• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제16권4호
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• pp.327-344
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• 2006

본 연구는 경기도의 A, S시 교육청 과학영재교육원에서 교육을 받고 있는 초등학교 6학년 학생들이 기하 영역의 특정 과제를 해결하는 과정에서 보여주는 증명의 수준과 증명의 구성 요소에 대한 이해 정도를 확인하는 것이다. 이를 위해 동일한 시기에 선발되어 함께 교육프로그램에 참여하고 있는 20명 중 표현력이 우수한 3명의 학생을 담임교수로부터 추천 받아 질적 연구 방법을 통해 분석하였다. 각 학생들에게 Clairaut의 기하 과제 중 하나인 '두 직사각형의 넓이를 합한 것과 동일한 넓이를 갖는 하나의 직사각형을 작도하시오'라는 과제를 제시하고, 그것을 해결하는 과정에서 나타나는 증명의 수준과 증명의 구성 요소에 대한 이해와 관련하여 초등 수학영재들이 보여주는 사고의 특징을 분석하였다. 자료 분석은 Waring(2000)이 제시한 증명 수준과 Galbraith(1981), Dreyfus & Hadas(1987), 서동엽(1999) 등이 제시한 증명의 구성 요소에 기초하여 이루어졌다. 그 결과, 4가지의 의미 있는 결과를 도출하였고 이를 바탕으로 수학영재교육에 주는 시사점을 논의하였다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제12권
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• pp.185-200
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• 2001

증명은 수학에서 기초적이고도 중요한 주제이다. 추측을 만들어내고 자신에게는 물론 타인에게까지 그 추측을 정리로서 확신시키는 활동은 수학활동에서의 핵심이라고 할 수 있다. 그러나 현재의 증명 학습지도에서는 학생들의 수준보다는 높은 증명 발달단계를 제시하고 있다는 보고와 함께 기존의 지도방법의 개선책을 요구하고 있다. 따라서 본고에서는 몇 가지 증명의 발달 단계를 정리해 보고 Balacheff의 증명 4단계를 토대로 하여 증명활동을 점진적인 구성으로 제시한다.

• 한국수학교육학회지시리즈C:초등수학교육
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• 제14권1호
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• pp.13-26
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• 2011

본 연구의 목적은 초등수학 영재 교육 대상 학생들의 기하 인지 수준과 그들이 증명을 전개하는 과정에서 논리적인 정당화의 특성을 분석하고 이를 기반으로 수학 영재 교육을 위한 시사점을 제시하는 것이다. 이를 위하여 서울특별시 A영재교육원에 재학 중인 5, 6학년 학생 18명을 대상으로 그들의 기하 수준을 확인하고 그들이 기하문제를 증명을 하고 설명하는 과정에서 어떤 논리적인 정당화를 해 가는지 분석하였다. 연구 결과 이들은 van Hieles의 기하 사고의 0수준부터 4수준 중에서 대부분 2∼3수준에 있었다. 그리고 증명의 정당화 과정에서 이 영재 교육 대상 학생들은 잘라 붙이기와 수치적 접근을 사용하려는 시도와 이미 선행으로 학습한 내용의 기억을 되살려 사용하는 예가 많았고, 독창적이고 일반적인 증명으로 이끌어가는 데는 어려움을 가지고 있었다. 따라서 초등수학 영재 교육 대상자들을 위한 교육은 이들의 수준에 맞는 보다 정교화된 과제로 이들이 자신들의 증명의 정당화 과정을 인지하면서 보다 창의적이고 연역적 사고의 수준으로 이끌어 줄 필요가 있다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제18권2호
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• pp.109-124
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• 2004

대학수학에서 수학적귀납법의 원리를 소개하고 풍부한 예를 통해 이해를 돕는다. 특별히 교양수학을 수강하는 1학년 학생 수준에 맞게 매스매티카 프로그램을 이용하여 구체적인 예를 갖고 한단계 한단계 접근하여 수학적귀납법의 증명을 연습할 기회를 준다. 증명을 단계적으로 하는 것을 연습하여 학생들은 논리적인 사고능력을 개발하고 새로운 명제를 발견할 수 있는 기회를 맞보게 한다. 물론, 증명 연습은 1학년 신입생에게는 쉽지 않으나 여러 명제에 대해 연습을 하는 것은 수학적, 논리적 사고 능력을 개발하고 증명문제에 대한 인식을 바꾸는데 매우 중요한 역할을 할 것이다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제18권4호
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• pp.455-467
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• 2008

우리는 '중학교 수학에서의 증명과 논증'의 의미와 수준의 설정을 검토할 필요가 있다. 중학생 수준에서의 증명과 논증은 모두 학습 집단 속에서의 의사소통을 통한 인간 활동으로 보아야 하며, 이에 부합하도록 수업의 방향을 잡아야 한다. 이런 노력의 일환으로, 우리는 중학교 기하수업 개선을 목적으로 중학교 2학년학생들을 대상으로 2년 동안 기하탐구교실 수업을 진행해 왔다. 우리는 이 수업 중 벌어진 상황 중하나를 선택하여, 최초 발현된 학생들의 증명 도식이 상호교섭의 과정을 통해 어떻게 교실에서 수용되는 증명 도식으로 형성되어 가는지 그 과정을 살펴볼 것이다. 네 단계에 걸친 활동을 통해 기하탐구교실에서의 증명은 학생들에 의해 발현된 초기 증명 도식에서 출발하여 상호교섭의 과정을 통한 결과물로서의 기하탐구교실만의 증명 도식의 생성으로 이어진다. 우리가 이 과정에 주목하는 이유는 교섭의 산출물이 갖는 수학적 완결성 때문이 아니라, 그것이 갖는 의사소통과 상호 이해, 상호참조라는 가치에 있으며, 이것이야말로 수학교실에서 수용될 수 있는 적법한 증명이라는 것을 말하기 위해서다. 이상과 같이 우리는 기하탐구교실이라는 학생들의 참여를 통해 공동체 내에서 수용되는 증명의 수준이 어디까지이며, 그것이 어떤 협상 과정을 거쳐 수립되는지 살펴보았다. 이 과정은 동시에 학생들 스스로 증명을 학습해 가는 과정이기도 하다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제27권2호
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• pp.191-205
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• 2017

본 연구는 서울의 C중학교 1학년 학생들이 기하 증명 문제를 해결하는 과정에서 보여주는 증명스키마 유형과 그 특징을 조사한 것이다. 자료 분석은 Harel, & Sowder의 증명스키마 유형에 기초하여 이루어졌다. 연구 결과, 학업성취수준에 따라 학생들이 사용하는 증명스키마 유형에 차이가 있었다. 상위권에서 하위권으로 갈수록 변형적 증명스키마를 사용하는 학생의 비율이 감소하였고 귀납적(측정) 증명스키마를 사용하는 학생의 비율은 증가하였다. 또한 증명과정에서 비형식적인 부호 사용하기, 문제에서 주어진 그림 특정 비율로 인식하기 등 각 증명스키마 유형마다 고유한 특징이 나타났다. 이를 바탕으로 4개의 의미 있는 결론을 추출하였고, 이것이 증명 교수 학습에 주는 시사점을 논의하였다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제8권
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• pp.17-32
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• 1999

본 논문의 목적은 Cabri II 를 이용하여 형식적이고 연역적인 증명수업 방법의 대안을 찾는 데 있다. 형식적인 증명을 하기 전에 탐구와 추측을 통한 발견과 그 결과에 대한 비형식적인 증명 활동을 강조한다. 역동적인 기하소프트웨어인 Cabri II 는 작도가 편리하고 다양한 예를 제공하여 추측과 탐구 그리고 그 결과의 확인을 위한 풍부한 환경을 제공할 수 있으며, 끌기 기능을 이용한 삼각형의 변화과정에서 관찰할 수 있는 불변의 성질이 형식적인 증명에 중요한 역할을 한다. 또한 도형에 기호를 붙이는 활동은 형식적인 증명을 어렵게 만드는 요인 중의 하나인 명제나 정리의 기호적 표현을 보다 자연스럽게 할 수 있게 해 준다. 그러나, 학생들이 증명은 더 이상 필요 없으며, 실험을 통한 확인만으로도 추측의 정당성을 보장받을 수 있다는 그릇된 ·인식을 심어줄 수도 있다. 따라서 모든 경우에 성립하는 지를 실험과 실측으로 확인할 수는 없다는 점을 강조하여 학생들에게 형식적인 증명의 중요성과 필요성을 인식시킬 필요가 있다. 본 연구에 대한 다음과 같은 후속연구가 필요하다. 첫째, Cabri II 를 이용한 증명 수업이 학생들의 증명 수행 능력 또는 증명에 대한 이해에 어떤 영향을 끼치는지 특히, van Hiele의 기하학습 수준이론에 어떻게 작용하는 지를 연구할 필요가 있다. 둘째, 본 연구에서 제시한 Cabri II 를 이용한 증명 교수학습 방법에 대한 구체적인 사례연구가 요구되며, 특히 탐구, 추측을 통한 비형식적인 중명에서 형식적 증명으로의 전이 과정에서 나타날 수 있는 학생들의 반응에 대한 조사연구가 필요하다.

• 과학과기술
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• 제32권4호통권359호
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• pp.72-74
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• 1999

우리나라의 생명공학기술 수준은 선진국에 비해 93년도 50%, 97년도 80% 수준으로 평가된다. 연구인력은 97년도 기준 4천4백35명이며 시장규모는 4천2백억원으로 세계시장에 비해 1.6% 수준이다. 최근 성공한 복제소 영롱이의 개발은 우리의 유전공학분야가 세계수준으로 진입했음을 증명해주는 쾌거이며 이제 우리나라도 세계 5번째 동물 복제국이 되었다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제9권4호
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• pp.521-538
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• 2006

본 연구는 중학교 2학년 기하증명에서 증명보조카드를 제시하는 증명지도방법을 통해 학생들의 기하증명 능력과 기하증명에 대한 수학적 태도 변화를 조사한 것이다. 대구광역시 D중학교 2학년 학생들을 대상으로 5차시 동안 증명보조카드를 이용한 수업 후 수준별 학생 7명을 선정하여 이 학생들이 작성한 학습지와 증명보조카드를 사용하기 전과 후의 변화를 중점으로 인터뷰를 하였다. 이렇게 수진된 자료의 분석에 의한 본 연구의 결론은 증명보조카드를 이용한 증명활동을 통해 학생들의 기하증명에 대한 능력 변화가 있었으며, 증명보조카드를 이용한 증명활동을 통해 기하증명에 대한 수학적 태도의 변화가 있었다.

• 한국정보처리학회:학술대회논문집
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• 한국정보처리학회 2007년도 춘계학술발표대회
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• pp.1125-1128
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• 2007

보안 취약성이 끊임없이 보고되고 있다. 이는 보안솔루션의 초기 효과수준을 유지하기 위해서는, 새로운 취약성이 보고되면 즉시 대처하는 지속적 관리활동이 필요함을 뜻한다. 한편 기업성과 개선을 위한 IT투자성과관리가 강조되는 가운데, 정보보호 솔루션 도입 시 재무적 타당성 증명이 요구되고 있다. 이를 위해 여러 형태의 ROSI(Security ROI)가 제시되었으나, 지속적 보호활동에 따른 관리비용이 중요하게 다루어져야 함에도 불구하고 비용에 대한 고려가 적고 효과산정에만 치우쳐, 경영자의 의사 결정을 지원하는 실제적인 재무 성과지표로 활용될 수 없었다. 이에 본 논문은 조직수준의 비용효과 최적화를 추구하는 정보보호 관리체계에 기반을 두어 효과를 산정하고, 비용 산정은 지속적 관리활동이라는 특징을 반영하여 TCO에 기반을 둔 개선된 ROSI를 제안한다. 또한, 제안한 ROSI를 활용한 보안솔루션 평가사례를 제시한다. 증명이 어려운 정보보호 분야 투자타당성 증명은 물론 보안솔루션 선택 시 실제적인 의사결정 판단근거로서 활용될 수 있다.