• 한국초등수학교육학회지
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• 제18권1호
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• pp.1-17
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• 2014

초등학교에서 곱셈의 교환법칙의 지도는 $3{\times}4=12$, $4{\times}3=12$와 같이 $a{\times}b$와 $b{\times}a$ 의 값을 계산하고 실제로 그 값이 같은지를 확인하는 활동을 바탕으로 하는 것이 보통이다. 이 논문에서는 첫째로, 순수이성비판에 나타난 수학적 지식에 관한 칸트의 견해를 바탕으로, 곱셈의 교환법칙의 취급 방법을 비판적으로 고찰한다. 칸트에 의하면, 수학적 지식은 선험성과 도식성이라는 특징을 지니고 있다. 두 곱셈의 계산 결과를 비교하는 방법은 선험성과 도식성이라는 수학적 지식의 특성을 충족하지 못한다. 칸트의 관점에서 볼 때, $a{\times}b$를 $b{\times}a$ 로 변환하는 필연적이고 일반적인 도식이 드러나게 교환법칙을 취급하는 것이 적절하다. 둘째로, 곱셈의 교환법칙의 도식과 관련된 기본구성단위로의 분배 전략은 (자연수)${\times}$(10의 거듭제곱), 몫 분수 맥락에서 분수의 복합적 의미, 분수의 곱셈과 같은 학습 내용을 관통하는 일반적인 성격의 것임을 논한다. 끝으로, 이상의 두 논의를 바탕으로 초등 수학교과서에서 곱셈의 교환법칙이 다루어지는 방식을 비판적으로 고찰한다.

• 한국과학교육학회지
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• 제34권4호
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• pp.335-347
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• 2014

관찰과 측정을 기본으로 하는 과학의 교과에서 "크기(size)"와 그를 나타내는 "척도(scale)"는 물질의 물리적 속성과 과학적 현상을 이해하도록 돕는 중요한 개념이다. 또한, 사물의 수, 크기나 양을 어림잡거나 그것을 정확하게 표현하는 것은 수학에서 수의 개념 형성과 발달, 표현법의 습득, 나아가서는 연산에 관한 사고로의 발전과 관련되어있는 문제라고 볼 수 있어 "크기와 척도" 개념은 수학과 과학의 기본이며 동시에 두 교과를 연결하는 개념이다. 일반적으로 "크기와 척도"는 쉬운 개념이라 생각되지만, 실제 학생들은 물질의 크기를 제대로 이해하지 못하거나 척도로 나타내는 것을 어려워하는 것을 알 수 있다. 이는 단지 물질의 크기를 정확히 알지 못하는 정확성에 관한 오류로만 그치는 것이 아니라 종종 연관된 개념을 추론하거나 개념을 확장해 과학의 현상을 이해하는 과정에서의 어려움으로 이어진다. 이와 관련해 수와 연산에 관한 개념이해와 학습의 어려움에 관한 수학교육분야의 연구는 다양하게 진행되었지만, 과학교육분야에서의 연구는 많지 않았다. 본 연구에서는 "크기와 척도"에 관한 학생들의 사고를 더 잘 이해하고 과학 학습의 어려움에 관한 원인을 분석하기 위해 수학적 구조분석을 적용하였다. 수학교육에서 설명한 수 개념의 발달에 따른 사고유형(덧셈이전의 사고, 덧셈적 사고-additive reasoning, 곱셈적 사고-multiplicative reasoning)을 적용하여 7단계의 수학적 구조를 만들고 이를 이용하여 "크기와 척도"와 관련된 과제를 수행한 학생들의 인터뷰 데이터를 체계적으로 분석하였다. 수학적 구조를 바탕으로 한 개념 틀은 다양한 학생들의 사고를 분석하는 기준이 되었고, 또한 학생들이 겪는 개념이해의 어려움을 해석하는 도구가 되었다. 수 개념의 발달에 맞춘 수학적 사고구조를 적용한 분석은 학생들의 개념 유형의 구분을 명확히 하였고 설명이 모호했던 전환 단계(transition stage) 유형을 밝혀내어 수업에서 고려되어야 할 점들을 구체적으로 드러내었다. 이는 수학과 과학, 두 교과 간의 틈을 줄일 뿐 아니라 연결점을 찾아 학생들의 개념이해와 어려움의 원인을 분석하는데 폭넓은 시각을 제공한다는 점에서 최근 많은 관심을 받고 있는 STEM 혹은 수학과 과학의 융합 수업을 위한 소재로의 가능성을 제시해준다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제23권1호
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• pp.145-174
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• 2009

아동들이 형식 교육을 받기 이전에도 수학을 이해하고 있으며 학습능력에 따라 이런 이해에 차이가 있을 것이라는 가정을 검증하기 위해서 본 연구를 실시하였다. 이를 위해서 초등학교 1, 2, 3 학년 학생들이 분수를 학습하기 전에 형성하고 있는 분수에 대한 개념 그리고 학년 및 학습능력에 따른 분수 개념들의 이해 정도를 알아보았다. 학습능력은 추론능력 및 학업성취도를 조합한 것으로 조작적 정의를 하였으며, 학습능력에 따라 학년별로 6명씩(상, 중, 하 각 2명)을 연구 대상으로 선정하였다. 분수개념에 대한 과제를 개발하고, 구조화된 면담을 실시하였으며, 질적 분석을 위해 비디오 녹화, 면담 프로토콜, 관찰 등을 통해 아동의 반응을 수집하고, 아동들의 반응은 유형에 따라 분석하였다. 분석 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 아동들은 형식 교육을 받기 이전에 분수에 대한 다양한 비형식적 지식을 형성하고 있었으며, 이 중에는 분수의 형식적 학습에 바탕이 될 수 있는 것과 오개념을 유도할 수 있는 것이 존재하였다. 또한 아동이 형성한 비형식적 지식에는 학년, 학습 수준에 따라 차이가 존재하였다. 이는 비형식적 지식이 다양한 학습 경험과, 일상생활의 경험에 영향을 받기 때문인 것으로 분석되었다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제5권1호
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• pp.99-120
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• 2001

본 연구는 초등학교 저학년 아동의 수학적 의사소통 지도의 방향을 모색하고 의사소통에 대한 구체물 활용의 효과에 대하여 새로운 방향을 제시하는데 목적을 두고 수학적 의사소통에는 어떠한 특성이 있으며, 구체물이 수학적 의사소통에 어떠한 영향을 미치는지, 수학 학습에 구체물이 어떠한 영향을 미치는지 알아보고자 하였다. 의사소통 특성으로는 수학적 기호나 용어가 익숙하지 못하고 대체 용어를 사용하고 생활 속의 경험을 학습에 잘 적용시키며, 소수 아동들이 수업을 주도하며, 소집단에서 이루어지는 대화의 방향이 과제 해결 중심으로 이루어지지 못하고 있다. 구체물은 말하기 활동을 촉진시키며, 오류를 쉽게 확인하게 하며 추측과 예상 활동을 수월하게 하고 소집단 활동이 활발히 이루어지게 한다. 반면에 구체물을 활용하면서 교사에게 집중하지 않고 이탈행동을 보임으로써 듣기 활동이 제대로 이루어지지 않고 있다. 학습에 주는 영향으로는 참여도를 높이고, 부진아 학습을 돕고, 개념 형성에 도움을 준다. 또한 과제 해결 능력에 따라 수준별 학습이 쉽게 이루어지도록 한다. 그러나 구체물에 따라 학습에 활용 정도가 다르게 나타났으며 아동들은 절차적 지식보다 개념적 지식을 더 중시하고 있었다. 따라서 구체물은 수학 수업에서 의사소통을 활발하게 이루어지게 도와주며 수학 학습에도 많은 영향을 미치게 되므로 저학년의 수학 수업에서는 구체물의 활용이 꼭 필요하다. 또한 교사는 이러한 아동들의 의사소통의 특성을 고려하여 의사소통 활동이 활발히 이루어질 수 있는 교수 학습 방법을 모색해야할 것이다.된다0.9 mg/ml의 수준에서 측정되었고, 제 11세대에서는 유즙내 인간 hIL-10의 발현 수준을 분석하였을 때, 그 농도는 평균 5.7± 1.5 mg/ml의 수준에서 측정되었고, 제 12세대에서는 유즙내 인간 hIL-10의 발현 수준을 분석하였을 때, 그 농도는 평균 6.3±3.5 mg/ml의 수준으로 측정되었고, 제 13세대에서는 유즙내 인간 hIL-10의 발현 수준을 분석하였을 때, 그 농도는 평균 6.8±4.5 mg/ml의 수준으로 측정되었고, 제 14세대에서는 유즙내 인간 hIL-10의 발현 수준을 분석하였을 때, 그 농도는 평균 6.8±3.1 mg/ml의 수준으로 측정되었다. 이러한 수준은 제 1 세대의 것보다 높은 결과로 형질전환 생쥐에서 인간 IL-10 유전자의 발현은 최소한 15 세대까지 지속적으로 유지된다는 것을 알 수 있었으며, 장기 세대까지도 발현수준이 유지될 것으로 판단된다. 이러한 연구결과는 계통으로 확립된 형질전환 동물에 부여된 새로운 유전형질은 지속적으로 후대로 유전될 수 있음을 제시한다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제20권2호
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• pp.353-370
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• 2016

본 연구는 초등 수학 교사용지도서의 '수와 연산' 영역이 학습장애 학생과 학습부진 학생을 위한 증거기반교수 요인을 얼마나 포함하고 있는지 분석하였다. 분석은 선행연구를 기초로 제작된 분석기준을 활용하여 초등교사 3명이 실시하였다. 분석결과는 다음과 같다. 첫째, 초등 수학 교사용지도서의 학습장애 학생 및 학습부진학생을 위한 증거기반교수 요인 포함수준은 전반적으로 중간정도였고, 학년별로 분석해본 결과 1~4학년 수학교사용지도서의 포함수준은 중간정도 5, 6학년 수학교사용지도서의 포함수준은 낮은 것으로 나타났다. 둘째, 증거기반 교수의 특징별로 분석해본 결과, '명확한 목표의 제시, 단일한 핵심개념 및 기술의 지도, 구체적 조작물과 반구체물의 사용, 명시적 교수, 관련된 예들의 제공, 충분한 독립적 연습기회의 제공 그리고 학생 진보의 확인'과 같은 요인들의 포함수준은 중간정도로 나타났고, '선수 수학 개념들 및 기술들의 복습, 오류 수정 및 교정적 피드백의 제공, 핵심어휘의 지도 그리고 전략들의 지도'와 같은 요인들의 포함수준은 낮은 것으로 나타났다. 셋째, 학년과 증거기반 교수특징의 포함수준 사이에 부적상관관계 (r= -.343)가 나타났다. 이러한 결과를 바탕으로 연구의 시사점을 논의하였다.

• 인간행동과 음악연구
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• 제3권1호
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• pp.63-76
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• 2006

1980년대 이후 음악과 학습에 관한 많은 연구들은 다양한 학습 기술에 필요한 인지기술의 영역에 대한 음악의 효과성을 계속해서 입증해 오고 있다. 음악과 학습에 관한 많은 연구들은 주로 음악의 인지기술과 학습의 세부적 기술들을 개별적으로 연관 지어 다루고 있으며, 음악이 비음악적 능력에 어떠한 영향을 미치는 지에 관심을 두고 있다. 이에 본 연구는 인지 학습기술과 음악적 인지기술과의 상관관계를 설명하고 있는 다양한 이론 및 연구들을 소개하고, 이를 통해 음악이 비음악적 능력 중 학습 기술에 어떠한 영향을 미치는 지를 정리해 보고자 하였다. 먼저 음악적 능력과 공간 지각력과의 상관관계를 설명하는 두 가지 이론으로서, "신경적 연계성(neural theories)" 이론과 "근접적 전이(near transfer)" 이론에 대해 살펴보았다. 이를 통해 음악적 기술과 공간적 기술을 담당하는 대뇌의 신경망 구조에서 음악 정보를 처리하는 과정이 어떻게 공간적-시간적 정보처리 과정과 연계되는 지를 설명하였다. 또한 음악이 학습과정에 필요한 주의력, 관찰력, 독립적 사고, 문제해결력, 비판적 사고 등을 강화시킨다고 제안하는 "동기이론"을 소개하였다. 이러한 이론들에 근거하여 음악과 학습기술과의 상관관계를 메타분석한 연구들을 살펴보았다. 많은 연구들이 음악기술과 학습기술의 상관관계는 물론 유의미한 인과 관계가 있음을 보여주었으며 이러한 결과들은 음악적 훈련 과정에서 습득되는 음악의 공간적, 시간적 개념이 학습기술에 긍정적인 영향을 미친다는 점을 지지한다. 다양한 학습기술에서도 공간 지각 능력을 주로 사용하는 수학과 읽기에 관한 연구가 많았는데, 특히 수학적 개념 중에서 분수나 집합 개념과 같은 추상적 개념들이 가장 높은 상관관계가 있었으며 읽기 능력에서는 시간적 개념에 근거한 단어 나열, 문자로 상징된 언어를 해석(decode)하는 기술이 강화된다는 점을 보여주었다. 음악과 학습과의 관계를 설명한 많은 연구들은 음악의 지각인지 기술이 다른 학습 분야에 전이된다는 사실을 이론적으로 지지하며, 또한 이러한 현상을 설명하는 세 가지 가설은 구조화된 음악활동이 학습 현장에 있는 아동들에게 효율적인 치료 교육적 개입이 될 수 있다는 근거를 제공할 수 있을 것이다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제26권3호
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• pp.443-465
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• 2016

본 연구는 우리나라와 싱가포르의 중학교 수학 교육과정을 비교하여 차이점을 분석하는 것을 목적으로 한다. 최근 우리나라의 수학 교육이 어렵다는 지적이 있으며, 국제 비교를 통하여 이러한 지적이 적절한지 또는 다른 특성은 어떤 것이 있는지를 알아보고, 이로부터 우리나라 수학 교육과정에 대한 시사점을 제공하고자 한다. 이를 위하여 두 나라의 수학 교육과정 문서와 수학 교과서를 중심으로 비교 연구를 수행하였다. 비교결과는 다음과 같다. 첫째, 싱가포르의 수학 이수 계열은 다양한 편이며 다양한 트랙마다 다른 교과서를 이용하여 수학을 학습하고 있어서, 우리나라의 수준별 수업과는 다른 특징을 가지고 있다. 둘째, 우리나라의 수학 교육과정의 내용 도입 시기가 싱가포르의 도입 시기보다 전반적으로 빠르지는 않은 편이나, 싱가포르의 내용 성취 기준이 우리나라보다 구체적인 편이다. 그래서 특정 내용 주제에 대하여 다루어야 할 사실 또는 제외해야 할 사실을 구체적으로 제시하는 편이다. 셋째, 싱가포르의 수학 교과서에서 문제해결을 중심으로 한 교육 방식의 예를 찾아볼 수 있다. 이 경우 개념은 탐구 과정 없이 간단히 도입하고 이를 활용한 문제해결에 초점을 맞추기도 한다. 넷째, 싱가포르의 수학 교과서가 우리나라보다는 내적 연결성을 더 강조하는 편이다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제28권1호
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• pp.19-44
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• 2014

TIMSS와 PISA의 두 국제평가에서 우리나라 학생들의 경우, 수학 교과에 대한 인지적 영역의 성취도는 매우 우수한 반면 정의적 영역의 성취도는 참가국 중 최하위권의 순위를 기록하여 우리나라 교육의 문제점을 드러내고 있다. 이즈음에, 우리나라 학생들이 취약한 정의적 특성의 함양 방안을 모색해 보는 것은 의미 있은 일일 것이다. 본고에서는 2013년 PISA와 TIMSS 두 국제평가에 공통적으로 포함되어 있는 우리나라 학생들의 수학 학습에 대한 흥미와 자아효능감, 그리고 수학의 가치인식의 세 가지 정의적 특성 요인을 대상으로 각 요인에 대한 의미 및 교육적 함의를 간략히 살펴보고, 또 지금까지 수학교육 분야에서 수행되어 왔던 몇몇 주요 연구 동향을 살펴보고자 하였다. 이와 더불어, 수학 교과에 적용 가능한 흥미, 자아효능감, 가치인식의 세 가지 정의적 특성 요인을 대상으로 각각에 대한 수업 지도 방안을 탐색하여 마련하였다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제13권3호
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• pp.459-483
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• 2010

본 연구는 우리 사회의 가장 큰 변화 중 하나인 노인인구의 증가에 따른 고령사회에 적극적인 대비책 중 일환으로, 노인 수학 교육에 관련된 자료 개발 및 적용 효과를 파악하는 데 목적이 있다. 본고를 통해 노인 교육으로서의 실버수학 자료를 개발해야 할 필요성 및 목적을 밝히고 노인학습자가 수학 학습을 할 수 있는 인지적 능력, 즉 사고 기억 계산 주의집중 등에 대한 특정들에 대한 연구가 이루어졌다. 이에 따라 노인의 지적 욕구와 신체적 정신적으로 건강한 삶을 위한 프로그램으로써의 역할을 하는 교육 자료 개발이 이루어졌으며, 개발한 자료를 노인들에게 적용해 나가면서 실버 수학의 효과를 탐색하였다. 노인학습자들에게 실버 수학을 하기 위한 수업 모형을 고안하고, 고안된 수업 모형에 따라 기본 수 연산이 가능한 학습자가 수학적 활동을 통해 정의적 인지적 영역에는 어떠한 영향을 미치는지 파악하였다.

• 한국수학교육학회지시리즈C:초등수학교육
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• 제11권2호
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• pp.95-103
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• 2008

제7차에서 2007년 개정 수학과 교육과정으로 이행하면서 이에 따라 개발된 교과서를 2009년부터 실행하게 된다. 개정안으로 이행함에 따라 수학과 교육내용의 일부는 학년 간에 이동하였다. 이로 인하여 교육과정 이행 시기 속에 있는 특정 학년도 학생들은 별도의 조치가 없이 도입된다면 일부 내용의 탈락이 예상된다. 본 논문은 2007년 개정 교육과정 이행 시기에 있는 학년별 수학과 교육내용의 이동을 분석하고 이행 시기에 있는 특정 학년도 학생들이 겪게 되는 학년 간 내용 이동에 따른 문제점을 분석하였다. 첫째로, 2007년 개정 수학과 교육과정 이행에 따라 학년 간 이동하는 수학과 교육내용을 영역별로 살펴보고, 둘째로, 2007년 개정 교육과정의 실시 시기에 따라서 특정 학년도 학생들에게 나타나게 될 학년 간 이동에 따른 교육 내용의 탈락을 분석하였다.