• 한국초등수학교육학회지
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• 제14권3호
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• pp.701-722
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• 2010

기하를 학습하기 위해 학생들은 일상생활에서 접하는 대상과 다른 구체적 자료를 사용해서 조사하고, 실험하고, 탐구해 보아야 한다. 구체적 조작활동은 수학적 모델링을 하는 과정에서 수학적 개념이나 절차를 이해하게 하고 이것을 기호로 나타내 주는 것을 도와주고 컴퓨터를 활용한 실험활동은 추상적인 학습내용을 시각화하여 직관적, 탐구적 활동에 초점을 둘 수 있게 한다. 따라서 본 연구는 구체물과 탐구형소프트웨어를 활용하여 구체적 조작 실험 활동을 할 수 있는 활동지를 개발하여 평면도형의 성질을 탐구할 수 있는 방안을 제시하고 그 효과를 검증하였다. 구체적 조작 실험의 수업은 중위 수준과 하위 수준의 학생들에게 평면도형의 성질 이해하는데 효과가 있었으며 상위수준 및 하위수준의 학생들에게 수학적 의사소통 능력을 향상시키는데 효과가 있는 것으로 나타났다. 학생들은 조작 실험 활동을 할 때 활동에 필요한 자료의 특성을 먼저 파악해야 하며 학생들에게 활동을 선택하게 할 때 교사의 치밀한 계획과 관찰이 요구된다. 또한 조작활동 후 수학적 의미를 연결짓기 위한 토론 활동이 요구된다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제19권1호
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• pp.143-161
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• 2009

본 연구는 기하문제해결에서 시각화 과정을 분석하여 기하추론교육에 시사점을 얻기 위하여 이루어졌다. 이를 위하여 선행연구를 근거로 시각화 과정을 구분하였으며 Duval의 이론을 기초로 시각화 과정 분석틀을 개발하였다. 서울과 경기지역의 중학교 3학년생 2명과 고등학교 1학년생 6명이 이 연구에 참여하였다. 각 학생들에게 평행선, 평행사변형, 닮음비, 닮음도형, 중선, 무게중심, 수직이등분선, 각의이등분선 등 평면도형 과제를 제공하고 각 학생의 문제해결 과정을 질적인 방법으로 분석하였다. 분석 결과 평면도형 문제해결에서 시각화는 도형의 이해를 도와 문제해결에 중요한 통찰을 제공하는 것으로 나타났다. 시각화 과정에서 도형에 대한 담론적 이해와 조작적 이해는 구성 요소들 간의 성질과 성질들 간의 관계를 알게 하고, 도형의 구조를 파악할 수 있게 하는 발견적 역할을 하였다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제12권4호
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• pp.619-638
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• 2010

본 고에서는 평면이나 공간에서 정의된 도형수가 일반적으로 유한 차원에서 일반화될 때 저차원의 도형수인 그노몬수, 다각수 그리고 다각뿔수의 성질을 통합적으로 설명할 수 있음을 논하고, 도형수와 파스칼 삼각형, 피보나치 수열의 성질과 그들 사이의 관계를 알아봄으로써 이들에 대한 성질 탐구가 수학적 추론과 연결성을 지도하기 적합한 소재가 될 수 있음을 논한다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제15권4호
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• pp.719-745
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• 2012

초등학교 4학년 수학은 도형 영역에서 다양한 개념들이 동시에 등장하는 시기로, 특히 삼각형이나 사각형 등과 같은 평면도형의 경우 그 개념이 총체적으로 학습되는 시기이다. 본 연구는 초등학교 4학년 학생들을 대상으로 그들이 학습한 도형 개념들에 대한 이해 정도를 파악하기 위해 '정의하기' 서술형 평가를 실시하고, 또한 그들이 갖고 있는 비형식적인 지식을 살펴보기 위한 '이름짓기'(naming) 서술형 평가를 실시하였다. 이를 통해 학생들이 이해하고 있는 도형의 개념정의와 개념이미지를 분석하고, 각각의 특징 및 반복해서 등장하는 오 개념과 그 원인을 분석하여 도형을 학습하고 지도하는 과정에서 생각해볼 유의점을 제안하고 있다. 더불어 학생들의 이름짓기 활동을 통해 도형의 어떤 요소에 가장 먼저 주목하는가를 분석함으로써 이 과정에서 그들이 인식하지 못하거나 빈도가 낮게 나타난 수학적 성질과 개념을 살펴보고 동시에 학교수학에서 도형 학습을 통해 갖게 되는 비형식적 지식을 고찰함으로써 도형 영역의 학습 지도를 위한 개선 방안을 제시하고 있다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제20권3호
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• pp.469-482
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• 2006

종이접기를 하고 그 종이를 다시 펼치면 그 흔적이 남는다. 이러한 흔적을 통해 얻을 수 있는 수학적인 사실에 대해 생각해 보았다. 펼친 흔적에서 삼각형과 사각형의 다양한 종류에 대해 살펴보고, 이러한 평면도형의 각의 크기, 변의 길이, 도형의 넓이를 구하는 활동을 통해 수학적 사실을 탐구하였다. 또한, 닮음인 삼각형을 찾는 활동을 통해 닮음인 삼각형 사이의 관계를 탐구하였다. 마지막으로, 도형의 성질을 탐구하였는데 그 중에서도, 피타고라스의 정리를 창의적인 방법으로 증명하여 보았다. 이러한 활동이 수학교육과정과 수학프로그램 개발에 시사점을 주리라 생각된다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제22권3호
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• pp.337-347
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• 2008

도형으로서의 직선을 좌표평면에서 대수적으로 표현하는 과정에서 곧음이라는 직선의 고유한 성질은 삼각형의 닮음에 의해 x값의 변화량에 대한 y값의 변화량의 비가 일정하다는 성질로 구체화되고, 이로부터 기울기의 개념이 자연스럽게 등장한다. 이때 기울기는 좌표평면에서 직선의 직선다움 즉, 직선성(直線性)을 나타내주는 수학적 개념으로 서로 평행인 직선을 구분하지 않을 때 한 직선의 불변량이라 할 수 있고, 직선의 방정식은 일정한 비로서의 기울기가 지닌 성질을 대수적으로 표현한 것이라 할 수 있다. 본 논문에서는 좌표평면에서의 직선 및 직선성(直線性)으로서의 기울기 개념이 학교수학에서 어떻게 다루어지고 있는지 분석하고, 개선 방안에 대하여 논의한다.

• 한국수학교육학회지시리즈A:수학교육
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• 제61권1호
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• pp.47-62
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• 2022

본 연구는 18세기 후반 조선산학서의 기하 영역 중 평면도형 관련 내용들이 이전 시기와 비교하여 어떻게 차별화되어 다루어졌는지 살펴보고, 평면도형과 관련된 설명과 계산법의 변화, 문제해결과정에서 수학적 논리의 엄밀성, 새롭게 등장한 수학 주제에 초점을 맞추어 분석하였다. 이를 위해 본 연구에서는 18세기 후반에 저술된 서명응의 <고사십이집>과 황윤석의 <산학입문>, 홍대용의 <주해수용>을 주 분석문헌으로 선정하여 이전시기의 <묵사집산법>, <구일집>과 비교하였다. 분석 결과, 도형을 측정 대상으로서가 아니라 성질을 탐구하는 대상으로 설명하고, 서법(西法)을 별해로 추가 제시하거나 기존 풀이법을 대체한 사례가 확인되었다. 또한 일부 문제에서 수학적 근거를 토대로 계산법의 타당성을 기술하거나 도형그림을 삽입한 도해(圖解)를 통한 설명, 근삿값에 대한 명확한 인식과 보다 정밀한 근삿값 설명 등은 수학적 논리의 엄밀성을 추구한 대표적 사례였다. 오늘날의 삼각함수에 해당하는 팔선(八線)과 삼각형의 구성요소 사이의 관계를 일반 삼각형으로 확장한 사례는 18세기 후반에 새롭게 등장한 기하 영역 주제였다. 이상은 18세기 후반의 조선산학이 서양수학의 이론적이고 논증적인 전개 양식을 점진적으로 수용한 근거라고 할 수 있다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제16권2호
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• pp.237-257
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• 2014

본 연구의 목적은 국가수준 학업성취도 평가 결과에서 나타난 각 성취수준별 학업성취 특성의 도출을 통해 교수 학습 및 평가의 방향에 시사점을 제공하는 데 있다. 이를 위해 본 연구에서는 2010년부터 2012년에 걸쳐 계속 출제된 성취기준에 해당하는 문항을 심층 분석하였다. 각 성취수준별 학업성취 특성을 도출한 결과, 우수학력은 교육과정에 제시되어 있는 용어와 기호의 의미, 수학적인 여러 가지 성질을 충분히 이해하고 있는 것으로 나타났다. 하지만 보통학력의 경우에는 일차함수의 활용, 평면도형의 성질과 입체도형의 성질을 활용 하는 문항에 대해서는 어려워하는 것으로 나타났다. 그리고 기초학력의 경우에는 거의 모든 영역에서 문제해결에 어려움이 있는 것으로 나타나, 학생들의 수학적 오개념 파악과 수와 연산 영역에 대한 학습을 강화할 필요성을 제기하였다.

• 한국정보처리학회:학술대회논문집
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• 한국정보처리학회 2003년도 추계학술발표논문집 (상)
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• pp.219-222
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• 2003

웹 코스웨어의 대부분은 2 차원적인 텍스트와 이미지를 이용한 것으로 설계되어 있으나 3 차원의 입체개념 형성이 필요한 입체도형 학습에서는 효과적인 학습이 되기 어렵다. 본 논문은 WWW에서 3차원 가상현실을 적용하여 구현한 웹 코스웨어로 중학생을 위한 입체도형 학습을 주제로 하였다. 2 차원 평면공간에서는 설명하기 어려운 입체도형의 성질을 3 차원의 가상현실의 공간에서 학습자 스스로 다양한 경험을 통해 이를 이해하고 학습의 개별화 요구를 충족시키는데 그 목적이 있다. 이를 위해 학습자가 주도적으로 학습을 조작, 진행해 나갈 수 있는 구성주의 학습이론을 기반으로 웹에서 3 차원 가상공간을 제공하는 스크립트 언어인 VRML2.0 을 이용하여 모델링하여 동적인 학습과 상호작용성을 높일 수 있도록 구현하였다.

• 영재교육연구
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• 제15권1호
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• pp.85-102
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• 2005

이 연구는 경기과학고등학교 1학년 학생 5명을 대상으로 사사연구를 진행하면서 학생들이 탐구한 수학적인 내용에 대한 분석과 그 결과가 나오기까지 멘토링을 하는 지도교수의 역할을 설명하고 있다. 학생들이 탐구한 수학적인 내용은 4차원 도형의 모양과 그 도형들에 나타나는 수학적인 성질이다. 지도교수는 연구에 익숙하지 않은 학생들을 위하여 수학자 피코크가 제안했던 '형식불역의 원리'를 모델로 삼도록 했고, 지도교수는 학생들의 창조적인 산출물 생산을 격려하기 위해 수학교육학자 프로이덴탈의 '안내된 재발명의 방법'을 사용하였다. 학생들은 지도교수의 안내에 의한 (재)발명의 원리에 따라 기존에 이미 알고 있던 수학적 성질을 고차원 도형에 적용시키면서 확장, 일반화시켜나갔는데, 여기에는 '형식불역의 원리'라는 틀이 매우 유용하게 작용하였다. 지도교사는 학생들에게 3차원 도형을 2차원에 표현하는 겨냥도, 전개도, 평면그래프를 응용하여 4차원을 3차원과 2차원에 표현하는 방식을 탐구하도록 하였다. 이 과정에서 학생들은 이미 알려진 파스칼의 삼각형과 이항정리, 오일러 정리, 하세의 다이어그램 등을 4차원 이상의 도형을 탐구할 때에도 적용할 수 있음을 확인하였다. 그리고 몇 가지의 추측과 후속 연구 과제를 제안하였다. 학생들의 산출물들은 형식불역의 원리와 안내된 재발명의 방법의 결과물인 것이다. 이 연구는 사사연구의 과정에 도움이 될 수 있는 3가지의 제안과 그 실 예를 담고 있다.