A ring R is called a left (right) SF-ring if simple left (right) R-modules are flat. It is still unknown whether a left (right) SF-ring is von Neumann regular. In this paper, we give some conditions for a left (right) SF-ring to be (a) von Neumann regular; (b) strongly regular; (c) division ring. It is proved that: (1) a right SF-ring R is regular if maximal essential right (left) ideals of R are weakly left (right) ideals of R (this result gives an affirmative answer to the question raised by Zhang in 1994); (2) a left SF-ring R is strongly regular if every non-zero left (right) ideal of R contains a non-zero left (right) ideal of R which is a W-ideal; (3) if R is a left SF-ring such that $l(x)(r(x))$ is an essential left (right) ideal for every right (left) zero divisor x of R, then R is a division ring.
Let ${\Delta}$ be a simplicial complex, $I_{\Delta}$ its Stanley-Reisner ideal and $K[{\Delta}]$ its Stanley-Reisner ring over a field K. Assume that ${\Gamma}(R)$ denotes the zero-divisor graph of a commutative ring R. Here, first we present a condition on two reduced Noetherian rings R and R', equivalent to ${\Gamma}(R){\cong}{\Gamma}(R{^{\prime}})$. In particular, we show that ${\Gamma}(K[{\Delta}]){\cong}{\Gamma}(K^{\prime}[{\Delta}^{\prime}])$ if and only if ${\mid}Ass(I_{\Delta}){\mid}={\mid}Ass(I_{{{\Delta}^{\prime}}}){\mid}$ and either ${\mid}K{\mid}$, ${\mid}K^{\prime}{\mid}{\leq}{\aleph}_0$ or ${\mid}K{\mid}={\mid}K^{\prime}{\mid}$. This shows that ${\Gamma}(K[{\Delta}])$ contains little information about $K[{\Delta}]$. Then, we define the squarefree zero-divisor graph of $K[{\Delta}]$, denoted by ${\Gamma}_{sf}(K[{\Delta}])$, and prove that ${\Gamma}_{sf}(K[{\Delta}){\cong}{\Gamma}_{sf}(K[{\Delta}^{\prime}])$ if and only if $K[{\Delta}]{\cong}K[{\Delta}^{\prime}]$. Moreover, we show how to find dim $K[{\Delta}]$ and ${\mid}Ass(K[{\Delta}]){\mid}$ from ${\Gamma}_{sf}(K[{\Delta}])$.
Let R be a commutative ring, M be a Noetherian R-module, and N a 2-absorbing submodule of M such that r(N :R M) = 𝖕 is a prime ideal of R. The main result of the paper states that if N = Q1 ∩ ⋯ ∩ Qn with r(Qi :R M) = 𝖕i, for i = 1, . . . , n, is a minimal primary decomposition of N, then the following statements are true. (i) 𝖕 = 𝖕k for some 1 ≤ k ≤ n. (ii) For each j = 1, . . . , n there exists mj ∈ M such that 𝖕j = (N :R mj). (iii) For each i, j = 1, . . . , n either 𝖕i ⊆ 𝖕j or 𝖕j ⊆ 𝖕i. Let ΓE(M) denote the zero-divisor graph of equivalence classes of zero divisors of M. It is shown that {Q1∩ ⋯ ∩Qn-1, Q1∩ ⋯ ∩Qn-2, . . . , Q1} is an independent subset of V (ΓE(M)), whenever the zero submodule of M is a 2-absorbing submodule and Q1 ∩ ⋯ ∩ Qn = 0 is its minimal primary decomposition. Furthermore, it is proved that ΓE(M)[(0 :R M)], the induced subgraph of ΓE(M) by (0 :R M), is complete.
Let R = $Mat_2(F)$ be the ring of all 2 by 2 matrices over a finite field F, X the set of all nonzero, nonunits of R and G the group of all units of R. After investigating some properties of orbits under the left (and right) regular action on X by G, we show that the graph automorphisms group of $\Gamma(R)$ (the zero-divisor graph of R) is isomorphic to the symmetric group $S_{|F|+1}$ of degree |F|+1.
Piao, Zhelin;Ryu, Sung Ju;Sung, Hyo Jin;Yun, Sang Jo
Korean Journal of Mathematics
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제28권1호
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pp.65-73
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2020
This article concerns a property of local rings and domains. A ring R is called weakly local if for every a ∈ R, a is regular or 1-a is regular, where a regular element means a non-zero-divisor. We study the structure of weakly local rings in relation to several kinds of factor rings and ring extensions that play roles in ring theory. We prove that the characteristic of a weakly local ring is either zero or a power of a prime number. It is also shown that the weakly local property can go up to polynomial (power series) rings and a kind of Abelian matrix rings.
Kim, Hong Kee;Kwak, Tai Keun;Lee, Seung Ick;Lee, Yang;Ryu, Sung Ju;Sung, Hyo Jin;Yun, Sang Jo
대한수학회보
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제53권5호
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pp.1309-1325
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2016
This note focuses on a ring property in which upper and lower nilradicals coincide, as a generalizations of symmetric rings. The concept of symmetric ideal and ring in the noncommutative ring theory was initially introduced by Lambek, as an extension of the usual commutative ideal theory. The investigation of symmetric rings provided many useful results to the study in the noncommutative ring theory. So the results obtained from this study may be applicable to observing the structure of zero divisors in various kinds of algebraic systems containing matrix rings and polynomial rings.
Let R be a commutative ring with identity and M an R-module. In this paper, we associate a graph to M, say ${\Gamma}(M)$, such that when M = R, ${\Gamma}(M)$ is exactly the classic zero-divisor graph. Many well-known results by D. F. Anderson and P. S. Livingston, in [5], and by D. F. Anderson and S. B. Mulay, in [6], have been generalized for ${\Gamma}(M)$ in the present article. We show that ${\Gamma}(M)$ is connected with $diam({\Gamma}(M)){\leq}3$. We also show that for a reduced module M with $Z(M)^*{\neq}M{\backslash}\{0\}$, $gr({\Gamma}(M))={\infty}$ if and only if ${\Gamma}(M)$ is a star graph. Furthermore, we show that for a finitely generated semisimple R-module M such that its homogeneous components are simple, $x,y{\in}M{\backslash}\{0\}$ are adjacent if and only if $xR{\cap}yR=(0)$. Among other things, it is also observed that ${\Gamma}(M)={\emptyset}$ if and only if M is uniform, ann(M) is a radical ideal, and $Z(M)^*{\neq}M{\backslash}\{0\}$, if and only if ann(M) is prime and $Z(M)^*{\neq}M{\backslash}\{0\}$.
Assume that R is a commutative ring with non-zero identity which is not an integral domain. An ideal I of R is called an annihilating ideal if there exists a non-zero element $a{\in}R$ such that Ia = 0. S. Visweswaran and H. D. Patel associated a graph with the set of all non-zero annihilating ideals of R, denoted by ${\Omega}(R)$, as the graph with the vertex-set $A(R)^*$, the set of all non-zero annihilating ideals of R, and two distinct vertices I and J are adjacent if I + J is an annihilating ideal. In this paper, we study the relations between the diameters of ${\Omega}(R)$ and ${\Omega}(R[x])$. Also, we study the relations between the diameters of ${\Omega}(R)$ and ${\Omega}(R[[x]])$, whenever R is a Noetherian ring. In addition, we investigate the relations between the diameters of this graph and the zero-divisor graph. Moreover, we study some combinatorial properties of ${\Omega}(R)$ such as domination number and independence number. Furthermore, we study the complement of this graph.
It is shown that a left Ore extension $D[x;{\sigma}]$ over a division ring D is a left Goldie ring with no zero-divisor and that its left Goldie quotient is an injective hull of $D[x;{\sigma}]$.
Let R be a commutative ring with nonzero identity and G be a nontrivial finite group. Also, let Z(R) be the set of zero-divisors of R and, for $a{\in}Z(R)$, let $ann(a)=\{r{\in}R{\mid}ra=0\}$. The annihilator graph of the group ring RG is defined as the graph AG(RG), whose vertex set consists of the set of nonzero zero-divisors, and two distinct vertices x and y are adjacent if and only if $ann(xy){\neq}ann(x){\cup}ann(y)$. In this paper, we study the annihilator graph associated to a group ring RG.
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[게시일 2004년 10월 1일]
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