학생들이 분수 나눗셈을 이해하기 어려워하는 이유 중 하나는 분수 나눗셈의 구체화가 어렵고 불충분하기 때문이다. 측정 맥락과 분할 맥락의 구체화에 비해 곱과 인수 맥락에서의 구체화는 상대적으로 부족한 실정이다. 이 연구에서는 카테시안 곱의 역 맥락에서 분수 나눗셈 알고리즘을 구체화하였다. 카테시안 곱의 역 맥락에서 이루어져 있는 기존의 분수 나눗셈 구체화의 한계를 논의하고, 세로의 길이를 고정하고 가로의 길이를 1 또는 자연수로 만드는 방법과 넓이가 1인 직사각형을 이용하는 방법으로 분수 나눗셈을 제시하였다. 이와 같은 방법은 제수의 역수의 의미, 제수를 1로 만드는 것의 중요성, 기존 학습 내용과의 연결성, 다양한 접근 가능성 면에서 장점이 있다. 이와 같은 장점을 살려 카테시안 곱의 역 맥락에서 분수 나눗셈 알고리즘을 도입하는 것을 고려할 수 있다.
분수는 초등학교 수학의 수영역에서 중요한 개념 중 하나임에도 불구하고 자연수와 다른 양적 개념과 표기법, 다양한 분수 개념으로 인하여 교수 학습이 어렵다. 따라서 분수의 교수학적 변환은 중요하며, 이를 연구하기 위해 한국 교과서에서 사용하고 있는 분수의 교수학적 개념이 어떠한지 살펴볼 필요가 있다. 본 연구는 한국, 대만과 중국의 초등학교 수학 교과서를 비교하여 각 나라의 교과서에 나타난 분수 개념이 교수학적 개념에 따라 지도 시기와 순서가 어떻게 달라지는지, 양적 개념에 따른 지도 방법의 차이는 어떠한지 알아보았다.
분수차 퓨리에(Fouier) 변환은 퓨리에 면환을 일반화시킨 것으로, 위치와 공간주파수의 복합적인 표현을 주나, 한 개의 렌즈를 광학적 구현이 역시 가능하다. 광신호처리에서 많이 사용되는 정합 필터를 구성하는 퓨리에 면환을 각각 분수차로 일반화시킴으로서, 위치 필터와 공간주파수 필터의 특성이 복합된 새로운 필터를 구성할 수 있게 된다. 이 필터 구조는 신경회로망의 학습으로 대치된다. 최대경사법과 오차역전파(error back-propagation)에 기초한 학습 법칙이 유도되고, 컴퓨터 시뮬레이션 결과가 제시된다.
본 연구의 목적은 학생의 단위 조정 능력이 분수 개념 이해와 어떻게 관련되는지 탐구하는 데 있다. 이를 위해 초등학교 4학년 학생을 대상으로 4개월(2019.3.~2019.6.)에 걸쳐 교수 실험을 진행하였고 본 논문에서는 학생의 분수 개념 이해와 관련된 스킴과 조작이 교수 실험 동안 어떻게 변화하였는지에 대한 상세한 분석을 제시하였다. 학생의 단위 조정 조작은 분수 개념을 이해하는 능력과 밀접한 연관이 있는 것으로 나타났는데, 수업 초반에 부분 분수 스킴의 학생은 분수를 2수준 단위를 가지고 조작함으로써 분수를 또 다른 종류의 자연수로 인식하였다. 학생은 진분수와 전체 1을 단위 분수의 배수로 동시에 인식하면서 분수를 자연수와 명확히 구분하였다. 역 부분 분수 스킴의 학생은 1보다 큰 자연수를 내재화된 3수준 단위로, 자연수 아닌 가분수를 활동 중에 3수준 단위로 구성하였다. 본 연구의 결과를 바탕으로 결론 및 교수학적 시사점을 제시하였다.
본 연구는 우리나라의 예비 초등 교사들이 분수 나눗셈 1$\frac{3}{4}$$\div$$\frac{1}{2}$에 적합한 문장제를 만들 때 나타나는 오류 유형과 만든 문장제의 유형을 분석한 것이다. 우리나라 예비 초등 교사들은 미국이나 중국의 교사들처럼 '$\frac{1}{2}$로 나누기'를 '2로 나누기'로 오해하는 일상 언어와 수학적 언어 사용의 불일치에 기인하는 구조적인 오류를 다수 보였으며, 계산결과만 생각하여 구조적으로 다른 1$\frac{3}{4}$$\times$2에 적합한 문장제를 만드는 새로운 유형의 오류도 보이고 있다. '포함제' 자체에는 익숙하지만 몫이 자연수가 아닌 분수 나눗셈 상황에서 포함제가 지니는 문제점에 대한 인식은 매우 부족한 것으로 나타났으며, '단위 비율의 결정', '곱셈의 역 상황'이라는 분수 나눗셈의 의미에 대한 이해가 매우 부족한 것으로 나타났다. 따라서 예비 초등 교사들을 위한 교육에서는 분수의 나눗셈에서 단위 비율의 결정, 곱셈의 역연산으로서의 나눗셈의 의미를 다양한 실제 상황 및 맥락과 관련지어 이해하게 하는 지도가 이루어질 필요가 있다.
본 연구의 목적은 이 통합모델인 직사각형 분할 모델을 초등학교 교실에서 교수·학습하였을 때, 학생들이 이 통합모델을 어떻게 이해하는지, 분수 나눗셈 상황들 사이의 관계를 어떻게 구성하는지 알아보는 데 있다. 이 연구를 통해 얻은 결론은 다음과 같다. 첫째, 제수의 역수를 곱하는 이유나 역수의 의미를 상기시키기 위해서 분수의 나눗셈식을 측정 맥락이나 단위 비율 결정 맥락으로 해석하여 계산 과정을 설명할 필요가 있다. 둘째, 직사각형 분할 모델은 분수의 나눗셈식을 측정 맥락으로 해석할 때 기존 모델에서 나타나는 우회적이거나 부적절한 부분을 보완할 수 있다. 또한 카테시안 곱의 역 맥락의 문제에서 표준알고리즘을 도출하기에 적절한 모델이라고 할 수 있다. 셋째, 카테시안 곱의 역 맥락에서 직사각형 분할 모델은 측정 맥락과 단위 비율 결정 맥락에서의 계산 과정을 자연스럽게 드러낼 수 있다. 그리고 하나의 나눗셈식이 왜 두 가지 해석이 가능한지를 보여줄 수 있어 통합모델로 사용할 수 있다.
본 논문은 기본적인 계산능력이 뛰어난 초등학교 6학년 학생 2명을 대상으로 분수 나눗셈 문제를 해결하는 과정에서 나타나는 연산 감각을 분석하였다. 구체적으로 학생들이 분수 나눗셈의 다양한 의미와 모델을 어떻게 이해하고 있는지, 분수 나눗셈 알고리듬의 의미를 어떻게 이해하고 있는지, 그리고 이러한 연산의 의미와 성질을 어떻게 응용하는지에 대해 임상 면담을 통해 면밀하게 탐색하였다. 구체적인 에피소드를 바탕으로 연산감각의 구성요소별로 두 학생의 질적 차이를 분석하고, 이를 기초로 하여 초등학교 고학년에서 연산 감각 자체를 보다 집중적으로 조명해 볼 필요가 있다는 점을 강조하였다.
제주해협에 접해 있는 한국남해연안역은 대체로 50m미만의 천해로써 제주해협에 비해 계절별로 하계에 저온ㆍ고염분수, 동계에 저온ㆍ저염분수가 출현해 해협내 연중 전선을 형성하는 해역으로서 특히, 한국 남해연안역에 위치해 있는 추자도 주변해역은 지형적 특성상 대마난류수, 한국 남해연안수와 중국대륙연안수, 황해저층냉수 등 이러한 이질수괴들이 시기와 계절별로 서로 상접하여 복잡한 해황을 형성하는 해역이다(Rho, 1985, 최, 1989, 김ㆍ노, 1994, Yoon, 1986, Rhoㆍ평야, 1983). (중략)
분수 나눗셈의 여러 맥락 중 등분제와 카테시안 곱의 역 맥락에서는 제수의 역수 곱하기 알고리즘이 자연스럽게 유도된다. 그러므로 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 통합 알고리즘으로 지도하고자 할 때 특히 이슈가 되는 것은 포함제 맥락이다. 이 논문에서는 포함제 맥락에서 $1{\div}$(제수)를 매개로 하는 방법이 지닌 잠재력 및 그 기반을 분석하고, 이 방법을 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 통합 알고리즘으로 지도하려 할 때 고려할 수 있는 한 대안으로 제안한다. 포함제 맥락에서 $1{\div}$(제수)를 매개로 하여 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 유도하는 방법은 다음과 같은 특징을 지니고 있다. 첫째, 포함제 맥락에서 맥락과의 연결성을 유지한 채로 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 유도할 수 있다. 둘째, 다른 맥락들에서와 마찬가지로, 제수와 1의 곱셈적 관계에 주목한다. 셋째, 다른 맥락들에서와 마찬가지로, 제수와 1의 곱셈적 관계를 1/제수의 분모을 징검다리로 삼는 추론과 제수의 분자를 징검다리로 삼는 두 가지 추론으로 파악한다. 이러한 특징은 이 방법이 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 공통 구조를 담고 있는 통합 알고리즘으로 다루는 데 기여할 수 있음을 시사한다. 한편, 이 방법은 양분수의 이중적 의미와 배의 합성을 그 기반으로 한다. 분수 나눗셈의 통합적 이해를 지향하는 교재 개발 및 수업 연구에서는 이 기반의 형성에 유의할 필요가 있다.
본 웹사이트에 게시된 이메일 주소가 전자우편 수집 프로그램이나
그 밖의 기술적 장치를 이용하여 무단으로 수집되는 것을 거부하며,
이를 위반시 정보통신망법에 의해 형사 처벌됨을 유념하시기 바랍니다.
[게시일 2004년 10월 1일]
이용약관
제 1 장 총칙
제 1 조 (목적)
이 이용약관은 KoreaScience 홈페이지(이하 “당 사이트”)에서 제공하는 인터넷 서비스(이하 '서비스')의 가입조건 및 이용에 관한 제반 사항과 기타 필요한 사항을 구체적으로 규정함을 목적으로 합니다.
제 2 조 (용어의 정의)
① "이용자"라 함은 당 사이트에 접속하여 이 약관에 따라 당 사이트가 제공하는 서비스를 받는 회원 및 비회원을
말합니다.
② "회원"이라 함은 서비스를 이용하기 위하여 당 사이트에 개인정보를 제공하여 아이디(ID)와 비밀번호를 부여
받은 자를 말합니다.
③ "회원 아이디(ID)"라 함은 회원의 식별 및 서비스 이용을 위하여 자신이 선정한 문자 및 숫자의 조합을
말합니다.
④ "비밀번호(패스워드)"라 함은 회원이 자신의 비밀보호를 위하여 선정한 문자 및 숫자의 조합을 말합니다.
제 3 조 (이용약관의 효력 및 변경)
① 이 약관은 당 사이트에 게시하거나 기타의 방법으로 회원에게 공지함으로써 효력이 발생합니다.
② 당 사이트는 이 약관을 개정할 경우에 적용일자 및 개정사유를 명시하여 현행 약관과 함께 당 사이트의
초기화면에 그 적용일자 7일 이전부터 적용일자 전일까지 공지합니다. 다만, 회원에게 불리하게 약관내용을
변경하는 경우에는 최소한 30일 이상의 사전 유예기간을 두고 공지합니다. 이 경우 당 사이트는 개정 전
내용과 개정 후 내용을 명확하게 비교하여 이용자가 알기 쉽도록 표시합니다.
제 4 조(약관 외 준칙)
① 이 약관은 당 사이트가 제공하는 서비스에 관한 이용안내와 함께 적용됩니다.
② 이 약관에 명시되지 아니한 사항은 관계법령의 규정이 적용됩니다.
제 2 장 이용계약의 체결
제 5 조 (이용계약의 성립 등)
① 이용계약은 이용고객이 당 사이트가 정한 약관에 「동의합니다」를 선택하고, 당 사이트가 정한
온라인신청양식을 작성하여 서비스 이용을 신청한 후, 당 사이트가 이를 승낙함으로써 성립합니다.
② 제1항의 승낙은 당 사이트가 제공하는 과학기술정보검색, 맞춤정보, 서지정보 등 다른 서비스의 이용승낙을
포함합니다.
제 6 조 (회원가입)
서비스를 이용하고자 하는 고객은 당 사이트에서 정한 회원가입양식에 개인정보를 기재하여 가입을 하여야 합니다.
제 7 조 (개인정보의 보호 및 사용)
당 사이트는 관계법령이 정하는 바에 따라 회원 등록정보를 포함한 회원의 개인정보를 보호하기 위해 노력합니다. 회원 개인정보의 보호 및 사용에 대해서는 관련법령 및 당 사이트의 개인정보 보호정책이 적용됩니다.
제 8 조 (이용 신청의 승낙과 제한)
① 당 사이트는 제6조의 규정에 의한 이용신청고객에 대하여 서비스 이용을 승낙합니다.
② 당 사이트는 아래사항에 해당하는 경우에 대해서 승낙하지 아니 합니다.
- 이용계약 신청서의 내용을 허위로 기재한 경우
- 기타 규정한 제반사항을 위반하며 신청하는 경우
제 9 조 (회원 ID 부여 및 변경 등)
① 당 사이트는 이용고객에 대하여 약관에 정하는 바에 따라 자신이 선정한 회원 ID를 부여합니다.
② 회원 ID는 원칙적으로 변경이 불가하며 부득이한 사유로 인하여 변경 하고자 하는 경우에는 해당 ID를
해지하고 재가입해야 합니다.
③ 기타 회원 개인정보 관리 및 변경 등에 관한 사항은 서비스별 안내에 정하는 바에 의합니다.
제 3 장 계약 당사자의 의무
제 10 조 (KISTI의 의무)
① 당 사이트는 이용고객이 희망한 서비스 제공 개시일에 특별한 사정이 없는 한 서비스를 이용할 수 있도록
하여야 합니다.
② 당 사이트는 개인정보 보호를 위해 보안시스템을 구축하며 개인정보 보호정책을 공시하고 준수합니다.
③ 당 사이트는 회원으로부터 제기되는 의견이나 불만이 정당하다고 객관적으로 인정될 경우에는 적절한 절차를
거쳐 즉시 처리하여야 합니다. 다만, 즉시 처리가 곤란한 경우는 회원에게 그 사유와 처리일정을 통보하여야
합니다.
제 11 조 (회원의 의무)
① 이용자는 회원가입 신청 또는 회원정보 변경 시 실명으로 모든 사항을 사실에 근거하여 작성하여야 하며,
허위 또는 타인의 정보를 등록할 경우 일체의 권리를 주장할 수 없습니다.
② 당 사이트가 관계법령 및 개인정보 보호정책에 의거하여 그 책임을 지는 경우를 제외하고 회원에게 부여된
ID의 비밀번호 관리소홀, 부정사용에 의하여 발생하는 모든 결과에 대한 책임은 회원에게 있습니다.
③ 회원은 당 사이트 및 제 3자의 지적 재산권을 침해해서는 안 됩니다.
제 4 장 서비스의 이용
제 12 조 (서비스 이용 시간)
① 서비스 이용은 당 사이트의 업무상 또는 기술상 특별한 지장이 없는 한 연중무휴, 1일 24시간 운영을
원칙으로 합니다. 단, 당 사이트는 시스템 정기점검, 증설 및 교체를 위해 당 사이트가 정한 날이나 시간에
서비스를 일시 중단할 수 있으며, 예정되어 있는 작업으로 인한 서비스 일시중단은 당 사이트 홈페이지를
통해 사전에 공지합니다.
② 당 사이트는 서비스를 특정범위로 분할하여 각 범위별로 이용가능시간을 별도로 지정할 수 있습니다. 다만
이 경우 그 내용을 공지합니다.
제 13 조 (홈페이지 저작권)
① NDSL에서 제공하는 모든 저작물의 저작권은 원저작자에게 있으며, KISTI는 복제/배포/전송권을 확보하고
있습니다.
② NDSL에서 제공하는 콘텐츠를 상업적 및 기타 영리목적으로 복제/배포/전송할 경우 사전에 KISTI의 허락을
받아야 합니다.
③ NDSL에서 제공하는 콘텐츠를 보도, 비평, 교육, 연구 등을 위하여 정당한 범위 안에서 공정한 관행에
합치되게 인용할 수 있습니다.
④ NDSL에서 제공하는 콘텐츠를 무단 복제, 전송, 배포 기타 저작권법에 위반되는 방법으로 이용할 경우
저작권법 제136조에 따라 5년 이하의 징역 또는 5천만 원 이하의 벌금에 처해질 수 있습니다.
제 14 조 (유료서비스)
① 당 사이트 및 협력기관이 정한 유료서비스(원문복사 등)는 별도로 정해진 바에 따르며, 변경사항은 시행 전에
당 사이트 홈페이지를 통하여 회원에게 공지합니다.
② 유료서비스를 이용하려는 회원은 정해진 요금체계에 따라 요금을 납부해야 합니다.
제 5 장 계약 해지 및 이용 제한
제 15 조 (계약 해지)
회원이 이용계약을 해지하고자 하는 때에는 [가입해지] 메뉴를 이용해 직접 해지해야 합니다.
제 16 조 (서비스 이용제한)
① 당 사이트는 회원이 서비스 이용내용에 있어서 본 약관 제 11조 내용을 위반하거나, 다음 각 호에 해당하는
경우 서비스 이용을 제한할 수 있습니다.
- 2년 이상 서비스를 이용한 적이 없는 경우
- 기타 정상적인 서비스 운영에 방해가 될 경우
② 상기 이용제한 규정에 따라 서비스를 이용하는 회원에게 서비스 이용에 대하여 별도 공지 없이 서비스 이용의
일시정지, 이용계약 해지 할 수 있습니다.
제 17 조 (전자우편주소 수집 금지)
회원은 전자우편주소 추출기 등을 이용하여 전자우편주소를 수집 또는 제3자에게 제공할 수 없습니다.
제 6 장 손해배상 및 기타사항
제 18 조 (손해배상)
당 사이트는 무료로 제공되는 서비스와 관련하여 회원에게 어떠한 손해가 발생하더라도 당 사이트가 고의 또는 과실로 인한 손해발생을 제외하고는 이에 대하여 책임을 부담하지 아니합니다.
제 19 조 (관할 법원)
서비스 이용으로 발생한 분쟁에 대해 소송이 제기되는 경우 민사 소송법상의 관할 법원에 제기합니다.
[부 칙]
1. (시행일) 이 약관은 2016년 9월 5일부터 적용되며, 종전 약관은 본 약관으로 대체되며, 개정된 약관의 적용일 이전 가입자도 개정된 약관의 적용을 받습니다.