• KSII Transactions on Internet and Information Systems (TIIS)
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• 제12권6호
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• pp.2554-2580
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• 2018

Lenstra-Lenstra-$Lov{\acute{a}}sz$ (LLL) is an effective receiving algorithm for Multiple-Input-Multiple-Output (MIMO) systems, which is believed can achieve full diversity in MIMO detection of fading channels. However, the LLL algorithm features polynomial complexity and shows poor performance in terms of convergence. The reduction of algorithmic complexity and the acceleration of convergence are key problems in optimizing the LLL algorithm. In this paper, a variant of the LLL algorithm, the Hybrid-Fix-and-Round LLL algorithm, which combines both fix and round measurements in the size reduction procedure, is proposed. By utilizing fix operation, the algorithmic procedure is altered and the size reduction procedure is skipped by the hybrid algorithm with significantly higher probability. As a consequence, the simulation results reveal that the Hybrid-Fix-and-Round-LLL algorithm carries a faster rate of convergence compared to the original LLL algorithm, and its algorithmic complexity is at most one order lower than original LLL algorithm in real field. Comparing to other families of LLL algorithm, Hybrid-Fix-and-Round-LLL algorithm can make a better compromise in performance and algorithmic complexity.

• 한국통신학회논문지
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• 제34권9C호
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• pp.915-921
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• 2009

LLL (Lenstra-Lenstra-Lovasz) 알고리즘은 보다 좋은 채널 행렬의 기저를 얻기 위하여 주로 사용되는 격자 감소기법이다. 본 논문에서는 LRA (lattice reduction aided) 프리코딩 기법에서 채널 행렬의 기저 (basis) 벡터를 격자 감소시키기 위하여 LLL 알고리즘 대신 Seysen 알고리즘 (SA)을 사용하였으며, 기존의 선형 프리코딩 기법을 SA를 통하여 얻어진 변환된 채널 행렬에 적용하였다. SA를 통하여 LLL 알고리즘보다 높은 직교성을 가진 기저를 얻어낼 수 있으므로, SA 기반의 LRA 프리코딩 기법은 기존의 LLL 기반의 LRA 프리코딩 기법보다 우수한 성능을 가진다. 모의실험 결과를 통하여 LRA 프리코딩에서 격자 감소를 위하여 SA를 사용한 경우, LLL 알고리즘을 사용한 경우보다 target BER $10^{-5}$에서 0.5dB정도의 BER 성능 이득이 얻어짐을 입증한다.

• Journal of the Korean Society for Industrial and Applied Mathematics
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• 제20권2호
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• pp.107-121
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• 2016

We analyze the complexity of the LLL algorithm, invented by Lenstra, Lenstra, and $Lov{\acute{a}}sz$ as a a well-known lattice reduction (LR) algorithm which is previously known as having the complexity of $O(N^4{\log}B)$ multiplications (or, $O(N^5({\log}B)^2)$ bit operations) for a lattice basis matrix $H({\in}{\mathbb{R}}^{M{\times}N})$ where B is the maximum value among the squared norm of columns of H. This implies that the complexity of the lattice reduction algorithm depends only on the matrix size and the lattice basis norm. However, the matrix structures (i.e., the correlation among the columns) of a given lattice matrix, which is usually measured by its condition number or determinant, can affect the computational complexity of the LR algorithm. In this paper, to see how the matrix structures can affect the LLL algorithm's complexity, we derive a more tight upper bound on the complexity of LLL algorithm in terms of the condition number and determinant of a given lattice matrix. We also analyze the complexities of the LLL updating/downdating schemes using the proposed upper bound.

• 대한수학회지
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• 제59권6호
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• pp.1047-1065
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• 2022

For two dimensional lattices, a Gaussian basis achieves all two successive minima. For dimension larger than two, constructing a pairwise Gaussian basis is useful to compute short vectors of the lattice. For three dimensional lattices, Semaev showed that one can convert a pairwise Gaussian basis to a basis achieving all three successive minima by one simple reduction. A pairwise Gaussian basis can be obtained from a given basis by executing Gauss algorithm for each pair of basis vectors repeatedly until it returns a pairwise Gaussian basis. In this article, we prove a necessary and sufficient condition for a pairwise Gaussian basis to achieve the first k successive minima for three dimensional lattices for each k ∈ {1, 2, 3} by modifying Semaev's condition. Our condition directly checks whether a pairwise Gaussian basis contains the first k shortest independent vectors for three dimensional lattices. LLL is the most basic lattice basis reduction algorithm and we study how to use LLL to compute a pairwise Gaussian basis. For δ ≥ 0.9, we prove that LLL(δ) with an additional simple reduction turns any basis for a three dimensional lattice into a pairwise SV-reduced basis. By using this, we convert an LLL reduced basis to a pairwise Gaussian basis in a few simple reductions. Our result suggests that the LLL algorithm is quite effective to compute a basis with all three successive minima for three dimensional lattices.

• Journal of Communications and Networks
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• 제13권5호
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• pp.481-493
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• 2011

Multiple-input multiple-output (MIMO) technology provides high data rate and enhanced quality of service for wireless communications. Since the benefits from MIMO result in a heavy computational load in detectors, the design of low-complexity suboptimum receivers is currently an active area of research. Lattice-reduction-aided detection (LRAD) has been shown to be an effective low-complexity method with near-maximum-likelihood performance. In this paper, we advocate the use of systolic array architectures for MIMO receivers, and in particular we exhibit one of them based on LRAD. The "Lenstra-Lenstra-Lov$\acute{a}$sz (LLL) lattice reduction algorithm" and the ensuing linear detections or successive spatial-interference cancellations can be located in the same array, which is considerably hardware-efficient. Since the conventional form of the LLL algorithm is not immediately suitable for parallel processing, two modified LLL algorithms are considered here for the systolic array. LLL algorithm with full-size reduction-LLL is one of the versions more suitable for parallel processing. Another variant is the all-swap lattice-reduction (ASLR) algorithm for complex-valued lattices, which processes all lattice basis vectors simultaneously within one iteration. Our novel systolic array can operate both algorithms with different external logic controls. In order to simplify the systolic array design, we replace the Lov$\acute{a}$sz condition in the definition of LLL-reduced lattice with the looser Siegel condition. Simulation results show that for LR-aided linear detections, the bit-error-rate performance is still maintained with this relaxation. Comparisons between the two algorithms in terms of bit-error-rate performance, and average field-programmable gate array processing time in the systolic array are made, which shows that ASLR is a better choice for a systolic architecture, especially for systems with a large number of antennas.

• 한국방송∙미디어공학회:학술대회논문집
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• 한국방송공학회 2012년도 하계학술대회
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• pp.377-380
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• 2012

격자 감소 (lattice reduction) 알고리즘은 주어진 기저 벡터를 직교에 가까운 기저 벡터로 바꾸어 준다. 그중 대표적인 알고리즘으로 LLL (Lenstra, Lenstra & Lovasz) 알고리즘이 있다. 격자 감소 알고리즘을 이용하여 다중 안테나 입출력 (MIMO) 통신시스템의 선형 수신기(linear detector)의 성능을 향상 시킬 수 있다. 스피어 복호 알고리즘 (sphere decoding algorithm)은 MIMO 통신 시스템에서 사용되는 복호기중 최대 우도 복호기 (Maximum Likelihood Detector)와 비슷한 BER(bit error rate)성능을 가지고 복잡도를 줄일 수 있어서 많이 연구되어 왔다. 이때 스피어의 반지름의 설정이나 트리 검색 구조 방식 등은 복잡도에 큰 영향을 미친다. 본 논문에서는 LLL 알고리즘에 기반하여 스피어의 반지름 설정 및 트리 검색 노드 수를 제한하는 방식으로 스피어 복호 알고리즘의 복잡도를 기존 알고리즘에 비해 크게 낮추면서도 비트 오류률 (BER) 성능 열화를 최소한으로 한 알고리즘을 제안하고 전산 실험을 통해 검증한다.

• 한국통신학회논문지
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• 제34권6C호
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• pp.642-648
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• 2009

본 논문에서는 LRA (Lattice Reduction-Aided) 검출 기법에서 격자 감소를 위하여 주로 사용되어 오던 LLL(Lenstra-Lenstra-Lovasz)을 대신하여 SA (Seysen Algorithm)를 이용함으로써, 복잡도의 감소와 함께 성능 향상을 이루었다. 이러한 성능향상에도 불구하고 여전히 존재하는 SA-LRA 검출 기법과 ML 검출과의 성능 차이를 줄이기 위하여 list of candidates 기법을 SA-LRA 검출 기법에 적용하였다. List of candidates 기법은 송신 신호 벡터가 될 수 있는 후보들의 리스트를 구성하여, 이 중 최소의 유클리디안 거리 (Euclidean Distance)를 가지는 후보를 송신 신호 벡터로 추정하는 기법이다. 모의실험 결과는 이 기법을 통하여 SA-LRA 검출 기법이 ML 검출과 유사한 성능을 가질 수 있음을 보이고 또한, SA를 통하여 채널 행렬이 보다 더 직교성을 가지게 되는 것을 보인다.

• Journal of the Korean Society for Industrial and Applied Mathematics
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• 제19권2호
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• pp.171-188
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• 2015

In this paper, the efficient column-wise/row-wise lattice reduction (LR) updating and downdating methods are developed and their complexities are analyzed. The well-known LLL algorithm, developed by Lenstra, Lenstra, and Lov${\acute{a}}$sz, is considered as a LR method. When the column or the row is appended/deleted in the given lattice basis matrix H, the proposed updating and downdating methods modify the preconditioning matrix that is primarily computed for the LR with H and provide the initial parameters to reduce the updated lattice basis matrix efficiently. Since the modified preconditioning matrix keeps the information of the original reduced lattice bases, the redundant computational complexities can be eliminated when reducing the lattice by using the proposed methods. In addition, the rounding error analysis of the proposed methods is studied. The numerical results demonstrate that the proposed methods drastically reduce the computational load without any performance loss in terms of the condition number of the reduced lattice basis matrix.

• 한국통신학회논문지
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• 제36권6A호
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• pp.551-557
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• 2011

본 논문에서는 다중 사용자 다중 입출력 (MIMO : multiple input multiple output) 시스템에서 Look-Up Table(LUT)을 이용한 격자 감소(LR : Lattice-Reduction) 기반 전부호화(Precoding) 기법에 대해 연구하였다. LR 기반 벡터분산기 법 (VP : Vector Perturbation)은 송신단에서 채널정보를 완벽히 안다고 가정하였을 때 큰 채널전송 용량(Sum Capacity)를 얻을 수 있으면서 부호화 복잡도 문제도 해결할 수 있다. 이러한 성능 향상에도 불구하고 LLL(Lenstra-Lenstra-Lovasz)알고리즘을 사용한 LR과정은 채널 행렬의 열 벡터 교환과정을 포함한 반복 연산에 의해서 복잡도가 높고 하드웨어 구현이 어려운 점이 있다. 본 논문에서는 VP 기법에 LUT를 이용한 격자감소기법을 적용하고, LUT를 효율적으로 구성하는 방법을 제시한다. 모의실험 결과는 기존에 제안된 LUT 구성 방식에 비하여 적은 메모리 용량으로 유사한 직교손실(Orthogonality Defect)와 비트 오류율(BER : Bit Error Rate)을 보인다.

• 대한전자공학회논문지TC
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• 제46권6호
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• pp.86-93
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• 2009

본 논문에서는 다중 사용자 다중 입출력 시스템을 위해 격자 감소 기법 기반 전부호화(preceding) 기법에 대해 연구하였다. 송신 단에서 완벽한 채널 상태 정보(CSI : Channel state information)를 이용할 수 있을 때, 벡터 분산 기법(VP : vector perturbation)은 큰 채널 전송 용량(sum capacity)을 얻을 수 있으면서 간단한 수신기로 구현될 수 있다. 그러나 VP 기법의 부호화는 비결정적 난해(NP-hard : nondeterministic polynomial time-hard) 문제이다. 이에 반해 격자 감소 기법 기반의 VP 기법은 부호화 복잡도를 크게 줄일 수 있다. 본 논문에서는 기본 및 이중 베이시스의 동시 감소를 통한 Seysen 격자 감소 기반 VP 기법(VP-SLR : vector perturbation with Seysen's lattice reduction)을 제안한다. 모의실험 결과는 LLL 기반 VP기법(VP-LLL : vector perturbation with Lenstra-Lenstra-Lovasz lattice reduction)에 비해 제안된 VP-SLR 기법이 더 낮은 비트 오류율(BER : bit error rate)과 더 큰 전송 용량을 가짐을 보여준다.