• Korean Journal of Mathematics
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• 제26권3호
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• pp.537-544
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• 2018

There is a standard construction of lifting cyclic codes over the prime finite field ${\mathbb{Z}}_p$ to the rings ${\mathbb{Z}}_{p^e}$ and to the ring of p-adic integers. We generalize this construction for arbitrary finite fields. This will naturally enable us to lift codes over finite fields ${\mathbb{F}}_{p^r}$ to codes over Galois rings GR($p^e$, r). We give concrete examples with all of the lifts.

• 한국정보통신학회논문지
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• 제9권8호
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• pp.1774-1779
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• 2005

본 논문에서는 그래프 이론에 기초를 둔 GFDD를 사용하여 디지털논리시스템을 구성하는 한가지 방법을 제안하였다. 제안한 방법은 먼저 유한체와 그래프 이론의 수학적 성질을 논의하였으며, 단일변수에 대한 동작영역과 함수영역간의 변환을 용이하게 하기 위한 변환행렬 $\psi$GF(P)(1)과 $\xi$GF(P)(1)을 논의하였다. 그리고 디지털스위칭함수를 구하기 위한 Reed-Muller 확장을 논의하였으며, 이를 다변수인 경우로 확장하기 위해 Kronecker Product를 논의하였다.

• East Asian mathematical journal
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• 제38권5호
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• pp.583-591
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• 2022

Let K be an imaginary quadratic field and 𝒪 be an order in K. Let H_𝒪 be the ring class field of 𝒪. Furthermore, for a positive integer N, let K_𝒪,N be the ray class field modulo N𝒪 of 𝒪. When the discriminant of 𝒪 is different from -3 and -4, we construct an extended form class group which is isomorphic to the Galois group Gal(K_𝒪,N/H_𝒪) and describe its Galois action on K_𝒪,N in a concrete way.

• Kyungpook Mathematical Journal
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• 제56권3호
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• pp.755-761
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• 2016

Let A be an abelian variety over a global field K. We show that, in "many" cases, Chen-Kuan's invariant M(A[n]), that is the average number of n-torsion points of A over various residue fields of K, has the minimal possible value.

• 한국정보통신학회:학술대회논문집
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• 한국해양정보통신학회 2005년도 춘계종합학술대회
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• pp.880-883
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• 2005

본 논문에서는 유한체 GF(P)상의 순차논리머시인구성 방법의 한가지를 제안하였다. 제안한 순차논리머시인구성 방법은 먼저 GF(P)상에서의 순차논리머시인의 수학적 성질을 논의하였으며, 순차논리머시인 구성을 위하여 기본의 3가지 회로소자를 사용하여 선형제환시프트레지스터와 이에 대한 행렬표현에 대해 논의하였다. 그리고, 제안한 방법을 제산연산처리에 적용하였다.

• 대한수학회지
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• 제22권2호
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• pp.117-124
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• 1985

• 전자공학회논문지SC
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• 제41권6호
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• pp.27-35
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• 2004

유한 필드, 즉 Galois 필드는 에러 정정 코드, 디지털 신호처리, 암호법(cryptography)와 같은 광범위한 응용 분야에 사용되고 있다. 이 응용들은 종종 GF(2/sup m/)에서 지수제곱 연산을 필요로 한다. 기존에 제안되었던 방법들은 지수제곱 연산을 반복, 순환적인 곱셈으로 구현하여 계산시간이 많이 걸리거나, 또는 구현 시 하드웨어 구조가 복잡하여 하드웨어 비용이 큰 경우가 많았다. 본 논문에서는 지수제곱 연산을 하는 효과적인 방법을 제안하고 이를 VHDL로 구현하였다. 이 회로는 지수의 각 비트에 해당하는 곱셈 항들을 계산하고 이 들을 곱함으로써 지수제곱 연산을 계산한다. 과거에는 이 알고리즘이 원시 다항식의 근의 지수제곱 연산을 계산하는 데 사용되는 것으로 국한되어 있었으나, 본 논문에서는 이 알고리즘을 GF(2/sup m/)의 임의의 원소의 지수제곱 연산으로 확장하였다.

• 대한수학회지
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• 제39권2호
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• pp.289-317
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• 2002

We associate binary codes to polynomials over fields of characteristic two and show that the binary Golay codes are associated to the Mathieu group polynomials in characteristics two. We give two more polynomials whose Galois group in $M_{12}$ but different self-orthogonal binary codes are associated. Also, we find a family of $M_{24}$-coverings which includes previous ones.

• 대한수학회논문집
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• 제20권4호
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• pp.645-648
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• 2005

Let K be a Galois extension of a field F with G = Gal(K/F). Let L be an extension of F such that $K\;{\otimes}_F\;L\;=\; N_1\;{\oplus}N_2\;{\oplus}{\cdots}{\oplus}N_k$ with corresponding primitive idempotents $e_1,\;e_2,{\cdots},e_k$, where Ni's are fields. Then G acts on $\{e_1,\;e_2,{\cdots},e_k\}$ transitively and $Gal(N_1/K)\;{\cong}\;\{\sigma\;{\in}\;G\;/\;{\sigma}(e_1)\;=\;e_1\}$. And, let R be a commutative F-algebra, and let P be a prime ideal of R. Let T = $K\;{\otimes}_F\;R$, and suppose there are only finitely many prime ideals $Q_1,\;Q_2,{\cdots},Q_k$ of T with $Q_i\;{\cap}\;R\;=\;P$. Then G acts transitively on $\{Q_1,\;Q_2,{\cdots},Q_k\},\;and\;Gal(qf(T/Q_1)/qf(R/P))\;{\cong}\;\{\sigma{\in}\;G/\;{\sigma}-(Q_1)\;=\;Q_1\}$ where qf($T/Q_1$) is the quotient field of $T/Q_1$.

• 디지털산업정보학회논문지
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• 제18권1호
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• pp.1-9
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• 2022

Galois field arithmetic is important in error correcting codes and public-key cryptography schemes. Hardware realization of these schemes requires an efficient implementation of Galois field arithmetic operations. Multiplication is the main finite field operation and designing efficient multiplier can clearly affect the performance of compute-intensive applications. Diverse algorithms and hardware architectures are presented in the literature for hardware realization of Galois field multiplication to acquire a reduction in time and area. This paper presents a low complexity semi-systolic multiplier to facilitate parallel processing by partitioning Montgomery modular multiplication (MMM) into two independent and identical units and two-level systolic computation scheme. Analytical results indicate that the proposed multiplier achieves lower area-time (AT) complexity compared to related multipliers. Moreover, the proposed method has regularity, concurrency, and modularity, and thus is well suited for VLSI implementation. It can be applied as a core circuit for multiplication and division/exponentiation.