Dispersion Characteristics of Optical Waveguide with Periodic Blazed Grating Profile

주기적인 Blazed 격자로 구성된 광 도파로의 분산 특성

Abstract

Leakage and Bragg condition of optical waveguides with blazed grating profile are evaluated in detail by using novel and rigorous modal transmission-line theory (MTLT) based on eigenvalue problem. The blazed waveguides classified as symmetric, sawtooth and asymmetric gratings occur leaky-wave stop-band at Bragg conditions and anomalies based on Rayleigh condition near Bragg conditions. Furthermore, DFB properties of blazed waveguides at Bragg conditions are analyzed by applying longitudinal equivalent transmission-line with characteristic impedance of periodic grating. The numerical results show that the reflected power of DFB waveguides is maximized at Bragg conditions in which leaky-wave stop-bands occur.

고유치 문제에 기초한 모드 전송선로 이론 (Modal Transmission-Line Theory: MTLT)을 이용하여 blazed 격자로 구성된 광 도파로의 누설특성과 Bragg 조건들을 정확하게 분석하였다. 대칭형, 톱니형, 비대칭형으로 분류한 blazed 격자형 광 도파로는 Bragg 조건들에서 leaky-wave stop-band가 나타났으며, Bragg 조건 근처에서 Rayleigh 조건에 기인한 anomalies 현상이 발생함을 보였다. 또한, 주기적인 격자구조의 특성 임피던스에 기초한 종 방향 등가 전송선로를 구성하여 광 도파로의 DFB 특성을 Bragg 조건에서 분석하였다. 분석 결과, leaky-wave stop-band가 발생하는 Bragg 조건에서 DFB 도파로의 반사전력이 최대가 되는 것을 확인하였다.

Ⅰ.서론

주기적인 격자로 구성된 도파로인 DFB (Distributed Feedback) 전송구조는 광학 집적회로에 적합하고, 광결합기, LD, 광 필터, 빔 분배기 등과 같은 광통신용 소자로써 활용분야가 넓기 때문에 그 전송구조의 광학적 특성에 대한 많은 연구가 있어 왔다^[1,2]. 그와 병행하여 마이크로 공학 분야에서도 그와 같은 전송구조가 RF 필터나 누설파 안테나 제작 등에 성공적으로 연구되고 사용되어 왔다^[3,4]. 그러나 대부분의 그 전송구조는 평면 유전체 슬립 상에 다층 유전체로 구성된 장방형 격자 (Rectangular Grating) 구조로 제작하였다.

장방형 격자형 DFB 전송구조는 제작이 쉽고 그 설계 특성을 정확하게 분석하기 용이하므로 많은 관련 분야연구자들의 관심을 집중적으로 받아온 반면 본 논문에서 제시한 blazed 격자형 DFB 전송구조는 격자 구조의 굴절률을 Fourier 급수로 표현하기가 어렵고, 제작이 난해하며, 그 광학적 분산특성을 정확하게 분석하기 힘들다는 이유로 관련 연구 논문이 거의 발표되지 않았다.

이와 같은 이유를 극복하기 위하여 본 논문에서는 2D spatial Fourier 급수를 정의하여 대칭형 (Symmetric), 톱니형 (Sawtooth), 비대칭형(Asymmetric)으로 분류한 blazed 격자구조에 대한 유전율을 결정하고, 고유치 문제에 기초한 모드 전송선로 이론 (Eigenvalue Problembased Modal Transmission-Line Theory: EP-MTLT)^[5]을 적용하여 blazed 격자형 DFB 전송구조의 광학적 설계특성을 정확하게 분석하였다. 우선 2장에서 blazed 격자구조에 대한 2D spatial Fourier 급수를 유도하였으며, DFB 광 도파로 설계 시에 분석해야 하는 중요한 광학적 특성의 하나인 누설 파 (Leaky-Wave) 특성을 1-st, 2-nd, 3-rd Bragg 조건에서 자세하게 분석하였다. 또한, 3장에서는 주기적인 격자구조의 특성 임피던스로 구성된 등가 전송 선로 망^[6]을 사용하여 blazed 격자형 DFB 광 도파로의 입력 단에서 발생하는 반사 전력 (Reflected Power)을 도시하고 2장에서 고려한 누설특성과 어떤 관련성이 있는지 비교 설명하였다. 마지막으로 4장에서는 DFB 광 도파로의 중요한 설계특성인 누설 파의 누설특성 (Leakage)과 반사 전력에 대한 결론을 정리하였다.

그림 1. (a) 주기적인 blazed 격자로 구성된 광 도파로의 기하학적 구조와 (b) 등가 전송선로 망.

Fig. 1. (a) Geometric configuration of optical waveguide with periodic blazed grating profile, and (b) the corresponding quivalent transmission-line network.

그림 2. 주기적인 blazed 격자로 구성된 광 도파로의 누설성분에 대한 분산곡선.

Fig. 2. Dispersion curve for leakage of optical waveguide with periodic blazed grating profile.

Ⅱ.광 도파로의 leaky-wave 특성

주기적인 blazed 격자구조로 구성된 광 도파로의 분산특성은 blazed 격자구조의 대칭성, 두께, 주기에 의존하여 Bragg 조건 영역 (βd/π≈m = 1,2,3, ⋯)에서 발생하는 차단대역 (stop-band) 특성과 매우 다른 결과를 초래한다. 이러한 변수들에 의존하는 blazed 광 도파로의 구조가 그림 1(a)에 자세하게 도시되어 있다.

그림 에서 보듯이, 전송 구조의 입력 단(z = 0)에서 다중 파장대역 (λ₁~λ_m)의 광 신호 전력이 입사되었다고 가정하자. 그 입사된 다중 파장 전력 중에 일부 파장대역 (λ_i+1~λ_j-1)은 Bragg 조건 영역에서 blazed 격자를 통하여 외부로 누설되고, 누설되지 않은 파장대역 (λ₁~λ_i,λ_j~λ_m)의 광 신호 전력만이 그 전송 구조를 통하여 출력된다. 이와 같은 물리적 특성은, Bragg 조건 영역에서 임의의 파장대역 광 신호들이 feedback-wave에 의하여 차단되는 전형적인 DFB 전송구조와 유사한 차단 대역 특성이라 할 수 있다.

이와 같은 현상들을 분석하기 위하여 굴절률 n_s = 3.17인 기판 위에, 두께 t_f = 580nm, 굴절률 n_g = 3.39인 필름과 두께 t_g = 100nm 인 blazed 격자로 광 도파로를 설계하였다.

그때 blazed 광 도파로의 분산 특성을 분석하기 위하여 격자 패턴에 대한 Fourier 확장 특성을 정의해야 한다. 그림 1(a)에서 보듯이, 굴절률 n_a와 n_g로 구성된 격자 구조의 굴절률은 2D spatial Fourier 급수로 아래와 같이 정의된다.

\(\varepsilon_{r}(x)=\sum_{n} \varepsilon_{n} e^{i(2 n \pi / d) x}\)       (1)

여기서, Fourier 계수 &epilon;_n는 다음과 같이 유도할 수 있다.

\(\begin{aligned} \varepsilon_{n} &=\frac{1}{t_{g} d} \int_{0}^{t_{g}} \int_{-d_{1}}^{d_{2}} \varepsilon(x, z) e^{-i(2 n \pi / d) x} d x d z =\frac{\Delta \varepsilon}{(2 n \pi)^{2}}\left(\frac{d}{d_{1}}+\frac{d}{d_{2}}\right)\left(1-e^{i\left(2 n \pi d_{1} / d\right)}\right) \end{aligned}\)       (2)

위의 식에서 \(\Delta \epsilon=\epsilon_{g 1}-\epsilon_{g 2}=n_{e f f 1}^{2}-n_{e f f 2}^{2}\)이고 0-번째 Fourier 계수 ε₀는

\(\varepsilon_{0}=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{g 1}+\varepsilon_{g 2}\right)\)       (3)

와 같이 정의된다. 이 blazed 격자의 Fourier 급수는 비대칭 (Asymmetric Profile)을 구성하는 변수 d₁ , d₂에 의존하여 다양한 형태의 blazed 격자구조로 변형될 수 있다.

즉, d₁ = d, d₂ = 0인 경우 식 (3)은 톱니형 (Sawtooth Profile) 격자구조를 형성하며, d₁ = d₂ = d/2인 경우에는 대칭형 (Symmetric Profile) 격자구조로 변형된다.

그때, EP-MTLT의 횡방향 공진조건 (Transverse resonance condition)

\(\left|\mathbf{Y}_{\text {up }}\left(k_{z n}\right)+\mathbf{Y}_{\text {dn }}\left(k_{z v}\right)\right|=0\)       (4)

을 적용하여 광 도파로에서 전파하는 정확한 모드들의 고유값인 전파상수 k_zn을 결정할 수 있으며 다음과 같이 정의된다.

\(k_{z n}=k_{z 0}+\frac{2 n \pi}{d}=\beta+i \alpha+\frac{2 n \pi}{d}\)    (5)

여기서, β 는 모드들의 위상상수 (Phase Constant)를 나타내며 α는 누설 파의 누설특성을 나타내는 감쇄상수 (Attenuation Constant)이다.

TE₀ 모드에 대한 그림 2의 정규화 감쇄상수 αλ에 대한 분산곡선에서 보듯이, 각 전송구조들은 Bragg 조건 영역에서 매우 큰 피크 값을 나타내었다. 이 피크 값들은 지금까지 알려져 왔던 진행파 (Forward Wave)와 후진파 (Backward Wave)의 위상상수가 서로 정합되는 피드백 특성과 다른 현상으로 누설 파가 외부로 그 전파 전력을 누설하여 형성된 것이다. 그림에서 보듯이, 대칭형, 톱니형, 비대칭형 모두 1차 Bragg 조건 영역 (βd/π≈1)에서 매우 큰 누설특성을 보였다. 그러나 2차와 3차 Bragg 조건에서는 누설특성이 격자 형태에 의존하여 발생하지 않는 현상도 발생하였다. 톱니형은 모든 조건 하에서 누설특성이 나타난 반면 비대칭형은 1, 2차 Bragg 조건에서, 대칭형은 오직 1차 Bragg 조건에서 만누설특성이 나타났다. 더욱이, 대칭형은 1,2차에서, 비대칭형은 3차 조건에서 Rayleigh 조건에 기인한 anomalies 현상이 발생함을 보였다. 이와 같은 현상은 blazed 격자구조가 톱니형에서 대칭형으로 변함에 따라 anomalies 현상이 나타나는 Bragg 조건들이 증가하는 것을 보여 주고 있다.

그림 3. 1차 Bragg 조건에서 상세하게 도시된 분산곡선.

Fig. 3. Detailed dispersion curve at 1-st Bragg condition.

그림 4. 2차 Bragg 조건에서 상세하게 도시된 분산곡선.

Fig. 4. Detailed dispersion curve at 2-nd Bragg condition.

이를 구체적으로 분석하기 위하여 그림 3과 4에 자세한 그림을 도시하였다. 먼저, 1차 Bragg 조건 영역에서 분석된 그림 3에서 보듯이, 누설 파에 의존하는 순수한 차단대역 (True Stop-Band) 특성이 나타났으며, 톱니형과 비대칭형 전송구조의 차단대역은 각각 k_od≈1.2×10^-3, 1.8×10^-3로 나타났으며, 누설 성분은 각각 αλ≈15.4×10^-3, 19×10^-3와 같이 발생하였다.

다음으로, 2차 Brag 조건 영역 (βd/π≈2)에서 발생하는 분산특성을 분석하였다. 그림 4에서 보듯이, 1차 Bragg 조건에서의 분산곡선과 다르게 진행파와 후진파의 위상상수가 오직 하나의 값인 k_od≈1.9189에서 서로 일치하였다. 그러나 감쇄상수는 차단대역 내에서 지수 함수적으로 증가하고 감쇄하는 누설특성을 보였다. 이와 같은 현상은 모든 공간 고조파 (Space Harmonics)가 감쇠파 (Evanescent Wave)인 1차 Bragg 조건과 다르게 2차 Bragg 조건에서는 1개의 공간 고조파가 방사파 (Radiating Wave)로 복사되기 때문이다. 이와 같은 곡선을 순수한 차단대역이 아닌 누설 파 차단대역 (Leaky-Wave Stop-Band) 현상이라 부른다. 더욱이 2 차 Bragg 조건에서는 톱니형이 비대칭형 전송구조보다 누설성분이 크게 나타났다.

마지막으로, 각 Bragg 조건 하에서 격자 두께의 변화가 톱니형 도파로의 누설특성에 어떠한 영향을 미치는지 수치해석 하였다. 그림 5에서 보듯이, Bragg 차수가 증가함에 따라 누설성분의 최댓값이 증가함을 보였으며, 각 Bragg 차수에서 최대의 누설성분을 얻기 위하여 격자 두께의 최적화가 필수적임을 보여준다.

그림 5. 격자 두께에 따른 톱니형 도파로의 누설특성.

Fi. 5. Normalized Leakage of sawtooth waveguide along with grating thickness.

그림 6. 1차 Bragg 조건에서 blazed 격자구조로 구성된 DFB 전송구조의 반사 전력.

Fig. 6. Reflected power of DFB guiding structure with blazed grating profile at 1-st Bragg condition.

Ⅲ.광 도파로의 DFB 특성

Blazed 격자로 구성된 광 도파로의 필터특성은 2장에서 언급한 누설파에 의존하는 경우와 진행파와 후진파의 위상상수가 서로 정합되어 나타나는 피드백에 의존하는 경우이다.

본 장에서는 피드백에 의한 DFB 현상을 누설 파에 의존하는 필터특성과 자세하게 비교, 분석하기 위하여 그림 1(b)에서 보듯이 광 도파로에 대한 등가 전송선로를 구성하였다. 이 등가 전송선로는 아래와 같이 주어진 주기 적인 격자구조에 대한 특성 임피던스 Z_eq에 기반한다.

\(Z_{e q}=\frac{\omega \mu}{C_{p}^{*}}\)    (6)

여기서 \(C_{p}^{*}\)는 식(5)의 전파상수 k_zn으로 구성되는 TE 모드의 필드 직교조건 (Field Orthogonality Condition)과 전력 보존 조건 (Power Conservation Condition)을 만족하는 정규화 상수이다. 그때 둥가 전송선로 망의 입력 단 (z=0)에서의 반사 전력 (Reflected Power)은 다음과 같이 정의된다.

\(P_{r e f}=\left|\Gamma_{i n}\right|^{2}=\left|\frac{\Gamma(L)\left(1+e^{2 i k_{z 0} L}\right)}{1+\Gamma^{2}(L) e^{2 i k_{z 0} L}}\right|^{2}\)    (7)

여기서 Γ(L)은 출력 단 (z=L)에서의 반사계수이며  Γ(L) = (Z_p-Z_eq)/(Z_p+Z_eq)와 같이 표현된다.

먼저 TE₀ 모드에 대한 식 (7)의 반사 전력을 톱니형, 대칭형 격자구조를 갖는 광 도파로에 대하여 분석하였다.전송구조의 길이가 L=200d인 그림 6에서 보듯이, 두격자구조 모두 1차 Bragg 조건 영역에서 최대의 DFB 특성이 발생하였다. 특히 톱니형은 대역폭이 왜곡되는 현상이 나타난 반면에 대칭형은 FWHM이 ∼5×10^-3으로 안정적인 협대역 특성을 보였다.

이와 같은 수치 해석적 사실로부터 다음과 같은 결론을 이끌 수 있다. Blazed 격자 구조형 광 도파로는 오직 대칭형 구조에서 만 안정인 대역폭 특성을 보이며, 그이외의 구조에서는 비대칭성 구조로 인하여 대역폭 특성이 왜곡된다는 것이다.

마지막으로, 격자의 수 (즉, 광 전송선로의 길이)에 따른 반사 전력을 안정적인 대역폭 특성을 보이는 대칭형 구조에 대하여 수치해석 하였다. 그림 7에서 보듯이, 격자 개수가 N=200에서 N=300으로 증가함에 따라 반사 전력의 최댓값이 -4.7 dB에서 –2.7 dB로 증가하였으 며, FWHM 대역폭이 더욱 작아지는 대역 특성이 나타났다.

그림 7. 1차 Bragg 조건에서 대칭형 격자구조의 반사 전력. 여기서, N은 단위 셀의 수이다.

Fig. 7. Reflected power of symmetric grating profile at 1-st Bragg condition, where N is the number of unit cell.

결국, 2장의 누설 파 특성과 3장의 DFB 특성에 대한 수치 해석적 사실로부터 알 수 있는 blazed 격자 구조형광 도파로의 물리적 현상을종합해 보면, 각 Bragg 조건 영역에서 누설성분이 최대가 되면 DFB 구조의 반사 전력도 최대가 된다는 것을 알 수 있다. 이는 DFB형 광 소자를 설계할 때 누설 파의 누설특성만 자세하게 분석하면 최적의 소자를 얻을 수 있다는 것을 암시하는 결과이다.

Ⅳ.결론

본 논문에서는 blazed 격자 구조형 광 도파로의 분산 특성을 고유치 문제에 기초한 모드 전송선로 이론을 사용하여 정확하게 분석하였다. 제안한 광 도파로의 누설 특성을 통하여 감쇠파의 누설성분을 평가하였으며, 차단 대역을 분석하기 위하여 등가 전송선로 망을 구성하여 DFB 현상을 수치해석 하였다. 또한, blazed 격자 구조를 갖는 DFB 소자의 최적 설계 조건을 구하기 위하여 DFB 현상과 누설 성분과의 연관성을 Bragg 조건 영역에서 비교 검토하였다.

분석결과, 제안한 blazed 격자 구조형 광 도파로는 DFB 전송구조의 반사 전력이 최대가 되는 조건에서 누설 파에 의존하는 누설성분 또한 최대가 되는 것을 알 수 있었다. 그러므로 이와 같은 물리적 광 특성에 기초하여 격자구조의 불연속 특성 변화가 매우 큰 blazed 도파로의 설계 변수들을 분석하고 종합하여야 좋은 특성의 광 필터를 설계할 수 있다는 것이다.