• 한국초등수학교육학회지
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• 제15권2호
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• pp.417-435
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• 2011

본 연구는 우리나라 초등학교 5, 6학년 학생들의 수학적 정당화의 단계와 수학적 증명을 배우기 전의 중학교 1학년 학생과 2학년 학생, 수학적 증명을 배운 후인 중학교 3학년 학생들의 수학적 정당화에 대한 인식과 수학적 정당화의 단계를 알아보기 위한 것이다. 먼저 수학적 정당화에 대한 인식을 조사한 결과 설문에 참여한 학생들의 73.4%의 학생들이 수학적 정당화의 필요성을 느끼고 있었다. 그리고 수학적 정당화의 단계를 조사한 결과, 중학교 3학년뿐만 아니라 초등학교 5학년에서부터 중학교 2학년을 포함한 모든 학년에서 단순 연역적 정당화 단계의 비율이 가장 높게 나타났다. 특히 수학적 정당화의 단계는 성취수준과 밀접한 관계가 있는 것으로 나타났다. 4단계의 수학적 정당화를 하는 학생의 비율이 상위의 성취 수준 학생비율이 가장 높게 그리고 중위의 성취수준의 학생 그 다음으로 하위 성취수준의 학생으로 나타났다. 설문조사에서 서술형 문항을 통하여 친구에게와 교사에게 나누어 수학적 정당화를 시도한 결과, 교사에게 수학적 정당화를 시도하는 경우에 보다 높은 수학적 정당화를 하였다. 본 연구의 결과는 귀납적 추론에 중점을 두고 있는 초등학교 교육에서 연역적 정당화를 보다 적극적으로 지도하여 상급 학년에서의 겪게 되는 수학적 정당화의 어려움을 줄여 주어야 한다는 것을 시사해 준다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제20권4호
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• pp.405-422
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• 2017

Nim 게임을 구분하여 한 더미 대상 게임을 1단계, 두 더미 대상 게임을 2단계, 세 더미 대상 게임을 3단계로 나누어 중학교 수학영재들을 대상으로 탐구활동을 실시하였다. 학생들은 난이도가 낮은 1단계에서는 연역적 추론을 통하여 쉽게 필승전략을 발견하였다. 2단계에서는 연역적 추론 또는 귀납적 추론으로 필승전략을 발견하였지만 귀납적 추론 과정에서는 오류가 발견되었다. 3단계 게임에서는 연역적 추론으로 필승전략을 발견한 학생들은 없었으며 귀납적 추론 과정에서는 오류가 발견되었다. 유한개의 경우에서 성립하는 패턴을 정당화 절차 없이 무조건 일반화하려는 경향이 오류의 원인임이 밝혀졌다. 학생들에게 이진법 상자를 시각적으로 제시한 결과, 학생들은 승패에 따른 패턴을 쉽게 발견하고 게임 활동을 통하여 필승전략을 인식하게 되었으며 일부 학생들은 발견한 필승전략을 정당화하는 단계에 도달할 수 있었다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제27권3호
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• pp.557-580
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• 2017

본 연구는 수학영재의 집단창의성 발현 모델을 이론적으로 구안하고, 이를 실제 수업에 적용한 결과를 분석하여 모델을 확인하고 정교화하는 것을 목적으로 한다. 영역 일반적인 집단창의성에 대한 선행연구와 수학영재의 창의성에 대한 선행연구를 고찰하여 집단창의성 발현 모델을 구안하였다. 또한 이 모델을 수학영재학급 수업에 적용하여 학생들이 보인 반응을 분석하였다. 분석 결과, 집단창의성 발현 모델의 각 단계에 따른 수학영재의 반응과 집단창의성에 작용하는 주요 요인을 확인하였으며, 수학적 정당화를 위해 추측 또는 문제해결 아이디어 공유 단계로 되돌아가는 과정과 집단 수준의 창의적 시너지가 일어날 수 있는 발생 및 긴장 상태에서 추측 또는 문제해결 아이디어 공유단계로 되돌아가는 과정을 추가적으로 발견하였다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제24권1호
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• pp.169-186
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• 2020

본 연구는 보통의 초등학생들에게도 익숙한 전통칠교판을 변형하여 만든 가변칠교판을 활용하여 초등학교 영재학급용 교수·학습 자료 개발을 위한 소재 발굴을 목적으로 한다. 가변칠교판은 영재학급 학생들이 수학적 의사소통을 통해 정당화를 수 있다. 다만, 영재학급 학생이라도 초등학교 수준에서는 '기호화' 단계를 거치지 않으면 모든 크기의 삼각형, 직사각형을 찾아 정당화(증명)하기에는 어느 정도의 한계가 있다. 따라서 문자와 기호에 대한 탐구 과정이 필요한 학생들에게는 보충 학습 자료와 추가 발문을 제공할 필요가 있다. 초등학교 영재학급용 교수·학습 자료 개발을 위한 가변칠교판이라는 소재는 영재학급 학생들의 수학적 추론능력과 수학적 의사소통능력을 발달시키는데 기여할 수 있을 것으로 기대한다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제13권2호
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• pp.159-178
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• 2003

본 연구는 초등 수학 교재에서 정당화 과점이나 문제 해결 과정에서 활용되는 추론을 분석한 것이다. 본 연구의 분석 결과, 한 가지 전형적인 예에 대한 국소적 연역 추론이 가장 전형적인 특징으로 드러났으며, 사각형에 대한 몇 가지 명제는 연역 추론으로 정당화할 뿐 아니라 일반성을 요구하고 있는 것으로 드러났다. 또한, 열거에 의한 귀납 주론은 그리 많이 활용되고 있지 않으며, 구체물을 통한 유추가 밭이 활용되고 있음을 알 수 있었다. 전형적인 한 가지 예에 대한 설명은 Miyazaki가 제시한 예에 의한 설명이나 Semadeni가 제시한 활동 증명과 유사한 면을 지니고 있지만, 학생들의 학년 단계가 높아지더라도 계속 낮은 수준 머물러 있는 점이 문제점으로 부각되었다. 또한, 사각형의 일반적인 성질을 다루는 몇몇 명제는 Piaget의 이론에 비추어 너무 어려운 것으로 분석되었다. 본 연구에서는 이러한 문제점을 해결할 수 있는 방한으로서 보다 점진적인 추론의 지도를 제안하였는바, 전형적인 예에 대한 경험적 정당화, 전형적인 예에 대한 경험으로부터 추측의 구성, 다양한 예에 대한 추측의 타당성 조사, 일반성에 대한 스키마 형성, 함의 관계의 이해를 위한 기초 경험의 다섯 가지 수준이다.

• 한국수학교육학회지시리즈C:초등수학교육
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• 제27권3호
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• pp.281-301
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• 2024

대수는 방정식의 풀이로 해석되는 전통적인 관점에 따라 초등 현장에서 명시적으로 다루어지지 못하는 한계가 있지만, 초등 수준의 발달 단계에 맞춰 수의 체계와 원리, 산술적 사고의 확장인 대수적 사고로서 학습되어야 한다고 주장되어왔다. 본 연구에서는 초등학교 6학년 학생들에게 분수의 나눗셈에 대한 대수적 사고 기반 수업을 실시하고 문제해결력에 미치는 영향을 분석하였다. 학생들은 11차시의 수업에서 제수와 피제수의 관계 탐구를 통해 해결 방법을 일반화하고 특정한 분수의 나눗셈 문제에서 나아가 모든 경우에 적용할 수 있는 표현을 탐색하였다. 연구 결과 대수적 사고를 기반으로 한 수학 수업이 분수의 나눗셈 문제해결력에 긍정적인 영향을 미치는 것을 확인할 수 있었다. 학생들의 해결 과정에서는 기호화, 일반화, 추론, 정당화의 대수적 사고 요소가 나타났으며 다양한 수학적 아이디어와 구조를 발견하고 이를 활용해 문제를 해결하는 특징을 보였다. 연구 결과를 바탕으로 초등학생에게 초기 대수 지도를 위한 시사점을 도출하였다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제15권3호
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• pp.353-374
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• 2005

본 연구는 수학교육의 연구 방법론에 대한 많은 변화와 더불어 교과과정 개발의 과학적 접근에 대한 필요성이 증대되는 수학교육 연구 경향에 비추어, RME의 개발연구를 고찰함으로써, 우리나라의 좀더 발전적인 수학 교과과정 개발을 위한 시사점을 제시하는 데 그 목적이 있다. 이러한 목적을 달성하기 위하여 RME 개발연구의 배경과 이론적 틀, 개발연구의 목표, 절차, 자료수집, 자료분석, 정당화 과정을 포함한 개발연구의 방법론에 대해 살펴보았다. 마지막으로 우리나라의 수학 교과과정 개발의 개선을 위해 수학교육의 이론과 실제를 반영한 교육과정 문서의 구성, 교과과정 개발 배경에 대한 충실한 보고, 교과과정 개발 절차 개정의 필요성을 논하였다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제27권3호
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• pp.205-220
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• 2013

이 연구의 목적은 스토리텔링 수학 모델 교과서의 유형 중 의사결정형에 초점을 맞추어 의사결정과 스토리텔링에 관한 선행연구를 살펴보고, 조건부 확률 단원을 중심으로 개발한 의사결정형 스토리텔링 수학교과서의 개발 원리 및 개발 사례를 제시하는 것이다. 이를 위해 의사결정에 관한 선행연구들을 종합하여 의사결정의 의미를 정립하고 의사결정에 관련된 주요 단계를 정리하여 스토리텔링이 학생의 의사결정 역량을 개발하는데 기여할 수 있는 교육적 수단으로서 역할을 할 수 있는 방안을 탐색하였다. 구체적으로 의사결정형 스토리텔링 모델 교과서의 개발 원리로 '맥락성의 원리', '과정지향성의 원리', '소통의 원리', '다양성의 원리'를 제시하였다. 내용 전개를 위한 틀에 해당하는 (1) 문제 제기 (2) 수학적 개념 탐구 (3) 문제해결 (4) 판단과 정당화 그리고 (5) 성찰의 다섯 단계로 이루어졌다. 이들 개발 원리와 의사결정 단계가 스토리텔링 모델 교과서 개발에 적용된 사례를 조건부 확률 단원을 중심으로 예시를 통해 서술하였으며 제시하면서 향후 의사결정형 스토리텔링을 적용하는 수학 교과서의 개발 가능성 및 방향에 대하여 탐색할 것이다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제11권2호
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• pp.201-219
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• 2008

본 연구는 초등학교 6학년 수학 수업에서 이루어지는 교사와 학생의 의사소통을 분석하고 의사소통 수준에 따라 학생의 수학적 사고의 특징을 탐구하였다. 이를 위해 수학적 의사소통을 질문하기, 설명하기, 수학적 아이디어의 근원이라는 세 가지 요소로 나누어 분석하였다. 또한 수학적 의사소통의 수준에 따라 학생의 수학적 사고의 빈도와 수학적 사고의 유형이 어떻게 다른지 양적연구방법과 질적연구방법을 병행하여 살펴보았다. 교사와 학생의 수학적 의사소통은 하위 요소에 따라 수준이 동일하지 않았으나 학생 간 질문이 활발할수록, 교사가 수학적으로 다양한 해결방법과 수학적으로 정당화할 수 있는 설명을 요구할수록, 학생의 수학적 아이디어를 적극적으로 반영할수록 수학적 의사소통이 활발히 일어났다. 그리고 수학적 의사소통 수준이 높을수록 학생의 수학적 사고의 빈도가 많이 나타났고 학생의 수학적 사고의 유형도 높은 단계를 나타내었다. 이를 통해 본 논문은 초등학교 수준에서 경험적 근거를 토대로 수학적 의사소통의 중요성을 강조하고 이를 향상시키기 위한 시사점을 제공한다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제15권2호
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• pp.389-404
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• 2013

연구자들은 수학의 진정한 이해를 위해 단순히 완성된 체계를 전달할 것이 아니라 학생들이 소박하고 직관적 수준에서 출발하여 점진적인 형식화 단계를 거쳐 연역적인 체계로 나아가는 경험을 할 수 있도록 지도할 것을 제안해 왔다. 본 연구에서는 학생들의 시각적 예가 제시되지 않은 기하문제해결과정을 분석하여 학생들의 소박한 기하적 사고에는 어떠한 것이 있는지 조사하였다. 학생들이 보여준 소박한 사고에는 첫째, 조건과 문제의 관련성에 대한 이해 부족, 둘째, 시각적 자료에 의존한 직관적 판단의 활용, 셋째, 기하에서 특수한 사례의 역할에 대한 이해 부족, 넷째, 정당화되지 않은 가정의 사용 등이 확인되었다. 이를 교수학적으로 활용할 수 있는 방안 역시 논의되었다.