• Journal of Applied and Pure Mathematics
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• 제5권3_4호
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• pp.237-253
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• 2023

Let a graph G = (V, E) be a (p, q) graph. Define $${\rho}=\{\array{{\frac{p}{2}} & \;\;p\text{ is even} \\ {\frac{p-1}{2}} & \;\;p\text{ is odd,}$$ and M = {±1, ±2, … ± ρ} called the set of labels. Consider a mapping λ : V → M by assigning different labels in M to the different elements of V when p is even and different labels in M to p - 1 elements of V and repeating a label for the remaining one vertex when p is odd. The labeling as defined above is said to be a pair mean cordial labeling if for each edge uv of G, there exists a labeling ${\frac{{\lambda}(u)+{\lambda}(v)}{2}}$ if λ(u) + λ(v) is even and ${\frac{{\lambda}(u)+{\lambda}(v)+1}{2}}$ if λ(u) + λ(v) is odd such that ${\mid}{\bar{{\mathbb{S}}}}_{\lambda}{_1}-{\bar{{\mathbb{S}}}}_{{\lambda}^c_1}{\mid}{\leq}1$ where ${\bar{{\mathbb{S}}}}_{\lambda}{_1}$ and ${\bar{{\mathbb{S}}}}_{{\lambda}^c_1}$ respectively denote the number of edges labeled with 1 and the number of edges not labeled with 1. A graph G for which there exists a pair mean cordial labeling is called a pair mean cordial graph. In this paper, we investigate the pair mean cordial labeling behavior of few graphs including the closed helm graph, web graph, jewel graph, sunflower graph, flower graph, tadpole graph, dumbbell graph, umbrella graph, butterfly graph, jelly fish, triangular book graph, quadrilateral book graph.

• Journal of Applied and Pure Mathematics
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• 제6권1_2호
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• pp.55-69
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• 2024

Let a graph G = (V, E) be a (p, q) graph. Define $${\rho}=\{\array{{\frac{p}{2}} && p\;\text{is even} \\ {\frac{p-1}{2}} && p\;\text{is odd,}}$$ and M = {±1, ±2, … ± 𝜌} called the set of labels. Consider a mapping λ : V → M by assigning different labels in M to the different elements of V when p is even and different labels in M to p - 1 elements of V and repeating a label for the remaining one vertex when p is odd. The labeling as defined above is said to be a pair mean cordial labeling if for each edge uv of G, there exists a labeling $\frac{{\lambda}(u)+{\lambda}(v)}{2}$ if λ(u) + λ(v) is even and $\frac{{\lambda}(u)+{\lambda}(v)+1}{2}$ if λ(u) + λ(v) is odd such that ${\mid}\bar{\mathbb{s}}_{{\lambda}_1}-\bar{\mathbb{s}}_{{\lambda}^c_1}{\mid}\,{\leq}\,1$ where $\bar{\mathbb{s}}_{{\lambda}_1}$ and $\bar{\mathbb{s}}_{{\lambda}^c_1}$ respectively denote the number of edges labeled with 1 and the number of edges not labeled with 1. A graph G with a pair mean cordial labeling is called a pair mean cordial graph. In this paper, we investigate the pair mean cordial labeling behavior of some union of graphs.

• 충청수학회지
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• 제19권1호
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• pp.69-77
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• 2006

The generalized Hyers-Ulam stability problems of the mixed type functional equation $$f\({\sum_{i=1}^{4}xi\)+\sum_{1{\leq}i<j{\leq}4}f(x_i+x_j)=\sum_{i=1}^{4}f(x_i)+\sum_{1{\leq}i<j<k{\leq}4}f(x_i+X_j+x_k)$$ is treated under the approximately even(or odd) condition and the behavior of the quadratic mappings and the additive mappings is investigated.

• Journal of applied mathematics & informatics
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• 제26권3_4호
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• pp.583-590
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• 2008

In this article, we focuss on. sequences of polynomials with {$\pm1$} coefficients constructed by recursive argument that is known as Rudin-Shapiro polynomials. The asymptotic behavior of these polynomials defines as the ratio of their 2q-norm with 2-norm to be dominated by some number depending on q or "the best" by an absolute constant. In this work we first show the conjecture holds for some finite numbers of m and then introduce a technique that give the result for any positive odd integer m whenever it holds for all pervious even numbers.

• 충청수학회지
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• 제19권2호
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• pp.189-196
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• 2006

The generalized Hyers-Ulam stability problems of the cubic functional equation f(x + y + z) + f(x + y - z) + 2f(x - y) + 4f(y) = f(x - y + z) + f(x - y - z) +2f(x + y) + 2f(y + z) + 2f(y - z) shall be treated under the approximately odd condition and the behavior of the cubic mappings and the additive mappings shall be investigated. The generalized Hyers-Ulam stability problem for functional equations had been posed by Th.M. Rassias and J. Tabor [7] in 1992.

• 공업화학
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• 제21권2호
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• pp.230-237
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• 2010

선상의 액정 다이머 동족체들인 ${\alpha},{\omega}$-비스(4-니트로아조벤젠-4'-카보닐옥시)알칸들(NATWESn, n = 2~8, 10, 유연격자 중의 메틸렌 단위들의 수)을 합성함과 동시에 이들의 열적 거동을 검토하였다. 모든 다이머들은 쌍방성 네마틱 상들을 형성하였다. 다이머들의 네마틱 상에서 액체 상으로의 전이온도들, 그리고 상 전이시의 엔트로피 변화는 n의 함수로서 커다란 홀수-짝수 효과를 나타냈다. 이러한 거동은 유연격자의 홀수-짝수의 변화에 의한 유연격자의 평균적인 형태변화의 견지에서 합리적으로 설명된다. NATWESn이 나타내는 네마틱 상의 열적 안정성과 질서도, 그리고 홀수-짝수의 크기는 니트로아조벤젠 그룹을 폴리메틸렌 유연격자를 통하여 에테르 결합으로 도입시켜 얻은 대칭 다이머들의 결과들과 거의 유사한 반면 모노메소겐 화합물들인 4-{4'-(니트로페닐아조펜옥시}알카노일 클로라이드들, 그리고 곁사슬형 액정 고분자인 폴리[1-{4-(4'-니트로페닐아조)펜옥시카보닐알카노일옥시}에틸렌]들의 결과들에 비해 판이하였다. 이들의 결과를 Imrie에 의한 'irtual trimer model'의 견지에서 검토하였다.

• Journal of applied mathematics & informatics
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• 제42권1호
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• pp.1-14
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• 2024

Let G = (V, E) be a (p, q) graph. Define $$\begin{cases}\frac{p}{2},\:if\:p\:is\:even\\\frac{p-1}{2},\:if\:p\:is\:odd\end{cases}$$ and L = {±1, ±2, ±3, ···, ±ρ} called the set of labels. Consider a mapping f : V → L by assigning different labels in L to the different elements of V when p is even and different labels in L to p - 1 elements of V and repeating a label for the remaining one vertex when p is odd.The labeling as defined above is said to be a pair difference cordial labeling if for each edge uv of G there exists a labeling |f(u) - f(v)| such that |Δ_f1 - Δ_f^c1| ≤ 1, where Δ_f1 and Δ_f^c1 respectively denote the number of edges labeled with 1 and number of edges not labeled with 1. A graph G for which there exists a pair difference cordial labeling is called a pair difference cordial graph. In this paper we investigate the pair difference cordial labeling behavior of subdivision of some graphs.

• 공업화학
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• 제22권4호
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• pp.358-366
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• 2011

선상의 액정 dimer 동족체인 ${\alpha},{\omega}$-(4-사이아노아조벤젠-4'-옥시)알케인(CATWETn, n = 2~10, 유연격자 중의 메틸렌 단위들의 수)을 합성함과 동시에 이들의 열방성 액정 거동을 검토하였다. n이 3, 6인 dimer들은 단방성 네마틱 상을 형성하는 반면 다른 유도체들은 양방성 네마틱 상을 형성하였다. Dimer들의 네마틱액체 전이온도와 상 전이시의 엔트로피 변화는 n의 함수로서 커다란 홀수-짝수 효과를 나타냈다. 이러한 상 전이 거동은 유연격자의 홀수-짝수의 변화에 의한 유연격자의 평균적인 형태변화의 견지에서 합리적으로 설명된다. CATWETn이 나타내는 네마틱 상의 열적 안정성과 질서도 그리고 홀수-짝수 효과는 메톡시, 니트로 그리고 펜틸기로 치환된 dimer에 대해 보고된 결과와 유사한 경향을 나타내는 반면 monomesogenic 화합물인 1-{4-(4'-사이아노페닐아조)펜옥시}알킬브롬 그리고 곁사슬형 액정 고분자인 폴리[1-{4-(4'-사이아노페닐아조)펜옥시알킬옥시}에틸렌]에 대해 보고된 결과와 현저히 달랐다. 이들의 결과를 Imirie에 의한 'virtural trimer model'의 견지에서 검토하였다.

• Bulletin of the Korean Chemical Society
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• 제28권12호
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• pp.2241-2247
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• 2007

A new series of chiral bent-shaped liquid crystals with an asymmetric central core based on 1,6- dihydroxynaphthalene and chiral terminal chain prepared from (S)-(?)-2-methyl-1-butanol, 1,6-naphthalene bis[4-(4-alkoxyphenyliminomethyl)]benzoates [N(1,6)-n-O-PIMB(n-2)*-(n-4)O (n = 8-11)] were synthesized. Their mesomorphic properties and phase structures were investigated by means of electro-optical, polarization reversal current, and second harmonic generation measurements in order to confirm the relationship between the molecular structure and phase structure. All odd n (n = 9 and 11) compounds, N(1,6)-9-O-PIMB7*-5O and N(1,6)-11-O-PIMB9*-7O exhibit antiferroelectric phase, whereas even n (n = 8 and 10) compounds was flexible, N(1,6)-10-O-PIMB8*-6O exhibits the ferroelectric phase but N(1,6)-8-O-PIMB6*-4O exhibits the antiferroelectric phase. These results come from the decrease of the closed packing efficiency within a layer and the lack of uniform interlayer interaction between adjacent layers, which were caused by the asymmetrical naphthalene central core. Thus, we concluded that the structure of central core as well as the terminal chain plays an important role for the emergence of particular polar ordering in phase structures.

• 폴리머
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• 제32권5호
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• pp.489-496
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• 2008

폴리 [1-{4-(4'-니트로페닐아조)페녹시카보널알카노일옥시}에틸렌]들(NAPEn, n=$2{\sim}8$,10, 유연격자 중의 메틸렌 단위들의 수)의 동족체들의 열방성 액정 거동을 검토하였다. 모든 동족체들은 단방성 네마틱 상들을 형성하였다. 유리전이온도들은 n이 증가함에 따라 낮아졌다. 이러한 사실은 곁사슬 그룹들에 의한 주사슬의 가소화에 의해 초래되는 것으로 생각된다. 액체 상에서 네마틱 상으로의 전이온도들은 n이 7까지는 낮아지며 홀수-짝수 효과를 나타냈다. 그러나 n>7인 동족체들의 전이온도는 거의 일정하게 되었다. 이러한 거동은 유연격자의 홀수-짝수의 변화에 기인한 곁사슬의 평균적인 형태변화의 견지에서 합리적으로 설명된다. 전이온도에서 관찰되는 엔트로피 증가의 변화도 동일한 관점에서 설명된다. NAPEn이 나타내는 액정 특성들은 폴리아크릴레이트, 폴리메타크릴레이트 그리고 폴리스틸렌에 아조벤젠 그룹들을 폴리메틸렌 유연격자들을 통하여 연결시켜 얻은 고분자들에 대해 보고된 결과와 전혀 달랐다. 이러한 결과들은 주사슬과 곁사슬의 화학적 결합양식이 액정상의 형성능, 안정성 그리고 구조에 중요한 역할을 함을 시사한다.