• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제19권1호통권21호
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• pp.1-14
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• 2005

Piaget는 인류가 지식을 구성해 온 방식과 유사한 방식으로 어린이들도 자신들이 학습해야 할 지식을 학습할 수 있다고 가정한다. Kamii는 이 가정을 확인하고자 하는 열망으로 실험교수법을 이용한 수학수업을 실시하였다. 본 고에서는 Kamii가 얻은 결과 중 곱셈에 대한 결과를 발생론적 인식론 입장에서 논의가 이루어 질 것이다. 이 논의는 어린이들이 구성해 가는 지식이 선대인들이 사용하던 지식과 유사하다는 점과 어린이들이 구성해 가는 지식이 완성된 지식의 형태를 갖출 수 있다는 점을 중심으로 이루어진다. 또한, 그 결과로부터 전통적인 수학 교수법에 변화가 있어야 함을 발생론적 인식론을 적용한 수학 수업의 특징과 비교하면서 시사점을 논의하고자 한다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제7권2호
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• pp.139-168
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• 2005

본 연구에서는 분수의 곱셈에서 학생이 학교 수업을 받기 이전에 가지고 있는 비형식적 지식이 무엇인지를 알아보고, 그 지식을 형식화 할 수 있는 교수$\cdot$학습 방법을 추출하기 위해서 문헌 검토를 통해 6차시의 사전 교수$\cdot$학습안을 개발하고, 이를 바탕으로 초등학교 4학년 학생 7명에게 교수실험을 실시하였다. 교수실험 결과, 학생의 분수 곱셈에서의 비형식적 지식은 그림을 이용한 직접적 모델링 전략, 비형식적 언어에 의한 사고, 조작 가능한 수식에 의한 표상으로 나타났다. 또한, 교수실험과정에서 학생이 보인 반응을 분석하여 (분수)$\times$(자연수), (자연수)$\times$(분수), (단위분수)$\times$(단위분수), (진분수)$\times$(진분수)의 곱셈에서 비형식적 지식을 형식화하기 위한 교수$\cdot$학습 방법을 제시하였고, 이에 터하여 분수의 곱셈에서 학생의 비형식적 지식을 형식적 지식으로 연결하기 위한 교수$\cdot$학습 활동자료를 제시하였다. 본 연구에서 개발한 교수$\cdot$학습 활동자료는 학생이 가진 비형식적 지식에 기초하여 형식적 지식을 의미 있게 학습할 수 있도록 할뿐만 아니라 더 나아가 수학적 사고력과 긍정적인 수학 성향을 길러줄 수 있을 것으로 기대한다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제31권2호
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• pp.153-166
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• 2017

본 연구에서는 예비교사가 문제 만들기 과제를 위해 분수곱셈지식을 사용하는 과정에서 드러나는 이해의 정도와 유형을 미국사례를 중심으로 조사하였다. 이를 위하여, 미국 대학 교사교육과정의 입문단계와 종료단계에 있는 총 164명의 예비초등교사를 대상으로 분수곱셈에 대한 문장제 문제를 작성하게 하고, 이를 수학적 정교성과 작성한 문제에 사용한 분수곱셈의 의미의 유형으로 분석하였다. 분석결과는 교육과정 입문단계와 종료단계의 예비교사 그룹 간의 차이점, 각 그룹, 그리고 전체적인 경향에 대해 기술하였고, 분수곱셈 지도와 교사교육에 대한 시사점을 제공하였다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제18권4호
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• pp.483-497
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• 2008

본 연구에서는 (두 자리 수)${\times}$(두 자리 수)의 곱셈에 대한 학생의 비형식적인 지식은 무엇이며, 문제 해결 과정에서 이러한 비형식적 지식의 역할이 어떠한지 분석하였다. 아직 (두 자리 수)${\times}$(두 자리 수)의 곱셈을 학습하지 않은 한 명의 3학년 학생을 대상으로 4차례의 임상면담을 실시하였고, 학생이 작성한 활동지와 행동적인 특성, 사고과정에 대한 단서 등도 자료에 포함시켰다. 아직 표준적인 알고리즘을 알지 못하는 상태에서 비형식적인 지식만으로 어떻게 문제를 해결하고 개념을 발전시키는지, 특히 어떤 유형의 비형식적인 지식을 어떤 방식으로 활용하는지 알아보았다. 관찰한 비형식적 지식은 모델 화하기, 두 배하기 전략, 그리고 곱셈의 분배와 결합 성질에 대한 이해이다. 그리고 비형식적 지식은 문제 해결 과정에서 해결방법을 설명하고 정당화하는 역할을 하였다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제14권1호
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• pp.135-151
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• 2010

본 연구는 구성주의 이론을 반영하여 개발한 곱셈단원 수업자료를 토대로 학습자 중심 수업을 초등학교 2학년 학습자에게 실시하였을 때 학습자들의 성취도가 어떠한가를 살펴보는데 그 목적이 있다. 이를 위해, 학습자 중심 수학 수업으로 곱셈단원을 학습한 집단과 초등 수학교과서를 토대로 교사 중심 수업으로 곱셈단원을 학습한 집단의 성취도를 비교하였다. 먼저, 추론검사를 실시한 결과 두 집단은 추론능력에 있어서 유의미한 차이가 없음을 확인하였다. 수업을 실시한 후, 2학년 교육과정에서 다루는 곱셈지식을 측정한 재생검사는 두 집단은 통계적으로 유의한 차이를 나타내지 않았지만, 2학년 학생들이 배우지 않은 3학년 이상의 교육과정에서 다루는 곱셈지식을 측정한 생성검사I과 생성검사II는 두 집단이 통계적으로 유의미한 차이가 나는 것을 알 수 있었다. 이와 같은 결과로부터, 초등수학교과서로 교사 중심 수업 보다 구성주의 이론을 바탕으로 개발된 수업 자료를 토대로 학습자 중심 수업이 학습자의 지식이 전이력이 있음을 알 수 있다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제23권1호
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• pp.1-17
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• 2019

본 연구에서 예비교사들은 자신들의 학교수학에 대한 경험과 지식을 토대로 분수의 곱셈과 나눗셈 지도 순서를 배치하는 활동을 하였다. 그 결과 교육과정의 제시된 순서와 일치한 경우는 없었지만 이러한 활동은 예비교사의 인식을 드러낼 수 있는 기회가 되었고 예비교사들은 자신의 인식과 교육과정의 차이 그리고 서로 간의 인식이 다름을 확인하면서 교사에게 필요한 지식을 배울 수 있었다. 즉, 예비교사들은 분수와 소수의 곱셈과 나눗셈 지도 순서에 내재된 수학적 관계를 알 수 있었고, 연산 지도에서 학생들의 사전 지식과 생각을 파악하는 것의 중요성과 어려움을 알 수 있었으며, 교수학습 방법으로서 생산적 실패의 효과를 체감할 수 있었다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제18권1호
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• pp.1-17
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• 2014

초등학교에서 곱셈의 교환법칙의 지도는 $3{\times}4=12$, $4{\times}3=12$와 같이 $a{\times}b$와 $b{\times}a$ 의 값을 계산하고 실제로 그 값이 같은지를 확인하는 활동을 바탕으로 하는 것이 보통이다. 이 논문에서는 첫째로, 순수이성비판에 나타난 수학적 지식에 관한 칸트의 견해를 바탕으로, 곱셈의 교환법칙의 취급 방법을 비판적으로 고찰한다. 칸트에 의하면, 수학적 지식은 선험성과 도식성이라는 특징을 지니고 있다. 두 곱셈의 계산 결과를 비교하는 방법은 선험성과 도식성이라는 수학적 지식의 특성을 충족하지 못한다. 칸트의 관점에서 볼 때, $a{\times}b$를 $b{\times}a$ 로 변환하는 필연적이고 일반적인 도식이 드러나게 교환법칙을 취급하는 것이 적절하다. 둘째로, 곱셈의 교환법칙의 도식과 관련된 기본구성단위로의 분배 전략은 (자연수)${\times}$(10의 거듭제곱), 몫 분수 맥락에서 분수의 복합적 의미, 분수의 곱셈과 같은 학습 내용을 관통하는 일반적인 성격의 것임을 논한다. 끝으로, 이상의 두 논의를 바탕으로 초등 수학교과서에서 곱셈의 교환법칙이 다루어지는 방식을 비판적으로 고찰한다.

• 한국학교수학회논문집
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• 제12권1호
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• pp.47-70
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• 2009

본 연구는 초등학교 학생들도 자신이 행한 행위를 바탕으로 반성적 추상화를 할 수 있다는 구성주의자들의 가정을 확인하는데 목적이 있다. 이 목적을 달성하기 위해서 구성주위를 근간으로 하는 교수 학습 이론인 학습지 중심 수업으로 곱셈 수업을 실천하고, 특히 추론 능력이 열등한 학생들을 대상으로 곱셈 지식을 구성하는 능력을 알아보았다. 대구시 수성구에 소재한 J초등학교 2학년 1개 반 37명을 연구 대상으로 선정하여, 비디오 분석, 수업 시간 관찰, 활동지, 개별 면담, 수업 일지 기록 등을 통한 다중검증법을 활용하였다. 본 연구의 결과로부터 얻어진 결론은 다음과 같다. 첫째, 추론능력이 열등한 학습자도 자기 나름대로의 지식을 구성해 나갈 수 있었다. 따라서 교사는 학생들이 지식을 구성할 수 있는 존재라는 믿음을 갖고 획일적인 수준의 목표를 강제해서는 안 된다. 둘째, 학습자 중심 수업으로 인한 긍정적인 효과성을 인식하여 교사는 학생 각자의 사고를 존중하는 학생관을 가지고, 학생들의 인지갈등을 유발하고 사고를 촉진시켜 줄 수 있는 수업 자료를 제시해야 한다. 셋째, 학생들은 학습하는 과정에서 기존의 학습한 내용과 연관성을 지으면서 학습하는 경향을 인식하고 단편적인 지식의 습득이 아닌 반성적 추상화를 통해 인지구조를 형성해나가도록 해야 한다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제16권2호
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• pp.157-177
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• 2006

비와 비례 개념은 독립적으로 발달하는 것이 아니다. 오히려 이런 개념은 곱셈적 개념 장의 일부분으로 서로 관련을 가지면서 발달하게 된다. 곱셈적 개념 장에는 곱셈, 나눗셈, 분수, 비, 유리수와 같은 개념을 포함한다. 본 연구에서는 이런 개념의 발달 과정이 어떻게 시작하는가를 알아보기 위한 목적으로, 한 초등학교 4학년 아동을 대상으로 비례추론 과제를 해결하는 실험 수업을 실행하였다. 연구를 통해 이 아동이 비형식적 전략을 전개하면서 어떤 도전에 직면하였는지 그리고 비와 비례 개념을 전개하면서 어떤 수학적 지식이 유용하였는지를 분석할 수 있었다. 이러한 연구 결과는 비와 비례 개념의 발달은 곱셈적 개념 장의 발달과 깊은 관계가 있다는 기존의 입장을 지지하는 것으로 나타났다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제6권3호
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• pp.267-281
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• 2004

본 연구는 초등예비교사들이 초등수학에 대한 전문성을 기르는데 필수적인 요인으로써 초등수학에 대한 이들의 이해도를 알아보는데 그 목적이 있다. 이를 위해서 분수의 곱셈에 대한 계산, 의미 파악, 문제 상황 제시 및 표상의 측면에서 현재 교육대학교 3학년 학생들을 대상으로 본 연구를 실시하였다. 본 연구의 결과 대다수의 초등예비교사들은 분수의 곱셈에 대한 계산에는 거의 어려움이 없었으나, 의미파악과 문제 상황 제시에 있어서는 동수누가의 원리가 적용되는 경우를 제외하고는 상당한 어려움을 느끼고 있었다. 마찬가지로, 분수의 곱셈을 그림을 이용하여 표현하는데 있어서도 대다수의 경우 동수누가의 원리가 직접적으로 적용될 수 있는 경우인 승수가 자연수인 경우를 제외하고는 적절한 방식으로 표현하는데 큰 어려움을 겪고 있는 것으로 드러났다. 본 연구는 진정한 교직의 전문성은 수업에 대한 전문성에서 비롯되며, 이는 초등예비교사들이 초등수학에 대한 전문성을 확보할 때 비로소 수업관행의 근본적인 변화를 이룰 수 있다는 것을 시사한다. 따라서 교실에서의 수학 수업의 질적 향상을 위해서는 초등수학에 대한 깊이 있는 이해가 선행되어야 한다.