• 대한수학교육학회지:학교수학
• /
• 제5권4호
• /
• pp.401-420
• /
• 2003

증명 학습에 있어서 많은 어려움이 특히, 증명이 도입되는 중학교 기하 단원의 학습에서 야기되고 있으며, 무엇보다도 많은 학생들이 증명의 의미를 이해하지 못하는 것은 간과하기 어려운 문제점이다. 본 고에서는 기하의 역사 발생적 단계에 따른 증명의 의미 지도가 증명 지도 개선을 위한 하나의 방안이 될 수 있음을 밝히고자 하였다. Branford가 제시한 바와 같이 역사-발생적 전개를 통하여 증명의 의미를 지도하는 방안을 모색해 보고자, Euclid원론이 성립하기까지의 기하의 역사적 발달 과정과 병행하여 실험적, 직관적, 과학적 단계를 거쳐 발전되어 온 증명의 발생 과정을 살펴보고 지도 과정을 분석해 보았다. 그리고 실험적, 직관적 증명 단계를 거쳐 수학적인 증명을 도입하는 지도 과정에 따라 삼각형의 내각의 합에 대한 명제의 증명 지도를 중학교 1학년 학생들을 대상으로 실시해 보았다. 본 고에서는 그러한 결과를 통하여 역사-발생적 접근이 학생들에게 증명의 의미를 이해시키는데 큰 도움이 된다는 것을 확인하였다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
• /
• 제8권
• /
• pp.17-32
• /
• 1999

본 논문의 목적은 Cabri II 를 이용하여 형식적이고 연역적인 증명수업 방법의 대안을 찾는 데 있다. 형식적인 증명을 하기 전에 탐구와 추측을 통한 발견과 그 결과에 대한 비형식적인 증명 활동을 강조한다. 역동적인 기하소프트웨어인 Cabri II 는 작도가 편리하고 다양한 예를 제공하여 추측과 탐구 그리고 그 결과의 확인을 위한 풍부한 환경을 제공할 수 있으며, 끌기 기능을 이용한 삼각형의 변화과정에서 관찰할 수 있는 불변의 성질이 형식적인 증명에 중요한 역할을 한다. 또한 도형에 기호를 붙이는 활동은 형식적인 증명을 어렵게 만드는 요인 중의 하나인 명제나 정리의 기호적 표현을 보다 자연스럽게 할 수 있게 해 준다. 그러나, 학생들이 증명은 더 이상 필요 없으며, 실험을 통한 확인만으로도 추측의 정당성을 보장받을 수 있다는 그릇된 ·인식을 심어줄 수도 있다. 따라서 모든 경우에 성립하는 지를 실험과 실측으로 확인할 수는 없다는 점을 강조하여 학생들에게 형식적인 증명의 중요성과 필요성을 인식시킬 필요가 있다. 본 연구에 대한 다음과 같은 후속연구가 필요하다. 첫째, Cabri II 를 이용한 증명 수업이 학생들의 증명 수행 능력 또는 증명에 대한 이해에 어떤 영향을 끼치는지 특히, van Hiele의 기하학습 수준이론에 어떻게 작용하는 지를 연구할 필요가 있다. 둘째, 본 연구에서 제시한 Cabri II 를 이용한 증명 교수학습 방법에 대한 구체적인 사례연구가 요구되며, 특히 탐구, 추측을 통한 비형식적인 중명에서 형식적 증명으로의 전이 과정에서 나타날 수 있는 학생들의 반응에 대한 조사연구가 필요하다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
• /
• 제19권2호
• /
• pp.185-206
• /
• 2009

분석법은 증명 방법을 찾을 수 있는 좋은 방법의 하나로 제안되어 왔다. 본 연구에서는 4명의 중학교 1학년 학생들을 대상으로 실제로 분석법을 중심으로 증명을 지도하기 위한 교수 실험을 실시하여, 분석법을 활용하여 증명 방법을 찾고 그것을 증명으로 표현하는 과정에서의 어려움을 살펴보았다. 본 연구 결과, 4명의 학생들은 교수 실험을 통해 분석법을 의미 있게 이해하고 분석법을 활용하여 증명 방법을 찾는 데에 대부분 성공하였다. 한편, 분석법을 중심으로 한 증명 학습에서 학생들이 겪는 어려움은 삼각형의 합동조건의 올바른 탐색, 증명 문제에 제시된 그림의 재해석, 증명 방법의 기호적 표현 등으로 나타났다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
• /
• 제14권3호
• /
• pp.297-313
• /
• 2012

학생들에게 증명을 보다 이해하기 쉽게 전개하는 대안으로, 내러티브의 잠재력과 그 효과를 함수의 평행 이동이라는 사례에서 논의한다. 내러티브의 구성 요소를 고려하여, 평행 이동한 함수의 식을 유도하는 증명을 내러티브로 구성하였다. 두 집단의 학생들에게 내러티브와 형식적 증명을 각각 제시하고, 내러티브가 증명을 제시하는 것보다 함수의 평행 이동에 대한 도구적 및 관계적 이해라는 측면에서 유의미한 효과가 있는지를 살펴보았다. 실험집단과 비교집단에서 사후 도구적 및 관계적 이해 검사 결과의 차이가 통계적으로 유의하지는 않았으므로, 내러티브로 제시하는 것이 증명을 제시하는 것보다 함수의 평행 이동에 대한 도구적 및 관계적 이해의 측면에서 더 효과적이라는 결론을 내릴 수는 없었다. 그러나 학생들의 관계적 이해 반응과 수업 평가에 대한 질적 분석에서는 비교집단과 실험 집단사이에서 몇 가지 다른 양상을 발견할 수 있었으며, 형식적 증명을 보완할 수 있는 내러티브의 가능성을 찾아볼 수 있었다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
• /
• 제23권1호
• /
• pp.85-108
• /
• 2009

본 연구에서는 전통적인 증명 지도 방안의 대안으로 Freudenthal의 안내된 재발명 원리를 적용한 증명 지도 방안을 개발 적용하여 안내된 재발명 원리에 토대를 둔 증명 지도 방안이 중학교 2학년 학생들의 증명 능력 및 증명 학습 태도에 어떤 영향을 미치는지를 조사하였다. 안내된 재발명 원리를 적용한 증명 지도는 다양한 활동을 통해 학생들 스스로 명제를 만들어 보고 증명해 보는 경험을 제공하는데 주안점을 두었다. 본 연구 결과, 안내된 재발명 원리를 적용한 증명 지도 방안으로 학습한 실험반과 교사의 설명에 의존하는 전통적인 증명 지도 방안으로 학습한 비교반이 사후 증명 능력 검사에서 통계적으로 유의미한 차이를 보여주었다. 특히, 사후 증명 능력 검사 문항 중 그림이 제시되지 않고 완전한 증명 과정을 요구하는 문항에서 두 집단 사이에 큰 차이가 발견되었고 비교반의 무응답 비율이 실험반보다 현저히 높게 나타났다. 또한, 증명 학습 태도 검사에서는 실험반 학생들이 비교반 학생들보다 증명 학습에 대해서 상대적으로 더 긍정적인 태도를 갖고 있음을 알 수 있었다.

• 한국수학교육학회지시리즈A:수학교육
• /
• 제43권4호
• /
• pp.381-390
• /
• 2004

In this study, we conceptualized the ‘preformal proof’, which is a transitive level of proof from the experimental and inductive justification to the formalized mathematical proof. We investigated concrete features of the preformal proof in the historico-genetic and the didactical situations. The preformal proof can get the generality of the contents of proof, which makes a distinction from the experimental proof. And we can draw a distinction between the preformal and formal proof, in point that the preformal proof heads for the reality-oriented objects and does not use the formal language.

• 대한수학교육학회지:학교수학
• /
• 제6권1호
• /
• pp.59-90
• /
• 2004

본 연구에서는 중학생들이 증명학습을 할 때 범하는 수학적 오류를 교수학적으로 처방할 뿐만 아니라 올바른 증명의 역할과 본질을 이해하여 증명과정을 스스로 구성할 수 있도록, '생성-수렴 모형에 의한 증명학습'이라는 증명 학습-지도 방법을 제시하였다. 이 수업모형을 8학년 학생 160명을 대상으로 10주 동안 40시간에 걸쳐 여러 가지 사각형의 성질과 관계를 학습할 때 적용하여 학생들의 증명능력 향상과 오류 교정에 미치는 효과 및 학생들의 정당화 유형 양상으로 세분화하여 그 결과를 살펴보았다. 첫째, 생성-수렴 모형에 의한 증명학습을 실시한 실험집단의 학생들은 통제집단의 학생들보다 증명능력 검사에서 평균점수는 높았다. 그러나 유의수준 .01에서 통계적 검정을 실시한 결과, 두 집단 간의 증명능력은 유의적인 차이가 없었다. 둘째, 학생들은 논증기하 영역에서 증명을 할 때 범하는 오류 교정율에 있어서 생성-수렴 모형에 의한 증명학습을 한 학생들의 오류 교정율이 통제집단보다 더 큰폭으로 감소하였다. 셋째, 학생들의 정당화 유형은 실험집단과 통제집단 모두 경험적 정당화에서 분석적 정당화로의 이행을 보였으나, 생성-수렴 모형에 의한 증명학습을 한 학생들이 통제집단의 학생들보다 분석적 정당화를 구성하는 학생들이 현저하게 증가하였다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
• /
• 제21권2호
• /
• pp.135-148
• /
• 2011

우리나라 중학교 수학 2에서는 공리의 역할을 하는 명제를 공리라는 명시 없이, 실험에 의해 확인한 옳은 결과로만 받아들여 증명에 사용한다. 그러나 공리 개념은 경험적 입증과 연역적 증명, 직관기하와 논증기하, 증명과 증명이 아닌 것의 차이를 이해하는데 매우 중요한 것이다. 본 연구의 교과서 분석과 영재학생들을 대상으로 한 인식조사 결과는, 공리와 증명의 취급에 대하여 우리나라 교과서가 가진 한계와 문제점을 보여주고 있다.

• 한국수학교육학회지시리즈C:초등수학교육
• /
• 제16권2호
• /
• pp.123-145
• /
• 2013

본 연구의 목적은 GeoGebra를 활용한 귀납활동이 초등수학영재들의 증명능력 및 증명학습태도에 미치는 영향을 알아보는 것이다. 본 연구의 대상은 영재교육원에서 영재교육을 받고 있는 초등수학영재 20명(실험집단 10명, 비교집단 10명)이고, 실험집단은 GeoGebra를 활용한 귀납활동 중심의 증명 수업을 하고, 비교집단은 GeoGebra를 활용하지 않은 일반적인 증명 수업을 실시하였다. 수업 실시 후 증명능력 검사와 증명학습태도 검사를 통해 얻은 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 증명 이전의 선행활동으로서의 GeoGebra를 활용한 귀납활동으로 학습한 실험집단은 전통적인 증명 학습을 한 비교집단보다 증명능력에 있어서 더 높은 성취도를 보였다. 둘째, 증명 이전의 GeoGebra를 활용한 귀납적 활동을 통해 증명 학습을 한 실험집단은 전통적인 증명 학습을 한 비교집단보다 증명에 대한 신념 및 태도에 있어서 긍정적인 생각을 가지고 있었다. 셋째, 탐구형 소프트웨어인 GeoGebra의 측정 및 끌기 기능을 통해 학생들이 도형을 변화시켜 불변의 성질을 탐구하며 가정 및 결론을 분리하여 직접 명제를 만드는 것이 증명 학습에 긍정적 효과가 있음을 알 수 있었다.

• 한국정보과학회:학술대회논문집
• /
• 한국정보과학회 2007년도 한국컴퓨터종합학술대회논문집 Vol.34 No.1 (C)
• /
• pp.303-308
• /
• 2007

최근에 제안된 감독 지식을 융합하는 강화 학습 기법인 potential-based RL 기법의 효용성은 이론적 최적 정책으로의 수렴성 보장으로 증명되었고, policy-reuse RL 기법의 우수성은 감독지식을 융합하지 않는 기존의 강화학습과 실험적인 비교를 통하여 증명되었지만, policy-reuse RL 기법을 potential-based RL 기법과 비교한 연구는 아직까지 제시된 바가 없었다. 본 논문에서는 potential-based RL 기법과 policy-reuse RL 기법의 실험적인 성능 비교를 통하여 기법이 policy-reuse RL 기법이 policy-reuse RL 기법에 비하여 더 빠르게 수렴한다는 것을 보이며, 또한 policy-reuse RL 기법의 성능은 재사용하는 정책의 optimality에 영향을 받는다는 것을 보인다.