• 한국정보과학회:학술대회논문집
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• 한국정보과학회 2000년도 가을 학술발표논문집 Vol.27 No.2 (1)
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• pp.593-595
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• 2000

본 논문에서는 최적확장체(Optimal Extension Field; OEF)에서 정의되는 타원곡선 상에서 효율적인 스칼라 곱셈 알고리즘을 제안한다. 이 스칼라 곱셈 알고리즘은 프로비니어스 사상(Frobenius map)을 이용하여 스칼라 값을 Horner의 방법으로 Base-Ф 전개하고, 이 전개된 수식을 일괄처리 기법(batch-processing technique)을 사용하여 연산한다. 이 알고리즘을 적용할 경우, Kobayashi 등이 제안한 스칼라 곱셈 알고리즘보다 40% 정도의 성능향상을 보인다.

• 정보보호학회논문지
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• 제13권5호
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• pp.169-177
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• 2003

본 논문에서는 DPA와 Goubin의 공격을 동시에 방어하도록 하는 타원곡선 스칼라 곱셈 알고리듬의 일반적인 조건을 제시하며, 제시된 조건을 만족하면 두 공격 모두를 방지할 수 있음을 보인다. 이러한 조건을 만족하는 것으로는 Ha-Moon의 재부호화 방법을 이용한 랜덤 스칼라 곱셈 알고리듬이 있음을 보이고, 또한 Ha-Moon의 재부호 방법을 변형하여 두 공격을 방지하는 새로운 재부호화 알고리듬을 제안한다. 효율성 면에서 제안하는 스칼라 곱셈 방식은 Izu-Takagi의 스칼라 곱셈방법(y-좌표를 계산하지 않고 Montgomery-ladder를 사용)과 비교될 만큼 효율적이다. 제안하는 스칼라 곱셈은 랜덤화된 사영좌표와 기저점 은닉(bsae point blinding) 또는 isogeny 함수를 결합한 방법보다 빠르다. 또한 Izu-Takagi의 경우 은닉 또는 isogeny 함수 방법을 이용하면 상당량의 시스템 파라미터를 EEPROM에 저장해야 하는 단점이 있지만 이것은 제안하는 스칼라 곱셈 방법에는 해당되지 않는다.

• 정보보호학회논문지
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• 제13권3호
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• pp.65-70
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• 2003

본 논문에서는 side-channel 공격법 중 SPA(Simple Power Analysis)에 견디면서도 효율적인 연산이 가능한 scalar multiplication 방법과 하드웨어 구조를 제시한다. 기존에 제시된 SPA에 견디는 스칼라 곱셈 방법은 연산 속도가 느린 것이 약점이다. 따라서 이를 보안하는 방법에 대한 연구는 중요한 분야이다. 본 논문에서 제시한 타원곡선암호법 전용 하드웨어는 SPA에 견디면서도 동일한 유한체 연산기(multiplier, inverter)를 사용한다는 가정 하에 Coron의 방법 보다 연산 속도가 빠른 스칼라 곱셈 방법과 구조를 제시한다. 논문에서 제시하는 하드웨어는 n비트 키를 사용할 때 연산 속도가 2n·(Inversion cycle)+3(Multiplication cycle)만이 소요된다.

• 한국정보과학회논문지:시스템및이론
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• 제31권10호
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• pp.588-592
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• 2004

스칼라 곱셈은 정수 $textsc{k}$와 타원곡선 상의 한 점 P가 주어졌을 때 $textsc{k}$P를 계산하는 연산이다. 스칼라 곱셈을 빠르게 하기 위한 일반적인 방법으로 Agnew Mullin, Vanstone은 고정된 값의 해밍 웨이트를 갖는 스칼라 $textsc{k}$를 이용하는 방법을 제안하였다. 본 논문에서는 고정된 값의 부호화 해밍 웨이트를 갖는 $textsc{k}$를 이용하는 방법을 제안하고, 이 방법이 더 안전함을 보인다.

• 정보보호학회논문지
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• 제17권2호
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• pp.115-123
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• 2007

스마트카드와 같이 계산 능력이나 메모리가 제한된 장치에 암호 시스템을 구현할 때, 장치 내에 내장되어 있는 부채널 공격을 고려한 암호학적인 알고리즘은 적은 메모리를 이용하여 효율적으로 수행되어야 한다. 스칼라 곱셈 연산은 타원곡선 암호시스템에서 중요하게 다뤄지는 연산이기 때문에 부채널 공격에 안전하게 구성되어야만 한다. 하지만 부채널 공격에 안전하다고 제시된 여러 대응방법조차도 때로는 고려되지 않은 분석법에 의해 그 취약점이 드러나곤 한다. SPA에 취약하지 않다고 알려진 더미 연산을 추가한 스칼라 곱셈 연산 알고리즘은 Doubling Attack에 의해 그 취약점이 드러났다. 그러나 스칼라 곱셈의 부채널 공격 대응 방법 중 하나인 Hedabou에 의해 제안된 sABS 방법은 Doubling attack이 적용되지 않는다. 본 논문에서는 기존의 Doubling attack을 활용하여 sABS 방법을 분석할 수 있는 새로운 강화된 Doubling attack을 제안하고, 실험적인 결과를 통해 자세한 공격 방법을 소개한다.

• 한국정보보호학회:학술대회논문집
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• 한국정보보호학회 2001년도 종합학술발표회논문집
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• pp.132-138
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• 2001

본 논문에서는 타원곡선 스칼라 곱셈에 대하여 새로운 형태의 hardware fault cryptanalysis를 적용해 보고, 이에 대한 대응방법으로서 비밀키 blinding방법을 제안하고 있다. 또한 비밀키 blinding 방법을 사용함으로써 늘어나는 연산량을 기존의 대응 방법과 비교하고, 이러한 비밀키 blinding방법이 사용될 수 있는 범위에 대해 다루고 있다.

• 한국콘텐츠학회논문지
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• 제20권1호
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• pp.356-363
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• 2020

사물인터넷 시대가 되면서 다양한 디바이스가 유·무선으로 연결되고 있다. 이에 따른 일상생활의 편리성 향상과 함께 사생활 침해, 정보유출, 서비스 거부 등의 보안 문제가 증가하고 있다. 공개키 암호 시스템의 하나인 타원곡선 암호 시스템 ECC는 사용하는 키의 크기가 RSA 알고리즘보다 상대적으로 작아 제약적인 환경의 디바이스에 널리 사용되고 있다. 그러나 제약적인 환경의 디바이스에 적용된 ECC의 비밀 키는 스칼라 곱셈 연산을 수행하는 과정에서 전력 분석 공격법에 의해 노출될 수 있다. 본 논문에서는 SECG 표준 타원곡선 파라미터의 스칼라 곱셈 방법에 대해 차분 전력 분석에 대응하고 연산의 효율성을 증가시키는 방법을 알아본다. 제안하는 방법은 비밀 키에 타원곡선 위수의 난수 배를 더하여 차분 전력 분석에 대응하는 Coron의 방법을 사용한다. 연산의 효율성을 증가시키기 위해 SECG 표준 파라미터의 위수 n을 상대적으로 작은 상수 c로 n=2^l±c로 표현하고, 2^lP =∓cP인 성질을 이용한다. 임의의 난수를 사용한 Coron의 키-난수화 방법은 스칼라 곱셈 수행을 2l번 하는데, 본 논문에서 제안하는 방법은 위수 성질을 이용하면 스칼라 곱셈 수행을 약 (3/2)l번 수행하게 되어 25% 정도 연산의 효율성이 향상된다.

• 정보보호학회논문지
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• 제22권5호
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• pp.1019-1025
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• 2012

오류 주입 공격은 암호 장치가 동작하는 동안에 오류를 주입하여 얻은 부가적인 정보를 이용하여 비밀키에 대한 정보를 얻는 공격 방법이다. 오류 주입 공격은 소형 암호 장치에 내장된 암호 알고리즘의 키를 찾을 수 있는 가장 강력한 공격 방법으로 오류 주입 공격 및 오류 탐지 방법에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다. 2009년 S. Pontarelli 등은 Euclidean Addition Chain (EAC)를 사용하는 타원곡선 스칼라 곱셈 알고리즘에 대한 오류 탐지 방법을 소개하였다. 본 논문에서는 S. Pontarelli 등이 제안한 오류 탐지 방법이 적용된 알고리즘에 대한 새로운 오류 주입 공격 방법을 제안한다. 제안하는 공격 방법은 타원곡선 스칼라 곱셈 알고리즘의 상수 k에 대한 EAC에 비트 플립 오류 (bit flip error)를 주입하여 비밀키에 대한 정보를 얻어낸다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제22권3호
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• pp.303-327
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• 2019

본 연구는 초등학교 수학에서 곱셈에 대한 학생들의 이해를 돕는 하나의 방안으로 곱셈의 통합적 접근을 제안하였다. 곱셈의 통합적 접근이란 수학 수업에서 학생들이 하나의 곱셈 상황을 다양한 방법으로 해결하고 서로의 방법에 대해 탐색하고 논의하면서 곱셈에 대해 폭넓은 이해를 하도록 하는 것이다. 곱셈의 통합적 접근은 곱셈에 대한 다양한 접근, 일관적 접근, 특정한 접근을 강조한 여러 선행 연구를 기반으로 도출되었다. 연구 결과, 곱셈의 통합적 접근은 하나의 곱셈 상황을 크게 4가지 방법으로 해석할 수 있으며 각각의 방법은 선행 연구에서 강조한 곱셈의 중요한 특성과 모두 연결된다. 또한, 곱셈의 통합적 접근은 곱셈뿐만 아니라 나눗셈, 분수 및 분수의 연산, 비와 비율, 비례 등으로 자연스럽게 확장되는 데 중요하다는 것을 이론적으로 확인하였다. 이를 통해 초등학교 수학에서 다루는 곱셈과 관련하여 실제 수업을 진행하는 교사에게 시사점을 제공하고자 한다.

• 대한전자공학회논문지SD
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• 제41권9호
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• pp.73-84
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• 2004

본 논문에서는 하드웨어 상에 구현된 암호 프리미티브의 안전성을 위협할 수 있는 부채널 공격의 하나인 단순 전력 분석 (Simple Power Analysis)에 대응하는 알고리즘을 제안하고 이를 하드웨어로 구현하고자 한다. 제시하는 알고리즘은 기존에 알려진 대응 알고리즘보다 스칼라 곱셈 방법이 보다 효율적인 장점이 있다. 기존의 대응 알고리즘은 연산의 종속성 때문에 하드웨어의 장점인 병렬 처리 기법을 효율적으로 적용하기 어려운 단점이 존재한다. 이러한 단점을 보완코자 본 논문에서 제시하는 알고리즘은 동작 성능의 저하를 최소화하기 위해 역원 계산 시간 동안 곱셈 및 제곱 연산을 수행할 수 있도록 구성하였다. 또한 하드웨어 기술 언어인 VHDL(VHSIC Hardware Description Language)로 제안 알고리즘을 구현하여 성능 검증을 수행하였으며 이의 활용을 모색하였다. 하드웨어 합성은 Syplify pro7.0을 사용하였으며, 타겟 칩 Xillinx VirtexE XCV2000EFG1156을 대상으로 하였을 때 전체 등가 게이트는 60,608게이트, 최대 동작 주파수는 약 30Mhz로 산출되었다. 본 논문에서 제시한 스칼라 곱셈기는 전자 서명(Digital Signature), 암호화(Encryption) 및 복호화(Decryption), 키 교환(Key Exchange)등의 핵심 연산으로 사용될 수 있을 것으로 보이며, 자원 제약이 심한 Embedded-Micom 환경에 적용하였을 경우, 단순 전력 분석에 안전하면서 효율적인 연산 기능을 제공할 수 있을 것으로 보인다.