Journal of Elementary Mathematics Education in Korea (한국초등수학교육학회지)

Korea Society of Elementary Mathematics Education (한국초등수학교육학회)
권호 표지

Quotitive Division and Invert and Multiply Algorithm for Fraction Division

분수 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘의 연결성

  • Received : 2016.10.14
  • Accepted : 2016.11.26
  • Published : 2016.11.30
Download PDF
⟨ Previous Next ⟩

Abstract

The structures of partitive and quotitive division of fractions are dealt with differently, and this led to using partitive division context for helping develop invert-multiply algorithm and quotitive division for common denominator algorithm. This approach is unlikely to provide children with an opportunity to develop an understanding of common structure involved in solving different types of division. In this study, I propose two approaches, measurement approach and isomorphism approach, to develop a unifying understanding of fraction division. From each of two approaches of solving quotitive division based on proportional reasoning, I discuss an idea of constructing a measure space, unit of which is a quantity of divisor, and another idea of constructing an isomorphic relationship between the measure spaces of dividend and divisor. These ideas support invert-multiply algorithm for quotitive as well as partitive division and bring proportional reasoning into the context of fraction division. I also discuss some curriculum issues regarding fraction division and proportion in order to promote the proposed unifying understanding of partitive and quotitive division of fractions.

피제수와 제수가 분수인 나눗셈에서, 포함제는 공통분모 알고리즘과 등분제는 제수의 역수 곱하기 알고리즘과 대응한다고 여겨져 왔다. 분수 나눗셈 학습 지도에서 이와 같은 이분법을 넘어서려는 시도가 있어 왔다. 이러한 시도에서 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 연결하는 방법으로는, 공통분모 알고리즘을 이용하는 방법, $1{\div}$(제수)를 매개로 하는 방법, 제수 쪽의 양을 1이라고 가정하는 방법이 있다. 기존의 방법들에서 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘의 관련은 중간까지만 유지되거나 제수의 역수 곱하기 알고리즘이라는 최종 결과만 등분제와 공유한다. 이 논문에서는 기존 방법의 한계를 넘어, 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘의 연결성을 새로운 관점에서 심층 논의한다. 포함제를 측정접근법과 동형접근법으로 해결하는 과정에서 등분제에서와 동일한 수식 변형 과정을 거쳐 제수의 역수 곱하기 알고리즘이 유도될 수 있다. 이 연구의 결과는, 분수 나눗셈 계산법 학습 지도에 관한 이론적 논의의 장을 확장함과 더불어, 포함제와 등분제를 아우르는 분수 나눗셈의 통합 계산법 학습 지도 프로그램 개발에 국소 이론으로 사용될 수 있다.

Keywords

References

  1. 강문봉 (2011). 자연수의 나눗셈 지도에 대한 고찰 -2007 개정 교육과정의 초등수학 교과서와 지도서를 중심으로-. 수학교육학연구, 21(1), 1-16.
  2. 강미경 (2013). 분수 곱셈 알고리즘 형식화 프로그램 개발 및 적용 연구: 분배전략을 중심으로. 경인교육대학교 석사학위논문.
  3. 강흥규 (2009). 배 개념에 기초한 자연수 곱셈 개념의 지도 방안. 학교수학, 11(1), 17-37.
  4. 강흥규 (2014). 초등수학에서 분수 나눗셈의 포함제와 등분제의 정의에 관한 교육적 고찰. 한국초등수학교육학회지, 18(2), 319-339.
  5. 교육과학기술부 (2011). 수학 6-1. 서울: 두산동아.
  6. 교육부 (2015a). 수학 6-1. 서울: 천재교육.
  7. 교육부 (2015b). 수학 6-2. 서울: 천재교육.
  8. 교육인적자원부 (2002). 수학 6-나. 서울: 대한교과서 주식회사.
  9. 김흥회 (2014). 6학년 분수 나눗셈의 개념이해를 위한 프로그램 개발: 제수를 1로 만드는 방법을 중심으로. 경인교육대학교 석사학위논문.
  10. 박교식 (2014). 우리나라 초등학교 수학 교과서에서의 분수 나눗셈 알고리즘 정당화 과정 분석. 한국초등수학교육학회지, 18(1), 105-122.
  11. 백수진 (2009). 카테시안 곱의 역 맥락에서 나타난 학생들의 분수 나눗셈 알고리즘 구성 활동 분석. 경인교육대학교 석사학위논문.
  12. 신준식 (2013). 문제 상황과 연결된 분수 나눗셈의 교과서 내용 구성 방안. 수학교육, 52(2), 217-230.
  13. 이지영 (2015). 초등학교 학생들의 단위 추론을 기반으로 한 분수 나눗셈의 학습경로 개발. 한국교원대학교 박사학위논문.
  14. 임재훈 (2013). 우리나라 초등학교 수학 교과서에서의 분수 나눗셈 알고리즘 정당화 과정 분석. 한국초등수학교육학회지, 17(3), 395-411.
  15. 임재훈, 이형숙 (2015). 비례 추론을 돕는 시각적 모델에 대하여: 초등 수학 교과서의 비례식과 비례배분 실생활 문제를 대상으로. 수학교육학연구, 25(2), 189-206.
  16. 조용진, 홍갑주 (2013). 분수 나눗셈의 지도에서 단위비율 결정 맥락의 실제 적용을 위한 기초 연구. 초등수학교육, 16(2), 93-106.
  17. 홍진곤, 김양권 (2015). 초등학교 수학 교과서의 수직선 활용과 문제점. 수학교육논문집, 29(3), 353-372.
  18. Ball, D. L. (2003). What mathematics knowledge is needed for teaching mathematics? Secretary's Mathematics Summit. Washington, DC. Retrieved October 12, 2016 from www.ed.gov/rschstat/research/progs/mathscience/ball.html
  19. Beckmann, S., & Izsak, A. (2015). Two perspectives on proportional relationships: Extending complementary origins of multiplication in terms of quantities. Journal for Research in Mathematics Education, 46(1), 17-38. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.46.1.0017
  20. Gregg, J., & Gregg, D. U. (2007). Measurement and fair-sharing models for dividing fractions. Mathematics Teacher in the Middle School, 12, 490-496.
  21. Kuchemann, D., Hodgen, J., & Brown, M. (2011). Using the double number line to model multiplication. Paper presented at Seventh Annual Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, Rzeszow, Poland.
  22. Lamon, S. (1994). Ratio and proportion: Cognitive foundations in unitizing and norming. In G. Harel, & J. Confrey (Eds.), The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics (pp. 89-120). Albany: State University of New York press.
  23. Lamon, S. J. (2007). Rational numbers and proportional reasoning: Toward a theoretical framework for research. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 629-667). Charlotte: Information Age Publishing.
  24. Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers' understanding of fundamental mathematics in China and the United States. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
  25. Noparit, T., & Saengpun, J. (2013). How student teachers use proportional number line to teach multiplication and division of fraction: Professional learning in context of lesson study and open approach. Creative Education, 4(8), 19-24.
  26. Okazaki, M. and Koyama, M. (2005). Characteristics of 5th graders' logical development through learning division with decimals. Educational Studies in Mathematics, 60, 217-251. https://doi.org/10.1007/s10649-005-8123-0
  27. Perlwitz, M. D. (2004). Two students' constructed strategies to divide fractions. Mathematics Teacher in the Middle School, 10, 122-126.
  28. Sharp, J., & Adams, B. (2002). Children's constructions of knowledge for fraction division after solving realistic problems. The Journal of Educational Research, 95, 333-347. https://doi.org/10.1080/00220670209596608
  29. Siebert, I. (2002). Connecting informal thinking and algorithms: The case of division of fractions. In B. Litwiller, & G. Bright (Eds.), Making sense of fractions, ratios, and proportions (pp. 247-256). Reston, VA: NCTM.
  30. Sinicrope, R., Mick, H. W., & Kolb, J. R. (2002). Interpretations of fraction division. In B. Litwiller, & G. Bright (Eds.), Making Sense of Fractions, Ratios, and Proportions (pp. 153-161), Reston, VA: NCTM.
  31. Tyminski, A. M., & Dogbey, J. K. (2012). Developing the common denominator fraction division algorithm. Mathematics Teaching in the Middle School, 18(4), 248-253. https://doi.org/10.5951/mathteacmiddscho.18.4.0248
  32. Van de Walle, J. A., Karp, K. S. & Bay-Williams, J. M. (2009). Elementary and Middle School Mathematics: Teaching developmentally. Boston: Allyn & Bacon.