• Journal of applied mathematics & informatics
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• 제22권1_2호
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• pp.435-440
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• 2006

Let G be a simple graph with vertex set V(G) and edge set E(G). A subset S of E(G) is called an edge cover of G if the subgraph induced by S is a spanning subgraph of G. The maximum number of edge covers which form a partition of E(G) is called edge covering chromatic number of G, denoted by X'c(G). It is known that for any graph G with minimum degree ${\delta},\;{\delta}-1{\le}X'c(G){\le}{\delta}$. If $X'c(G) ={\delta}$, then G is called a graph of CI class, otherwise G is called a graph of CII class. It is easy to prove that the problem of deciding whether a given graph is of CI class or CII class is NP-complete. In this paper, we consider the classification of nearly bipartite graph and give some sufficient conditions for a nearly bipartite graph to be of CI class.

• 한국컴퓨터정보학회논문지
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• 제18권11호
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• pp.159-165
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• 2013

본 논문은 NP-완전 문제인 간선 색칠과 그래프 부류 결정 문제를 동시에 해결하는 O(E)의 다항시간 알고리즘을 제안하였다. 제안된 알고리즘은 최대차수-최소차수 정점 쌍 간선을 단순히 선택하는 방법으로 간선 채색수 ${\chi}^{\prime}(G)$를 결정하였다. 결정된 ${\chi}^{\prime}(G)$는 ${\Delta}(G)$ 또는 ${\Delta}(G)+1$을 얻는다. 결국, 알고리즘 수행 결과 얻은 ${\chi}^{\prime}(G)$로부터 ${\chi}^{\prime}(G)={\Delta}(G)$이면 부류 1, ${\chi}^{\prime}(G)={\Delta}(G)+1$이면 부류 2로 분류할 수 있다. 또한, 미해결 문제로 알려진 "최대차수가 6인 단순, 평면 그래프는 부류 1이다."라는 Vizing의 평면 그래프 추정도 증명하였다.

• 한국컴퓨터정보학회논문지
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• 제18권9호
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• pp.121-129
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• 2013

본 논문은 아직까지 정확한 해를 다항시간으로 구하는 알고리즘이 존재하지 않아 NP-완전 문제로 알려진 지배집합 (DS) 문제의 정확한 해를 선형시간으로 구하는 알고리즘을 제안하였다. 제안된 알고리즘은 그래프의 간선이 존재하지 않을 때까지 최소차수 ${\delta}(G)$를 가진 정점 u의 인접정점들 중 최대차수 ${\Delta}(G)$를 가진 정점 v를 최소 독립지배집합(MIDS)의 원소로 포함시키고 v의 부속 간선을 삭제하는 방법을 반복적으로 수행하여 구하였다. MIDS로부터 최소 지배집합 (MDS)으로 변환시키고, MDS로부터 최소연결 DS (MCDS)로 변환시키는 방법으로 DS 관련 모든 문제의 정확한 해를 구할 수 있었다. 제안된 알고리즘을 10개의 다양한 그래프에 적용한 결과 정확한 해를 선형 시간복잡도 O(n)으로 구하는데 성공하였다. 결국, 제안된 지배집합 알고리즘은 지배집합 문제가 P-문제임을 증명하였다.

• Journal of applied mathematics & informatics
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• 제28권1_2호
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• pp.325-331
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• 2010

Let a and b be nonnegative integers with 2 $\leq$ a < b, and let G be a Hamiltonian graph of order n with n > $\frac{(a+b-5)(a+b-3)}{b-2}$. An [a, b]-factor F of G is called a Hamiltonian [a, b]-factor if F contains a Hamiltonian cycle. In this paper, it is proved that G has a Hamiltonian [a, b]-factor if $\delta(G)\;\geq\;\frac{(a-1)n+a+b-3)}{a+b-3}$ and $\delta(G)$ > $\frac{(a-2)n+2{\alpha}(G)-1)}{a+b-4}$.

• 한국인터넷방송통신학회논문지
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• 제19권3호
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• pp.193-199
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• 2019

본 논문은 지금까지 NP-완전인 난제로 알려진 최대 독립집합(MIS) 문제를 선형시간 복잡도로 해결한 알고리즘을 제안하였다. 제안된 알고리즘은 "MIS 집합의 모든 정점들은 상호간에 연결되지 않는다"는 기본 성질을 적용하여 n개의 정점으로 구성된 그래프에서 최소 차수 ${\delta}(G)$ 정점 ${\nu}$를 선택하고 부속 간선을 제거하였을 때 차수가 변하지 않는 정점들을 차수 오름차순으로 계속적으로 선택하는 단순한 방법을 적용하였다. 제안된 알고리즘을 22개 그래프에 적용한 결과, 시각적으로 그래프를 보면서도 MIS를 쉽게 찾을 수 있는 장점을 갖고 있으며, 알고리즘은 항상 MIS 집합의 원소 개수인 ${\alpha}(G)$회를 수행하여 알고리즘 복잡도는 O(n)으로 선형 알고리즘이다. 결국, 제안된 MIS 알고리즘은 MIS의 최적 해를 도출하는 일반적인 알고리즘으로 적용할 수 있을 것이다.

• 한국인터넷방송통신학회논문지
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• 제15권1호
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• pp.269-276
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• 2015

본 논문은 지금까지 미해결 문제로 알려진 정점 색칠 문제에 대한 Erd$\ddot{o}$s-Faber-Lov$\acute{a}$sz 추측을 증명하였다. Erd$\ddot{o}$s-Faber-Lov$\acute{a}$sz 추측은 "k개의 $K_k$-클릭 합 교차 그래프는 k개의 색으로 칠할 수 있다". 즉, x(G)=k이다". Erd$\ddot{o}$s-Faber-Lov$\acute{a}$sz 추측을 증명하기 위해 본 논문은 교차되는 정점수와 한 정점에서 교차되는 클릭수를 구하여 모두 짝수이면 그래프의 최소 차수 ${\delta}(G)$ 정점을 최대독립집합 (minimum Independent set, MIS)에 포함시키는 방법을 적용하고, 둘 중 어느 하나가 홀수이면 최대 차수 ${\Delta}(G)$ 정점을 MIS에 포함시키는 방법을 적용하였다. 알고리즘 수행결과 얻은 MIS 개수가 x(G)=k이다. $3{\leq}k{\leq}8$인 $K_k$-클릭 합 교차 그래프에 대해 실험한 결과 모든 그래프에서 x(G)=k를 얻는데 성공하였다. 결국, "k개의 $K_k$-클릭 합 교차 그래프는 k개의 색으로 칠할 수 있다".는 Erd$\ddot{o}$s-Faber-Lov$\acute{a}$sz 추측은 성립함을 증명하였다.

• Journal of applied mathematics & informatics
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• 제26권5_6호
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• pp.1085-1100
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• 2008

A set D of vertices of a graph G = (V(G),E(G)) is called a dominating set if every vertex of V(G) - D is adjacent to at least one element of D. The domination number of G, denoted by ${\gamma}(G)$, is the size of its smallest dominating set. Haynes et al.[5] present a conjecture: For any graph G with ${\delta}(G){\geq}k$,$\gamma(G){\leq}\frac{k}{3k-1}n$. When $k\;{\neq}\;6$, the conjecture was proved in [7], [8], [10], [12] and [13] respectively. In this paper we prove that every graph G on n vertices with ${\delta}(G)\;{\geq}\;6$ has a dominating set of order at most $\frac{6}{17}n$. Thus the conjecture was completely proved.

• 대한수학회보
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• 제48권2호
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• pp.353-363
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• 2011

Let k $\geq$ 1 be an integer, and let G be a 2-connected graph of order n with n $\geq$ max{7, 4k+1}, and the minimum degree $\delta(G)$ $\geq$ k+1. In this paper, it is proved that G has a fractional k-factor excluding any given edge if G satisfies max{$d_G(x)$, $d_G(y)$} $\geq$ $\frac{n}{2}$ for each pair of nonadjacent vertices x, y of G. Furthermore, it is showed that the result in this paper is best possible in some sense.

• 한국컴퓨터정보학회논문지
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• 제16권7호
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• pp.85-93
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• 2011

본 논문은 지금까지 NP-완전인 난제로 알려진 정점 색칠 문제를 선형시간 복잡도로 해결한 알고리즘을 제안하였다. 제안된 알고리즘은 그래프 G=(V,E)의 최소 채색수 ${\chi}(G)$=k를 결정하기 위해 사전에 k값을 알지 못한다는 가정에 기반하고 있다. 단지 주어진 그래프를 독립집합 $\overline{C}$와 정점 피복 집합 C로 정확히 양분하여 $\overline{C}$에 색을 배정하는 방법을 적용하였다. 독립집합 $\overline{C}$의 원소는 ${\delta}(G)$인 정점 ${\upsilon}$가, C의 원소는 정점 ${\upsilon}$의 인접 정점들 u가배정된다. 축소된 그래프 C는 다시 $\overline{C}$와 C로 양분되며, 이 과정을 C의 간선이 없을 때까지 수행한다. 26개의 다양한 그래프를 대상으로 제안된 알고리즘을 적용한 결과 정점 ${\upsilon}$를 선택하는 횟수는 정점의 수 n보다 작은 값을 나타내었으며, ${\chi}(G)$=k를 찾는데 성공하였다.

• Journal of applied mathematics & informatics
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• 제28권3_4호
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• pp.909-912
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• 2010

In this note we present a short proof of the following result by Zhou, Liu and Xu. Let G be a graph of order n, and let a and b be two integers with 1 $\leq$ a < b and b $\geq$ 3, and let g and f be two integer-valued functions defined on V(G) such that a $\leq$ g(x) < f(x) $\leq$ b for each $x\;{\in}\;V(G)$ and f(V(G)) - V(G) even. If $n\;{\geq}\;\frac{(a+b-1)^2+1}{a}$ and $\delta(G)\;{\geq}\;\frac{(b-1)n}{a+b-1}$,then G has a connected (g, f)-factor.