데데킨트 절단, 배중률, 관계
- Hong, Seong-Gi
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- Korean Journal of Logic
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- v.7 no.2
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- pp.15-46
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- 2004
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Um die rationalen Zahlen auf die reellen Zahlen zu erweitern und dadurch die Stetigkeit der reellen Zahlen sicherzustellen, hat der deutsche Mathematiker R. Dedekind im Jahr 1872 in seinem Aufsatz "Stetigkeit und Irrationale Zahlen" einen neuen mathmatischen Begriff
$eingef\ddot{u}hrt,\;n\ddot{a}mlich$ 'Schnitt'. Die Menge aller rationalen Zahlen Q wird durch eine rationale Zahl a zu zwei Untermengen$A_1=\{x|x{\leq}a,\;x{\in}Q\}$ ,$A_2=\{x|x > a,\;x{\in}Q\}$ $vollst\ddot{a}ndig$ geteilt. Wenn wir solche Teilung, d.i. solchen Schnitt mit "$(A_1,\;A_2)$ " bezeichnen, ist ein$Identit\ddot{a}tssatz$ "a=$(A_1,\;A_2)$ " absolut harmlos. Analog dazu glaubt Dedekind fest,$da{\beta}$ jede irrationale Zahl mit Hilfe von einem entsprechenden Schnitt$einzuf\ddot{u}hren$ ist. Zum Beispiel, falls die zwei Mengen$B_1=\{x|x^2 < 2,\;x{\in}Q\}$ und$B_2=\{x|x^2 > 2,\;x{\in}Q\}$ gegeben sind, dann$w\ddot{a}re$ die irrationale Zahl$^{\surd}2$ mit$(B_1,\;B_2)$ gleichzusetzen. Im Fall von einem Schnitt der Menge der rationalen Zahlen durch eine rationale Zahl,$(A_1,\;A_2)$ , haben die beiden Untermengen$A_1$ und$A_2$ jwewils ein Supremum und ein Infimum und beide$m\ddot{u}ssen$ identisch sein, aber -wie schon Russell in seinem Buch "Introduction to Mathmatical Philosophy" dies kritisiert- hat ein Schnitt$f\ddot{u}r$ die$Einf\ddot{u}hrung$ der irrationalen Zahl,$(B_1,\;B_2)$ keine solche$gl\ddot{u}cklichen$ Eigenschaften. Dennoch glaubt Dedekind an eine streng wissenschaftliche Fundierung der irrationalen Zahl fest, und$w\ddot{u}rde$ nach dem Grund seines Glaubens befragt,$k\ddot{o}nnte$ er nur seine Behauptung wiederholen, ein klarer Fall circulus vitiosus. Mit anderen Worten, die$L\ddot{u}cke$ zwischen$B_1$ und$B_2$ durch die$Einf\ddot{u}hrung$ einer [einzigen] wissenschaftlich fundierten irrationalen Zahl$\ddot{u}berbr\ddot{u}ckt$ und das Ganze zu einem Kontinium gemacht werden sollte, bleibt dieses Vorhaben von Dedekind erst als eine Hoffnung und dessen Resultat kann$h\ddot{o}chstens$ nur als ein Postulat, aber keineswegs als ein methodisch einwandfreier Beweis betrachtet werden. Die Probleme, die mit dem Versuch der$Einf\ddot{u}hrung$ der irrationalen Zahlen mit Hilfe von Schnitt verbunden sind, sind nicht spezifisch allein im Gebient der Mathmatik, sondern betreffen immer wieder die Rechtfertigungsfrage der$Einf\ddot{u}hrung$ der letzten Bestandteile im bezug auf eine Systemerstellung, egal ob dies System ein Wissenschaftliches oder unsere$allt\ddot{a}gliche$ Sprachhandlung ist.$F\ddot{u}r$ all diese Rechtfertigungsfragen gilt das in der klassischen Logik$g\ddot{a}ngige$ logische Prinzip tertium non datur nicht mehr, aber nicht nur wegen der von praktischen$Unm\ddot{o}glichkeit$ , die unendlichen vielen$Gegenst\ddot{a}nde$ durchforschen zu$m\ddot{u}ssen$ , das$hei{\beta}t$ , wegen der erkenntnistheoretischen$Beschr\ddot{a}nktheit$ des jetzigen Erkenntnisniveau, sondern auch wegen des speziellen ontologischen modus der$eizuf\ddot{u}hrenden$ Objekten. Der Autor des Aufsatzes analysiert$\ddot{a}nliche$ $F\ddot{a}lle$ (das Urmeterbeispiel und die Chrakterisierungen der geometrischen Axiome von Wittgenstein), und versucht mit Hilfe von beiden Begriffen, 'interne' und 'externe' Relation, zu zeigen,$da\beta$ eine gemeinsame, invariante Struktur in den eben genannten$F\ddot{a}llen$ besteht. Am Ende des Aufsatzes setzt der Autor sich mit der logischen Argumentationsstruktur des Zitates tiber 'Grenze' aus Noten von Leonardo da Vinci auseinander, und weist auf einen$m\ddot{o}glichen$ Zusammenhang der Grundidee seienes Aufsatzes mit der Philosophie der indischen Denker$N\bar{a}g\bar{a}rjuna$ hin, obwohl die zitierten Versen aus dem Hauptwerk von$N\bar{a}g\bar{a}rjuna$ , dem Mittleren Weg$(Madhyamakak\bar{a}rik\bar{a})$ nur andeutend sein$m\ddot{o}gen$ .