈에서의 포함제와 등분제는 자연수의 그것을 적절히 확장시킴으로써 타당하게 정의될 수 있음이 드러났다. 나아가 이렇게 정의된 분수의 포함제와 등분제는, 문장제로부터 나눗셈식을 만들어내는 활동, 분수 나눗셈의 알고리즘을 증명하는 활동에서 효과적으로 활용될 수 있다.

• 한국수학교육학회지시리즈C:초등수학교육
• /
• 제14권3호
• /
• pp.317-328
• /
• 2011

본 연구에서는 예비초등교사 65명을 대상으로 그 결과가 이산량과 나머지로 표현되는 포함제 맥락의 분수 나눗셈 문장제를 풀도록 하여 그 풀이과정을 수집하고, 65명 중 임의로 선발된 5명과의 심층 면담을 실시하여 이를 분석하였다. 분석 결과 예비초등교사 중 상당수는 분수 나눗셈의 계산 결과를 해석하는 과정에서 자연수를 제외한 진분수 부분 또는 1보다 작은 소수 부분의 의미를 정확하게 이해하고 있지 못했다. 포함제 맥락의 분수 나눗셈을 포함제 맥락의 자연수 나눗셈으로 바꾸어 계산해 버리는 오류를 범하는 경우도 있었다. 이러한 연구 결과는 예비초등교사들에게 문장제를 만드는 과정 뿐 아니라 문장제를 주어진 맥락에 맞게 해결하고 그 계산 결과를 주의 깊게 해석하는 경험을 포함하는 치밀한 교육프로그램을 제공할 필요가 있음을 시사한다.

• 한국초등수학교육학회지
• /
• 제20권4호
• /
• pp.521-539
• /
• 2016

피제수와 제수가 분수인 나눗셈에서, 포함제는 공통분모 알고리즘과 등분제는 제수의 역수 곱하기 알고리즘과 대응한다고 여겨져 왔다. 분수 나눗셈 학습 지도에서 이와 같은 이분법을 넘어서려는 시도가 있어 왔다. 이러한 시도에서 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 연결하는 방법으로는, 공통분모 알고리즘을 이용하는 방법, $1{\div}$(제수)를 매개로 하는 방법, 제수 쪽의 양을 1이라고 가정하는 방법이 있다. 기존의 방법들에서 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘의 관련은 중간까지만 유지되거나 제수의 역수 곱하기 알고리즘이라는 최종 결과만 등분제와 공유한다. 이 논문에서는 기존 방법의 한계를 넘어, 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘의 연결성을 새로운 관점에서 심층 논의한다. 포함제를 측정접근법과 동형접근법으로 해결하는 과정에서 등분제에서와 동일한 수식 변형 과정을 거쳐 제수의 역수 곱하기 알고리즘이 유도될 수 있다. 이 연구의 결과는, 분수 나눗셈 계산법 학습 지도에 관한 이론적 논의의 장을 확장함과 더불어, 포함제와 등분제를 아우르는 분수 나눗셈의 통합 계산법 학습 지도 프로그램 개발에 국소 이론으로 사용될 수 있다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
• /
• 제6권3호
• /
• pp.235-249
• /
• 2004

본 연구는 우리나라의 예비 초등 교사들이 분수 나눗셈 1$\frac{3}{4}$$\div$$\frac{1}{2}$에 적합한 문장제를 만들 때 나타나는 오류 유형과 만든 문장제의 유형을 분석한 것이다. 우리나라 예비 초등 교사들은 미국이나 중국의 교사들처럼 '$\frac{1}{2}$로 나누기'를 '2로 나누기'로 오해하는 일상 언어와 수학적 언어 사용의 불일치에 기인하는 구조적인 오류를 다수 보였으며, 계산결과만 생각하여 구조적으로 다른 1$\frac{3}{4}$$\times$2에 적합한 문장제를 만드는 새로운 유형의 오류도 보이고 있다. '포함제' 자체에는 익숙하지만 몫이 자연수가 아닌 분수 나눗셈 상황에서 포함제가 지니는 문제점에 대한 인식은 매우 부족한 것으로 나타났으며, '단위 비율의 결정', '곱셈의 역 상황'이라는 분수 나눗셈의 의미에 대한 이해가 매우 부족한 것으로 나타났다. 따라서 예비 초등 교사들을 위한 교육에서는 분수의 나눗셈에서 단위 비율의 결정, 곱셈의 역연산으로서의 나눗셈의 의미를 다양한 실제 상황 및 맥락과 관련지어 이해하게 하는 지도가 이루어질 필요가 있다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
• /
• 제23권1호
• /
• pp.17-35
• /
• 2013

본 연구에서는 초 중등 수학교사의 전문성을 신장하기 위해, 문장제 상황을 바탕으로, 정수를 대상으로 하는 나눗셈 알고리즘과 유클리드 알고리즘을 분수(유리수)를 대상으로 하는 나눗셈 알고리즘과 유클리드 알고리즘으로의 확장에 대해 다룬다. 분수 나눗셈의 문장제 상황에 나타난 이산적 환경과 연속적 환경 및 등분제와 포함제에 따라 '나눈다'는 개념을 두 유형으로 분류하였다. 하나는 유리수체에서 현대대수학 관점에서 다루어지는 대수적 개념이며, 다른 하나는 몫과 나머지가 동반된 정수 나눗셈 알고리즘을 유리수 나눗셈 알고리즘으로 일반화하는 개념이다. 후자의 개념을 중심으로 학교수학에서 다루어지거나 다룰 수 있는 문제 상황을 제시하며, 분수를 대상으로 하는 나눗셈 알고리즘, 최대공약수와 최소공배수, 유클리드 알고리즘에 관해 논의한다.

• 한국수학교육학회지시리즈C:초등수학교육
• /
• 제22권2호
• /
• pp.113-127
• /
• 2019

본 연구의 목적은 자연수 나눗셈의 정의를 확장하여 분수 나눗셈에 적용함으로써 초등학교 수학에서 분수 나눗셈의 알고리즘을 정당화하는데 있다. 먼저 초등학교 수학에서 분수 나눗셈을 도입할 때 고려해야 할 준거들을 도출하여 제시하였다. 이를 바탕으로 분수 나눗셈의 표준 알고리즘을 유도하는 기존의 방식들이 분수 나눗셈 도입 과정에 적절한지를 고찰하였다. 또한 분수 나눗셈을 정의하였으며, 단위원 분할 모델과 정사각형 분할 모델을 통하여 구체적 조작 활동을 함으로써 등분제와 포함제 상황의 분수 나눗셈에서 표준 알고리즘을 자연스럽게 정당화하였다.

• 한국초등수학교육학회지
• /
• 제22권4호
• /
• pp.385-403
• /
• 2018

분수 나눗셈의 여러 맥락 중 등분제와 카테시안 곱의 역 맥락에서는 제수의 역수 곱하기 알고리즘이 자연스럽게 유도된다. 그러므로 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 통합 알고리즘으로 지도하고자 할 때 특히 이슈가 되는 것은 포함제 맥락이다. 이 논문에서는 포함제 맥락에서 $1{\div}$(제수)를 매개로 하는 방법이 지닌 잠재력 및 그 기반을 분석하고, 이 방법을 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 통합 알고리즘으로 지도하려 할 때 고려할 수 있는 한 대안으로 제안한다. 포함제 맥락에서 $1{\div}$(제수)를 매개로 하여 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 유도하는 방법은 다음과 같은 특징을 지니고 있다. 첫째, 포함제 맥락에서 맥락과의 연결성을 유지한 채로 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 유도할 수 있다. 둘째, 다른 맥락들에서와 마찬가지로, 제수와 1의 곱셈적 관계에 주목한다. 셋째, 다른 맥락들에서와 마찬가지로, 제수와 1의 곱셈적 관계를 1/제수의 분모을 징검다리로 삼는 추론과 제수의 분자를 징검다리로 삼는 두 가지 추론으로 파악한다. 이러한 특징은 이 방법이 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 공통 구조를 담고 있는 통합 알고리즘으로 다루는 데 기여할 수 있음을 시사한다. 한편, 이 방법은 양분수의 이중적 의미와 배의 합성을 그 기반으로 한다. 분수 나눗셈의 통합적 이해를 지향하는 교재 개발 및 수업 연구에서는 이 기반의 형성에 유의할 필요가 있다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
• /
• 제12권4호
• /
• pp.585-604
• /
• 2010

본 연구에서는 나눗셈의 도입시 이용되는 두 가지 의미인 포함제와 등분제에 대한 초등학생 및 예비초등교사의 이해에 대해 조사하였다. 역대 교육과정 및 그에 따른 교과서에서 나눗셈을 도입하는 상황으로 양자를 다루어왔지만 그 구별을 어느 정도로 명시적으로 다루었는가 하는 것은 시기에 따라 변화되어 왔다. 특히 현행 2007년 개정교육과정에 따른 교과서에서는 두 가지 의미에 따라 나눗셈을 별도로 정의하고 몫의 의미에 대해서도 명시적인 언어적 설명을 추가하는 등 이전과 다른 특징을 보여준다. 계산 기능뿐만 아니라 연산의 의미 이해를 강조하는 수학교육 경향의 한 단면으로 간주되는 이러한 의도가 학생들에게 얼마만큼 수용되고 있는지 알아보기 위해 초등학교 3학년 학생을 대상으로 질문지를 적용하여 그 결과를 분석하고, 또한 두 상황의 명시적인 구별 가능성을 타진하기 위한 기초 자료로서 예비초등교사의 이해도를 조사하였다. 결과적으로 현행 교과서의 접근 방식에 대한 재고의 필요성을 확인하고, 나눗셈의 지도를 위한 몇 가지 교수학적 시사점을 도출하였다.