• 대한지리학회지
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• 제50권6호
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• pp.571-605
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• 2015

연구결과 다음과 같은 점이 확인되었다. 첫째, 목극등 지도의 '입지암류(入地暗流)'는 지리학적으로 '복류시작지점'을 의미하며, 오늘날 대각봉 북북동의 흑석구 하도, 해발고도 약 1,840m 지점이다. 둘째, 임진정계시 '토문강원(土門江源: 두만강원)'[흑석구]은 송화강에 유입되며, 목극등과 조선측 임진정계 참여자들도 1712년 5월 17~18일경 이 사실을 알았다. 이러한 두 가지 사실에 입각하여 임진정계를 재구성하면 다음과 같다. 목극등은 정계비를 압록강 송화강 최상류 분수계 부근에 세웠다. 압록강 토문강(두만강)의 최상류 분수계를 찾는다는 그의 의도대로라면, 정계비는 대연지봉에 세웠어야 한다. 5월 12일 그는 자신이 '토문강원(두만강원)'[흑석구]이라고 간주한 하도에서 '입지암류'를 발견했으며, 이곳으로부터 하도를 따라 복류하는 물이 다시 용출하여 토문강(두만강)이 된다고 생각하고, 5월 15일 정계비를 세웠다. 그러나 5월 17~18일경 이 하도가 토문강(두만강)이 아닌 '서류하천'(송화강 지류)에 연결된다는 것을 알았다. 이에 5월 19일 그는 다시 조선측이 가리킨 두만강(토문강) 용출처로 향했으며, 도중에 물이 나오는 것('수출(水出)')을 발견하고 자신이 '토문강원(두만강원)'이라고 생각한 물줄기가 다시 용출한 것이라고 지목하였다. 정계비로부터 이어지는 물줄기가 '입지암류' 지점에서 복류하기 시작하여 '수출'에서 다시 나와 토문강(두만강)이 된다고 이해한 것이다. 그는 "정계비-'토문강원(두만강원)'-'입지암류'-'수출'-토문강(두만강) 본류"로 물이 이어진다고 생각하고, 이를 조 청 국경으로 삼았으며, 그중 "정계비-'토문강원(두만강원)'-'입지암류'-'수출'"을 따라 경계표지물을 설치할 것을 조선측에 요구하였다. 그러나 목극등 귀국 후인 8월초 조선측 경계표지물 설치 실무자들은 목극등이 지목한 '수출'이 두만강(토문강) 수계가 아니라는 점을 알게 되었다. 조선측 실무자들은 "정계비-'토문강원(두만강원)'-황화송전자 부근-'수출'"을 목극등이 설정한 경계로 이해하고 경계표지물 설치작업을 하다가, 자신들이 확인한 두만강(토문강) 용출처까지 경계표지물을 연결하였다. 조선정부도 1713년 3월 이를 추인하였고, 이후 이러한 실무자들의 견해에 따라 중간의 경계표지물 미설치 구간에 대한 공사를 진행하였다. 경계표지물 설치에 대한 목극등의 요구와 조선측의 실행 사이에는 상당한 차이가 존재한다. 조선측 실무자들이 이렇게 경계표지물을 설치한 것은 황화송전자 부근을 목극등의 '입지암류' 지점으로 이해했고, 자신들이 확인한 두만강(토문강) 용출처가 진정한 두만강(토문강) 용출처라고 생각했기 때문이다. 임진정계시 조 청 모두 압록강과 두만강(토문강)을 국경으로 인식하고 정계에 임하였다. 문제는 두만강(토문강) 수계를 잘못 이해했다는 점이다. 압록강에 대한 수계 판단은 비교적 정확했으나, 두만강(토문강)에 대한 수계 판단에서 유일하게 옳았던 것은 조선측 실무자들이 발견한 두만강(토문강) 용출처였을 뿐이다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제15권3호
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• pp.287-313
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• 2005

소수는 십진기수법의 완성을 통해 실수의 표준기호화를 가능하게 하며 실수의 본질을 이해하는데 핵심적 역할을 하는 기본 개념이다. 우리나라 학교수학에서는 소수 개념에 대하여 분수의 다른 이름이라는 측면이 강조되고 그 밖의 중요한 여러 측면이 소홀히 지도된 채 성급한 알고리즘화가 시도되고 있다. 그 결과 학생들은 소수 개념을 적절히 이해하지 못한 채 형식적인 계산 조작의 대상으로 파악하며, 이는 무한소수인 실수 개념 이해의 심각한 장애 요인으로 작용한다는 문제점이 제기된다. 이에 본 논문에서는 학교수학의 주요 개념의 하나인 소수 개념에 대하여 그 교수학적 분석을 시도하여 그 주요한 교육적 문제점의 근원을 드러내고 그 개선방안을 제시하였다.

• 한국철학논집
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• 제23호
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• pp.317-347
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• 2008

본 논문은 주자문인인 황간과 원대 금화학파의 사상적 연관성을 연구함으로써 주자문인 및 주자 후학에 의한 주자학의 분화와 발전 과정을 분석하였다. 황간은 주자의 적통을 이어받은 도학파 주자문인이며, 그의 학문은 절강(浙江) 금화학파(金華學派), 강서(江西) 쌍봉학파(雙峰學派), 신안(新安) 주자학파(朱子學派) 등에 의하여 계승되었다. 본 논문은 이러한 사상사적인 흐름 속에서 도통론을 기반으로 황간의 학문을 계승한 대표적인 학파, 즉 사상사적으로 면재(勉齋) 황간(黃?)으로부터 하기(何基), 왕백(王柏), 금리상(金履祥), 허겸(許謙)으로 학통이 이어지는 절강(浙江) 금화학파(金華學派)를 연구의 주요 범위로 하고 있다. 황간과 원대 금화학파의 사상적 연관성을 다음과 같이 특징지어 정리할 수 있다. 첫째, 종법적인 도통관이다. 황간의 도통설은 주자의 도통관을 진일보 발전시킨 것으로서 주자가 유가의 도통을 집대성하였음을 논증한 것이기도 하다. 이러한 황간의 도동관은 특히 주자학의 적전(嫡傳)을 자부하는 금화학파에 의하여 계승된다. 둘째, 체용론과 관련한 "분수이리일(分殊而理一)"이라는 인식방법이다. 황간은 태극과 음양의 관계를 '도겸체용(道兼體用)'의 측면에서 일종의 '이일분수(理一分殊)' 또는 '일이이(一而二)'로 설명한 바 있다. 황간은 '도(道)의 체(體)는 형태가 없기 때문에 파악하기 힘들므로 우리들은 여러 만물에 산재해 있는 이(理)를 통하여 도(道)의 체(體)를 이해할 수 있다'라는 '유용이언체(由用而言體)' 또는 '인용이명체(因用而明體)'라는 구체적인 인식방법을 제시하였는데, 이러한 인식방법 역시 황간의 후학인 금화학파에 의하여 계승된다. 셋째, 격물치지의 공부론이다. 황간은 존덕성과 도문학을 모두 중시하였으며, 금화학파 역시 존덕성과 도문학을 모두 중시하였다. 특히 허겸(許謙)은 '격물치지'의 공부론을 통하여 심(心)의 문제를 폭넓게 해석하고 있다. 그러나 금화학파는 당시 상산학과의 긴장관계 속에서 도문학의 의의를 상대적으로 보다 강조하게 된다. 따라서 유가 경전의 독서와 훈석(訓釋)을 중시하고 있으며 "분수이일(分殊理一)"의 인식방법을 자신들의 학문에 응용함으로써 "유전이구경(由傳以求經)"이라는 특색을 지니게 된다.

• East Asian mathematical journal
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• 제32권4호
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• pp.565-587
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• 2016

The purpose of this study was to analyze the understanding of the meaning of fraction division and fraction division algorithm of elementary mathematical gifted students through the process of problem posing and solving activities. For this goal, students were asked to pose more than two real-world problems with respect to the fraction division of ${\frac{3}{4}}{\div}{\frac{2}{3}}$, and to explain the validity of the operation ${\frac{3}{4}}{\div}{\frac{2}{3}}={\frac{3}{4}}{\times}{\frac{3}{2}}$ in the process of solving the posed problems. As the results, although the gifted students posed more word problems in the 'inverse of multiplication' and 'inverse of a cartesian product' situations compared to the general students and pre-service elementary teachers in the previous researches, most of them also preferred to understanding the meaning of fractional division in the 'measurement division' situation. Handling the fractional division by converting it into the division of natural numbers through reduction to a common denominator in the 'measurement division', they showed the poor understanding of the meaning of multiplication by the reciprocal of divisor in the fraction division algorithm. So we suggest following: First, instruction on fraction division based on various problem situations is necessary. Second, eliciting fractional division algorithm in partitive division situation is strongly recommended for helping students understand the meaning of the reciprocal of divisor. Third, it is necessary to incorporate real-world problem posing tasks into elementary mathematics classroom for fostering mathematical creativity as well as problem solving ability.

• 한국철학논집
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• 제28호
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• pp.267-296
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• 2010

인간에게는 다양한 이해(利害)관계가 존재하고 다양한 사유가 존재한다. 이러한 다양성으로 인하여 세상에는 매우 복잡한 갈등관계가 형성된다. 계층·지역·학제·문화 등에서 단순 내지 복합적으로 형성되는 갈등관계는 그것이 해결가능성이 없다고 하면, 인간의 보편적 가치나 그 가치의 실현은 불가능하다. 이러한 논리를 종합적으로 나타내는 명제가 정이(程頤, 1033-1107)의 리일분수(理一分殊)와 율곡(栗谷, 1536-1584)의 리통기국(理通氣局)이다. 성리학의 리기론에서 리는 순선(純善)인데 어떻게 이 순선을 구체적으로 실현할 수 있느냐가 문제이다. 리 스스로 자신의 순선을 드러낸다는 주장이 있고, 기를 통하여 드러낼 수 밖에 없다는 입장이 있다. 퇴계(退溪, 1501-1570)나 우담(愚潭, 1625-1707)은 리 스스로가 자신을 드러내지는 못할지라도 적어도 자신을 드러내는 주동성은 리에 있다고 보며, 율곡은 어디까지나 기를 통하여 드러나며, 리는 기를 통하여 드러나도록 하는 주재성을 가지고 있다고 본다. 그러나 녹문(鹿門, 1711-1788)은 순선은 리와 기의 합일로서 실현된다고 보며, 이때 주동성이 리에 있는가 기에 있는가는 문제가 아니라, 공동주재로 리는 자연으로 기는 생의(生意)로 드러난다고 주장한다. 율곡이 선의 보편성과 그 실현근거에 대한 이론적 토대를 정립하였다면, 우담은 선의 실천과 실현에 좀 더 적극적 의미를 부여하기 위하여 리의 주재성과 주동성을 강조하였다. 이와 반면에 녹문은 리기불상리의 전제하에서 리의 선(善)을 구체적으로 실현하는 기의 담일성과 능동성 즉 생의(生意)를 강조, 리의 자연성으로 설명하였다. 그러나 인간이 선을 실천하지 않으면 안 되는 당위성을 어떻게 구체적으로 설명할 것인가? 이것이 문제다. 이것은 성리학 뿐만 아니라, 철학의 본래 문제이기도 하다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제20권1호
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• pp.105-129
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• 2016

2009 개정 교육과정에서 수학적 과정은 수학적 추론, 수학적 문제 해결, 수학적 의사소통의 형태로 강조되고 있으며, 수학적 추론의 한 형태인 비례 추론은 비와 비율 개념과 관련된 추론이다. 비례 추론은 초등학교 수학에서 규칙성 영역의 핵심이면서 중등수학에서 학습하는 함수 개념의 기본이 된다. 본 연구는 2007 개정과 2009 개정 교육과정 사이에 놓인 초등학교 6학년 학생들을 대상으로 비례와 관련된 형식적인 알고리즘을 배우기 전 단계에서 비례 추론의 특징과 유형을 분석해봄으로써 비례 추론을 사용하는 학생들의 문제해결전략과 오류를 살펴본다. 이를 위해 먼저 비례 추론 문항을 개발하고, 초등학교 6학년 학생들이 비와 비율을 학습하기 전후에 비례 추론 관련 문제를 어떻게 해결하고 또 어떠한 오류가 나타나는지를 분석한다. 그 결과 초등학교 6학년 학생들은 문제의 조건과 유형에 따라 다양한 비례 추론 전략을 활용한다. 대부분의 학생들은 곱셈적 추론 수준에 있으며, 비례 추론 검사에서 가장 많이 나타난 전략으로는 분수 전략과 간비교, 내비교 전략 등이었다. 그러나 학생들은 상대적인 비교를 필요로 하는 문제의 경우 문제의 이해 단계에서부터 어려움을 나타냈다. 따라서 절대적 상대적 변화를 비교하는 수준에 이를 수 있도록 다양한 형태의 비례 추론 문항 개발이 요구되며, 이와 함께 비례 추론 상황을 포함하여 지도할 수 있는 교수 방안의 개발이 요구된다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제25권3호
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• pp.497-524
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• 2011

교과간의 연결성을 바탕으로 통합교육에 대한 필요성이 꾸준히 대두되고 있는 요즘 본 연구는 간학문적 통합교육이 가능한 수학의 함수단원과 화학의 분자운동단원을 선택하여 통합적 교수모형을 설계하고 경기도 성남시에 거주하는 학생을 대상으로 총 5단계의 8차시에 걸친 사례연구를 2010년 2학기말에 실시하였다. 연구결과 수학과학통합교육은 상호 교과의 공통내용을 학습하는데 시너지효과를 주며 긍정적인 변화를 가져왔다. 실생활의 자연적 현상에 대한 예로부터 MBL를 사용하여 기체의 부피, 온도, 압력 등의 측정값을 구하였고 이 측정값으로부터의 보일의 법칙과 샤를의 법칙 속에 함수개념을 이해할 수 있었는데 두 주제가 공통의 학습목표를 지향하기에 Fogarty의 통합적 교수모형이 적절하였음을 알 수 있었다. 학생들의 학습과정을 통해 전체 5단계를 걸쳐 학습하는 동안 함수에 대한 개념이 확립되어 일반화하는 단계까지 점진적 수학화가 이루어졌다고 할 수 있으며 따라서 수학적 과학적 사고의 통합이 가능하였다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제12권1호
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• pp.79-100
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• 2008

Freudenthal은 수학적 개념을 가장 수학답게 가르치는 것, 그럼으로써 창의성을 기를 수 있게 하는 것은 어떤 수학적 개념이나 원리의 역사적인 수학화 과정을 재현하는 것이 되며, 이러한 역사적인 수학화를 교실에서 재현하는 방법을 '재발명 방법(reinvention method)'이라고 하였다. 이에 본 연구에서는 재발명 방법에 관한 이론들을 종합 분석하여, 효과적인 확률 개념 지도를 위해 제7차 초등 수학 교과서를 재구성해보고, 재구성한 내용을 직접 교수 실험함으로써 그 효과를 검증하고자 한다. 실험에 앞서 문헌 연구를 통해 재발명 방법에 대한 선행 연구를 종합 분석하면서 그와 대비되는 구상화 방법까지 고찰하였다. 현행 제7차 초등 수학 교과서를 면밀히 분석한 결과 현재 수학교과서의 확률 단원은 형식화를 강조하고 있고, 다루고 있는 확률 개념이 한정되어 있으며, 확률을 표현하는 방법 또한 분수로 제한하고 있음을 확인하였다. 이에 다양성과 현실 맥락을 주요 방향으로 하여 확률 단원 전체를 재구성하여 실험반에 적용하였다. 수업 결과 재발명 방법을 통해 학습을 진행하는 것이 학습자의 확률 개념을 형성하는 데 효과적이었으며, 다양한 표현 양식은 학습자의 확률에 대한 이해도를 높일 수 있는 것으로 나타났다.

• 한국철학논집
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• 제35호
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• pp.131-164
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• 2012

이 글은 남당(南塘) 한원진(韓元震)의 "경의기문록(經義記聞錄)"이 가진 철학사적 입장을 개괄하고, 권6의 부록으로 수록된 "이기심성도설(理氣心性圖說)"의 성립 연대와 개략적인 내용을 검토한 것이다. 총 17개의 도설(圖說)들은 리기론(理氣論), 심성론(心性論), 수양론(修養論) 등의 분야에 걸쳐 있다. 이 도설들은 남당이 호학(湖學)으로 불리는 황강(黃江)학파의 일원이 되면서부터 강학(講學)을 통해 습득한 내용들을 체계적으로 쉽게 이해할 목적으로 제작된 것이다. 남당의 철학적 입론은 이이(李珥), 송시열(宋時烈), 권상하(權尙夏)로 이어져 온 기호성리학(畿湖性理學)의 정통적 흐름을 계승한 것이다. 리기론에 해당하는 "이기원류도(理氣源流圖)", "이기동정도(理氣動靜圖)", "일원분수도(一原分殊圖)"(4개) 등은 기호성리학의 본체론(本體論)에 해당하는 것을 도해한 것이다. 기호성리학의 심성론을 도해한 것으로는 "심통성정도(心統性情圖)"를 중심으로 한, "성정횡간도(性情橫看圖)", "성정수간도(性情竪看圖)", "성정총회도(性情總會圖)", "오성호주도(五性互主圖)", "오성추본도(五性推本圖)", "심성묘합도(心性妙合圖)", "심성이기도(心性二岐圖)", "중용천명도(中庸天命圖)", "인심도심도(人心道心圖)" 등이 있으며, 마지막 "위학지방도(爲學之方圖)"는 율곡과 송시열에 의해서 기초가 마련된 수양론에 대한 도식을 개작한 것이다. "경의기문록"의 철학사적 의의는 황강학파의 강학 내용을 집대성한 것으로서, 남당이 호학의 주도적인 이론가라는 것을 구체적으로 증명해주고 있다.

• 한국철학논집
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• 제38호
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• pp.275-302
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• 2013

이 글은 "잡학변"의 <여씨대학해>를 분석함으로써 주희의 격물치지설을 고찰하였다. "잡학변"은 주희가 당시 유학자들에게 유행하였던 노자와 불교의 경향을 비판하기 위해 지었다. 주희는 <여씨대학해>를 통해 격물치지(格物致知) 해석에 스며있는 여본중의 불교적 이해를 비판하였다. 여본중은 격물치지를 수양주체가 사물의 리(理)를 궁구함으로써 자신의 양지(良知)를 잘 발현시키는 일련의 과정으로 보았다. 그는 격물치지에서 오랜 축적의 과정보다는 수양 주체의 마음에 더 주목하여, '깨달음을 준칙으로 삼으라(이오위칙(以悟爲則))'고 하였다. 주희는 이를 불교와 같다고 규정하였다. 이에 비해 주희는 완성된 앎에 이르기 위해서 하나하나의 앎을 수없이 쌓아가야 한다고 생각했다. 특히 그는 리(理)를 파악할 때, 일상에서의 익숙하게 보고 듣는 사물에서 그 이치가 유래하는 것까지, 즉 '사물의 이치'에서 '사물이 그렇게 된 까닭'까지 나아가야 한다고 보았다. 주희는 초기에 "대학"의 격물(格物)을 다분히 정치 사상적 의미에서 접근하였지만, 여본중의 격물설을 비판하는 과정에서 '리일분수'의 이론적 도구로 사유의 폭을 확장하였다. 그런 의미에서 주희의 여본중 비판은 불교와 의 투쟁이자, 자기 철학의 심화 과정이었다.