• 한국수학교육학회지시리즈D:수학교육연구
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• 제8권4호
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• pp.279-291
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• 2004

Mandelbrot sets and its generalizations have been extensively studied by using the Picard iterations. The purpose of this paper is to study superior Mandelbrot sets, a new class of Mandelbrot sets by introducing the Mann iterative procedure for polynomials Q$_{c}$(z) := z$^n$ + c. We generate some superior Mandelbrot sets for different values of n ($\geq$2) and these new figures are exciting and fascinating.g.

• Journal of applied mathematics & informatics
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• 제25권1_2호
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• pp.109-118
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• 2007

A parametric boundary equation is established for the principal period-2 bulb in the cubic Mandelbrot set. Using its geometry, an efficient escape-time algorithm which reduces the construction time for the period-2 bulbs in the cubic Mandelbrot set is introduced and the implementation graphic results display the fascinating fractal beauty.

• 한국수학교육학회지시리즈B:순수및응용수학
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• 제14권3호
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• pp.191-196
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• 2007

The main components in the generalized Mandelbrot sets are under a theoretical investigation for their parametric boundary equations. Using the boundary geometries, a fast construction algorithm is introduced for the generalized Mandelbrot set. This fast algorithm definitely reduces the construction CPU time in comparison with the naive algorithm. Its graphic implementation displays the mysterious and beautiful fractal sets.

• 호남수학학술지
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• 제27권3호
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• pp.405-419
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• 2005

We present some properties characterizing the Mandelbrot set of quadratic rational maps. Any quadratic rational map is conjugate to either $z^2+c$ or ${\lambda}(z+1/z)+b$. For ${\mid}{\lambda}{\mid}=1$, we find the figure of the Mandelbrot set $M_{\lambda}$, the set of parameters b for which the Julia set of ${\lambda}(z+1/z)+b$ is connected. It is seen to be the whole complex plane if ${\lambda}{\neq}1$, but it is intricate fractal if ${\lambda}=1$. This supplements the work already investigated for the case ${\mid}{\lambda}{\mid}>1$.

• Journal of applied mathematics & informatics
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• 제16권1_2호
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• pp.221-229
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• 2004

It is known that the parametric boundary equation for the main component in the Mandelbrot set represents a cardioid. We derive an epicy-cloidal boundary equation of the main component in the degree-n bifurcation set by extending the parameter which describes the cardioid in the Mandelbrot set. Computational results as well as some useful properties are presented together with the programming source codes written in Mathematica. Various boundaries are displayed for $2\leqn\leq7$7 and show a good agreement with the theory presented here. The known boundary equation enables us to significantly reduce the construction time for the degree-n bifurcation set.

• 한국정보처리학회논문지
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• 제4권2호
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• pp.596-605
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• 1997

복소 평면상의 임의의 점을 c값으로 고려한 2차 복소함수,$f(Z)=z^2+c$의 동력한 시스템은 초기 값0을 대입함으로써 획득된 순열의 발산성에 따라 C값을 분류한 만델브로트 집합을 제공한다[2]. 각 화소의 발산성을 나타내는 전형적인 만델브로트 집합 영상의 생성 에 소요되는 단축하기 위해 영역분할법(divide-and-conquer)과 삼각형을 이용한 경계 선 추적법( riangular boundary tracing)들이 제안되었다[4,6]그러나, 영역분할법은 만델브로트 집합의 생성에 영향을 주지 못하는 화소에 대한 순열의 발산여부를 조사하고 , 삼각형을 이용한 경계선 추적법은 8-연결성으로 연열된 일부 영상을 표현하지 못 하는 단점이 있다. 본 논문에서는 삼각형 추적 기법의 문제점을 해결한 화소의 8-연결성을 이용한 경계선 추적 알고리즘을 제안한다. 제안된 경계선 추적 기법은 8-연결성에 기초한 경계선 추적으로 만델브로트 영상을 생성할 때 영향을 주지 못하는 화소에 대한 발산 검사를 하지 않을 뿐만 아니라, hairly 구조와 같이 8-연결성을 갖는 만델 브로트 집합의 정확한 표현을 얻을 수 있다.

• 호남수학학술지
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• 제29권2호
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• pp.205-212
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• 2007

In this paper, we give some properties of the dynamics of quadratic rational maps. Using the properties we present the algorithm for drawing the Julia sets of the quadratic rational maps. We illustrate that they are fractals by computer graphics.

• 충청수학회지
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• 제16권1호
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• pp.7-14
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• 2003

Let $P_c(z)=z^n+c$ be a complex polynomial with an integer $n{\geq}2$. We derive a criterion that the critical orbit of $P_c$ escapes to infinity and investigate its applications to the degree-n bifurcation set. The intersection of the degree-n bifurcation set with the real line as well as with a typical symmetric axis is explicitly written as a function of n. A well-defined escape-time algorithm is also included for the improved construction of the degree-n bifurcation set.

• 한국수학교육학회지시리즈B:순수및응용수학
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• 제9권2호
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• pp.113-118
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• 2002

Definition and some properties of the degree-n bifurcation set are introduced. It is proved that the interval formed by the intersection of the degree-n bifurcation set with the real line is explicitly written as a function of n. The functionality of the interval is computationally and geometrically confirmed through numerical examples. Our study extends the result of Carleson & Gamelin ［2］.

• 산업경영시스템학회지
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• 제19권37호
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• pp.233-240
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• 1996

Julia set, Fatou set와 Mandelbrot set 가 컴퓨터에 의하여 도형화된 후부터 혼돈 역학체계 (chaotic dynamical system)에 대한 연구가 모든 학계에 비상한 관심을 모으고 있으며 특히 수학자들에 의하여 많은 연구가 이루어지고 있다. 또한 혼돈 역학체계를 기초로 하여 컴퓨터 그래픽스를 이용한 후랙탈(fractal)들의 매혹적인 시각적 표현으로 인하여 최근들어 과학자들 뿐 아니라 일반대중의 후랙탈에 대한 관심이 매우 높아지고 있다. 후랙탈이란 말은 라틴어 fractus(부서진 상태를 뜻함)에서 유래되었으며 1975년 Mandelbrot가 수학 및 자연계의 비정규적 패턴들에 대한 체계적 고찰을 담은 자신의 에세이의 표제를 주기 위해서 만들었다(〔6〕). 후랙탈을 기술하는데 있어서 가장 중요한 양은 차원(dimension)으로, 예컨데 Cantor 1/3 집합은 길이 1인 선분으로부터 시작하야 매 단계마다 모든 선분들의 가운데 1/3을 잘라내는 것을 무한히 반복함으로써 얻어지는데 이 집합의 Lebesgue measure는 0이지만 후랙탈 차원은 log2/log3 로 정수차원이 아닌 실수차원을 갖으며 또한 Cantor 1/3집합은 연속이 아니면서 점도 선도 아닌 집합인 것이다. 이 논문에서는 Box counting dimension 과 Hausdorff dimension에 대한 몇 가지 정의를 하고 정리 2.6, 정리2.7 및 정리 3.3을 증명함으로써 어떤 성질을 갖는 후랙탈의 가장 중요한 양인 후랙탈 차원에 대하여 논의 하고자 한다.