Prediction of Steady-state Strip Profile during Hot Rolling - PartⅡ: Development of a Mathematical Model

열연 공정 정상상태 판 프로파일 예측 - PartⅡ: 수식 모델 개발

Abstract

In the current study, we present a new model for the prediction of the strip profile and the residual stresses. This new approach is an analytical model that predicts the residual stresses from the effect of post-deformation. Since the residual stress cannot exceed the yield strength of the material, post-yielding may possibly occur in the post-deformation zone prior to the strip reaching the steady-state zone. The prediction accuracy of the proposed model is examined through comparison with the predictions from 3-D finite element (FE) simulations.

1. 서 론

열연 공정은 가열로에서 가열한 슬래브(slab)를 조압연과 사상압연을 통해 원하는 폭과 두께로 압연하여 코일을 만드는 공정이다. 그 중에서 사상압연은 조압연 공정을 통해 압연된 바(bar)를 다단 압연하여 목표 판 형상으로 압연하는 공정이다.

근래 제품의 경쟁력을 높이기 위해 품질 향상을 위한 노력이 진행되고 있다. 판 프로파일 정밀 예측 및 제어는 제품의 최종 판 형상을 결정하기 때문에 품질 향상을 위해 필수적이다.

과거 여러 연구자들에 의해 판 프로파일 예측에 관한 연구가 진행되어왔지만 대부분 경험에 의한 실험식이다[1,2]. 또한 롤 출측에서의 판 프로파일이 스탠드(stand) 사이에서 계속 유지된다고 가정하였기 때문에 롤 출측 판 프로파일을 결정하는 워크롤 변형에 관한 연구가 주로 이루어 졌다[3~5].

본 연구에서는 PartⅠ에서 확인된 소성변형후 변형(post-deformation) 효과를 반영해보기 위해서 정상 상태 판 프로파일을 결정하는 잔류응력과 두께방향 소성변형률에 소성변형후 변형(post-deformation)을 적용해 보고자 하였다. 제안된 판 프로파일 예측 모델은 사상압연 공정조건 하에서 3-D 탄·소성 유한요소 해석(FE simulation)과 비교하여 검증하였다.

 

2. 판 프로파일 예측 모델

2.1 롤 출측의 응력과 변형률 예측

Fig. 1은 다단 압연 시 판의 두께 변화와 변형률 변화를 나타내는 개략도 이다. 𝜀𝑖 는 롤 출측에서의 변형률, 는 정상상태 영역에서의 변형률을 나타내고 ‘i’는 압연기 번호를 나타낸다.

Fig. 1Representation of thickness and strain at the roll exit and at the steady-state zone

x를 폭 방향, y를 두께 방향, z를 길이 방향으로 가정하고 판의 두께방향 변형률 변화를 무시한다면 롤 출측에서의 각각의 변형률은 다음과 같이 정의 할 수 있다.

ℎ0(𝑥)는 바(bar)의 요소 두께, 𝑤0 는 요소 폭, 는 요소 길이를 나타낸다. 또한, ℎ𝑖 (𝑥), 𝑤𝑖 (𝑥), 는 i번째 압연기에서의 롤 출측 값이다.

i번째 압연기에서 압연 중 바이트존(bite zone)에서의 판의 변형률 증분량을 다음과 같이 정의 한다면, 롤 출측에서의 탄성변형률 및 소성변형률 역시 동일한 방식으로 정의 할 수 있다.

는 탄성응력-변형률 관계식으로부터 다음과 같이 정의된다.

𝜎𝑚𝑖 와 𝜎𝑖 는 각각 i번째 압연기에서 롤 출측의 수직응력(normal stress)과 등방응력(hydrostatic stress)을 나타낸다.

바이트존(bite zone)에서 Matsumoto가 제안한 수직응력(normal stress) 사이의 관계식을 이용하고 𝛼𝑖 ≈ 0 이라 가정하면 다음과 같이 표현된다[6,7].

식(2)와 식(4), 식(7)로부터 를 다음과 같이 정의할 수 있다. 또한, 를 알려진 근사모델을 사용하여 구한다면 소성변형의 비압축성 성질로부터 를 구할 수 있다[7].

2.2 정상상태에서의 응력과 변형률 예측

소성변형후 변형(post-deformation)에서 소성변형후 항복(post-yielding)을 무시한다면 정상상태에서의 소성변형률은 다음과 같이 정의할 수 있다

‘*’는 정상상태에서 소성변형후 항복(post-yielding)이 일어나지 않을 때를 나타낸다.

Fig. 2는 판의 롤 출측과 정상상태에서의 길이, 폭, 두께 변화를 나타낸다. 정상상태에서 판의 길이를 상수라고 가정한다면 와 잔류응력을 다음과 같이 정의할 수 있다.

Fig. 2Representation of thickness, width and length of a small element at the roll exit and at the steady-state zone

롤 출측과 정상상태에서 힘의 평형관계식을 이용하면 은 다음과 같이 구할 수 있다. 𝜎𝑓𝑖 는 평균 전방 텐션 값을 나타낸다.

위에서 얻은 잔류응력을 탄성응력-변형률 관계식에 적용하면 폭방향 및 두께방향 탄성변형률을 구할 수 있다.

2.3 소성변형후 항복(post-yielding) 처리 방법

2.2에서 얻은 잔류응력은 소성변형후 항복(post-yielding)을 무시하고 얻은 것이기 때문에 잔류응력이 항복응력을 초과한다면 소성변형후 항복(post-yielding)을 고려할 필요가 있다. ‘**’를 정상상태에서의 각 변형률을 나타낸다면 소성변형후 항복(post-yielding)에 의한 변형률 증분량은 다음과 같다.

소성변형후 항복(post-yielding)으로 인해 발생한 잔류응력 변화량은 다음과 같다.

소성변형후 항복(post-yielding)으로 발생한 는 힘의 평형에 영향을 미치지 않기 때문에 식(20)으로부터 를 구할 수 있다.

소성변형후 항복(post-yielding)으로 발생하는 응력과 변형률의 증분량을 계산하는 과정은 다음과 같다.

1) n = 0, 이라고 가정한다.

2) n = n+1, 를 다음과 같이 정의한다.

3) 식(20)으로부터 를 계산한다.

는 나 이며 기호는 에 의해 결정된다.

4) 식(22)로부터 를 계산한다.

5) 가 수렴할 때까지 과정 2)-4)를 반복한다.

소성변형후 항복(post-yielding)이 발생할 때 두께 및 길이방향 증분량에 비해 폭방향 소성변형률 증분량이 작기 때문에 이라 가정하면 는 다음과 같이 정의할 수 있다.

2.4 정상상태 판 프로파일 예측

위의 과정을 통해 정상상태에서의 변형률을 구하면 다음과 같다.

식(29)로부터 정상상태에서의 판의 두께분포를 얻을 수 있다. 판의 중심(center) 대비 판 끝 25mm 위치에서의 두께 편차를 나타내는 판 크라운 정의를 이용하여 정상상태 판 프로파일을 다음과 같이 정의 할 수 있다.

 

3. 모델 검증 및 결과

예측 모델의 타당성을 검증하기 위해서 3-D 비정상상태 탄·소성 유한 요소 모델을 사용하였고, 1개의 롤로 압연하는 유한요소 해석을 수행하여 모델을 검증하고자 하였다.

실제 압연 시 압연하중에 의해 발생한 롤 변형이 롤 출측 판 프로파일을 결정하기 때문에 롤 변형이 판 프로파일에 큰 영향을 미치지만 제안된 모델은 압연 후 발생한 소성변형후 변형(post-deformation)이 판에 미치는 영향이 중요하므로 롤은 강체라고 가정하였다.

3.1 검증 공정 조건

예측 모델의 검증을 위해 사용된 공정조건은 Table 1과 같다. 해석 시 판의 탄성계수(Young’s modulus) 100GPa, 포와송 비(Poisson’s ratio) 0.37, 항복강도 200MPa을 사용하였으며 마찰 모델은 쿨롬 마찰(coulomb friction)을 사용하였고, 롤과 판 사이의 마찰 계수는 μ=0.3을 사용하였다.

Table 1Simulation conditions

Fig. 3은 유한요소 해석 시 사용된 공정 조건 및 해석 결과를 나타낸다. b는 판 폭, ℎ는 출측 판 두께, 판 크라운(strip crown)은 롤 출측에서의 크라운(crown)을 나타낸다.

Fig. 3FE simulation of strip in flat rolling

3.2 예측 모델 검증

위와 같은 공정조건에서 Fig. 4는 유한요소 해석과 판 프로파일 예측 모델이 예측한 잔류응력을 나타낸다. 유한 요소 해석 결과는 소성변형후 변형(post-deformation) 이후 정상상태에 도달할 때까지 판을 충분히 압연 한 후 정상상태에서 판의 길이방향 응력를 나타낸 것이고, 판 프로파일 예측 모델을 통해서는 소성변형후 항복(post-yielding)까지 고려된 잔류응력을 나타낸다. Fig. 5는 소성변형후 변형(post-deformation) 이후 정상상태에서의 두께방향 소성변형률을 나타낸 것으로 중심(center) 대비 위치에서의 차이로 표현하였다.

Fig. 4The residual stress profile appearing in the steady-state zone

Fig. 5Thickness plastic strain distribution at the steady-state zone

유한요소 해석 결과 판의 끝 부에서 소성변형후 항복(post-yielding)이 발생하였는데 이를 모델 역시 잘 표현하고 있음을 확인할 수 있다. 위 결과를 통하여 모델이 예측하는 잔류응력이 소성변형후 변형(post-deformation)을 잘 반영하고 있음을 확인할 수 있다.

Fig. 6은 판 프로파일 예측 모델이 예측한 정상상태 판 프로파일과 유한요소 해석 결과를 비교한 것이다. 유한 요소 해석 결과는 정상상태에서의 판의 두께 프로파일이며 예측 모델 결과는 모델이 예측한 잔류응력과 두께방향 소성변형률을 적용하여 얻은 두께 프로파일이다. 예측 모델이 수 μm이하의 오차로 잘 예측하였음을 확인 할 수 있다. 이를 통해 판 프로파일 예측 모델의 타당성을 검증 할 수 있다.

Fig. 6Predicted strip profile at the roll exit and at the steady-state zone

 

4. 결과 및 토론

모델 검증에 사용된 공정조건은 단일 롤 압연 공정이지만 실제 열연 압연 공정은 다단 압연으로 5~7개의 롤로 구성되어 있다. 바(bar)의 사이즈 및 제품의 사이즈에 따라 압연 공정조건이 다르다. Table 2는 실제 압연 공정조건을 나타낸 것이다.

Table 2Process conditions, a finishing mill

Fig. 7은 모델이 예측한 제품의 판 프로파일과 실측 데이터를 비교한 것이다. Old 모델은 기존 판 프로파일 예측 모델로써 롤 출측에서의 판 프로파일을 정상 상태 판 프로파일로 가정한 모델이다[7, 8]. New 모델은 기존 판 프로파일 예측 모델에 롤 출측 이후 소성변형후 변형(post-deformation)을 추가한 모델이다.

Fig. 7Predicted strip profile at F7 stand

이를 통해 소성변형후 변형(post-deformation)을 반영하는 정상상태 판 프로파일 예측 모델이 모델의 예측 정밀도를 향상시켰음을 확인할 수 있다.

 

5. 결 론

본 논문에서는 수학적 수식을 기반으로 열연 공정의 사상 압연 시 정상상태 판 프로파일 및 잔류응력 예측 모델을 개발하였다. 또한, 이를 유한요소 해석의 결과와 비교하여 모델의 타당성을 검증하였다. 본 예측모델을 통해 사상 압연 시 제품의 판 프로파일 정밀 예측 및 제어에 기여할 수 있으리라 기대한다.