• 호남수학학술지
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• 제36권2호
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• pp.305-338
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• 2014

We investigate the explicit evaluation for the sum $\sum_{(a,b,x,y){\in}\mathbb{N}^4,\\{ax+by=n},\\{C(x,y)}$ ab in terms of various divisor functions (where C(x, y) is the set of residue conditions on x and y) for various fixed C(x, y). We also obtain some identities and congruences as interesting applications.

• 호남수학학술지
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• 제35권3호
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• pp.445-506
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• 2013

Let ${\sigma}_s(N)$ denote the sum of the s-th power of the positive divisors of N and ${\sigma}_{s,r}(N;m)={\sum_{d{\mid}N\\d{\equiv}r\;mod\;m}}\;d^s$ with $N,m,r,s,d{\in}\mathbb{Z}$, $d,s$ > 0 and $r{\geq}0$. In a celebrated paper [33], Ramanuja proved $\sum_{k=1}^{N-1}{\sigma}_1(k){\sigma}_1(N-k)=\frac{5}{12}{\sigma}_3(N)+\frac{1}{12}{\sigma}_1(N)-\frac{6}{12}N{\sigma}_1(N)$ using elementary arguments. The coefficients' relation in this identity ($\frac{5}{12}+\frac{1}{12}-\frac{6}{12}=0$) motivated us to write this article. In this article, we found the convolution sums $\sum_{k<N/m}{\sigma}_{1,i}(dk;2){\sigma}_{1,j}(N-mk;2)$ for odd and even divisor functions with $i,j=0,1$, $m=1,2,4$, and $d{\mid}m$. If N is an odd positive integer, $i,j=0,1$, $m=1,2,4$, $s=0,1,2$, and $d{\mid}m{\mid}2^s$, then there exist $u,a,b,c{\in}\mathbb{Z}$ satisfying $\sum_{k& lt;2^sN/m}{\sigma}_{1,i}(dk;2){\sigma}_{1,j}(2^sN-mk;2)=\frac{1}{u}[a{\sigma}_3(N)+bN{\sigma}_1(N)+c{\sigma}_1(N)]$ with $a+b+c=0$ and ($u,a,b,c$) = 1(Theorem 1.1). We also give an elementary problem (O) and solve special cases of them in (O) (Corollary 3.27).

• Journal of applied mathematics & informatics
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• 제41권3호
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• pp.553-567
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• 2023

There are real life situations in our lives where the things are changing continuously or from time to time. It is a very important problem for one whether to continue the existing relationship or to form a new one after some occasions. That is, people, companies, cities, countries, etc. may change their opinion or position rapidly. In this work, we think of the problem of changing relationships from a mathematical point of view and think of an answer. In some sense, we comment these changes as power changes. Our number theoretical model will be based on this idea. Using the convolution sum of the restricted divisor function E, we obtain the answer to this problem.

• 한국컴퓨터산업학회논문지
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• 제8권4호
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• pp.229-236
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• 2007

분해식은 SOP 형태의 논리식들이 논리합과 논리곱으로 반복해서 표현된 논리식이다. 분해식을 산출하는 과정은 논리식 내에 있는 공통식을 찾아 인수분해를 반복하는 과정이다. 분해식의 형태에 따라 대수 분해식과 부울 분해식으로 구분되며, 리터럴 개수를 기준으로 부울 분해식이 대수 분해식보다 간략화된 형태를 갖는다. 본 논문은 부울 분해식 산출 방법을 제안한 것이다. 제안하는 방법은 주어진 논리식에서 2개의 큐브를 선택하여 제수/몫 쌍들을 산출한다. 이 때, 2개의 큐브로 구성된 몫에 공통인수를 남겨두어 확장 제수/몫 쌍들을 산출하고 후에 몫/몫 쌍들을 산출하도록 하였다. 산출된 제수/몫 쌍과 확장 제수/몫 쌍, 몫/몫 쌍들을 이용하여 부울 분해식 산출 을 위한 행렬을 산출하고, 행렬 커버링을 통해 부울 분해식을 산출하는 방법을 제시한다.

• 대한수학회보
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• 제56권4호
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• pp.815-827
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• 2019

It is well known that the denominator of the Dedekind sum s(c, d) divides 2 gcd(d, 3)d and that no smaller denominator independent of c can be expected. In contrast, here we prove that we usually get a smaller denominator in S(H, d), the sum of the s(c, d)'s over all the c's in a subgroup H of order n > 1 in the multiplicative group $(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^*$. First, we prove that for p > 3 a prime, the sum 2S(H, p) is a rational integer of the same parity as (p-1)/2. We give an application of this result to upper bounds on relative class numbers of imaginary abelian number fields of prime conductor. Finally, we give a general result on the denominator of S(H, d) for non necessarily prime d's. We show that its denominator is a divisor of some explicit divisor of 2d gcd(d, 3).

• 호남수학학술지
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• 제34권4호
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• pp.519-531
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• 2012

Let ${\sigma}_s(N)={\sum}_{d{\mid}N}d^s$. Next, the convolution sums ${\sum}_{k<N/3}{\sigma}_1(3^mk){\sigma}_1(2^n(N-3k))$, ${\sum}_{<N/3}{\sigma}_1(2^mk){\sigma}_1(3^n(N-3k))$, etc., are evaluated for all $N{\in}\mathbb{N}$ with $m$, $n{\in}\mathbb{N}{\cup}\{0\}$.

• 대한수학회지
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• 제50권2호
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• pp.331-360
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• 2013

Let ${\sigma}_s(N)$ denote the sum of the sth powers of the positive divisors of a positive integer N and let $\tilde{\sigma}_s(N)={\sum}_{d|N}(-1)^{d-1}d^s$ with $d$, N, and s positive integers. Hahn [12] proved that $$16\sum_{k. In this paper, we give a generalization of Hahn's result. Furthermore, we find the formula ${\sum}_{k=1}^{N-1}\tilde{\sigma}_1(2^{n-m}k)\tilde{\sigma}_3(2^nN-2^nk)$ for $m(0{\leq}m{\leq}n)$.

• 호남수학학술지
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• 제34권1호
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• pp.63-76
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• 2012

In this paper, we present the convolution sum ${\sum}_{m<n/8}{\sigma}_1(2m){\sigma}_1(n-8m)$ evaluated for all $n{\in}\mathbb{N}$.

• 한국게임학회 논문지
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• 제13권2호
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• pp.49-58
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• 2013

본 연구에서는 게임의 실외 지형을 구성하는 많은 수의 다양한 나무를 효율적이고 자연스럽게 표현하기 위한 나무 성장 모델을 설계한다. 제안하는 나무 성장 모델은 (1) 다양한 종류의 나무를 보다 직관적이면서 자연스럽고 효율적으로 모델링하기 위한 성장 볼륨 및 약수 함수의 합성 곱 기반의 나무 모델링 방법, (2) 복잡한 구조의 다수 나무들의 실시간 처리를 위하여 인스턴싱 기반의 가지의 세분화 단계를 통한 렌더링 방법, 그리고 (3) 이를 조합하여 게임 배경을 효율적으로 구축하는 방법으로 구성된 나무 성장 모델이다. 제안한 나무 성장 모델을 통하여 자연스럽고 다양한 나무의 성장과 이를 통한 자연스러운 게임 배경의 구축 가능성 및 실시간 처리의 효율성을 실험을 통해 확인한다.

• 대한수학회보
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• 제50권1호
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• pp.241-261
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• 2013

In this paper, we find the coefficients for the Weierstrass ${\wp}(x)$ and ${\wp}^{{\prime}{\prime}}(x)$($x=\frac{1}{2}$, $\frac{\tau}{2}$, $\frac{\tau+1}{2}$)-functions in terms of the arithmetic identities appearing in divisor functions which are proved by Ramanujan ([23]). Finally, we reprove congruences for the functions ${\mu}(n)$ and ${\nu}(n)$ in Hahn's article [11, Theorems 6.1 and 6.2].