Efficient Determination of Iteration Number for Algebraic Reconstruction Technique in CT

CT의 대수적재구성기법에서 효율적인 반복 횟수 결정

Abstract

The algebraic reconstruction technique is one of the reconstruction methods in CT and shows good image quality against noise-dominant conditions. The number of iteration is one of the key factors determining the execution time for the algebraic reconstruction technique. However, there are some rules for determining the number of iterations that result in more than a few hundred iterations. Thus, the rules are difficult to apply in practice. In this study, we proposed a method to determine the number of iterations for practical applications. The reconstructed image quality shows slow convergence as the number of iterations increases. Image quality 𝜖 < 0.001 was used to determine the optimal number of iteration. The Shepp-Logan head phantom was used to obtain noise-free projection and projections with noise for 360, 720, and 1440 views were obtained using Geant4 Monte Carlo simulation that has the same geometry dimension as a clinic CT system. Images reconstructed by around 10 iterations within the stop condition showed good quality. The method for determining the iteration number is an efficient way of replacing the best image-quality-based method, which brings over a few hundred iterations.

CT에서 대수적재구성기법은 잡음에 강점을 가지는 재구성기법으로 알려져 있다. 대수적재구성기법에서 반복 횟수는 계산 시간을 결정하는 중요한 인자 중의 하나이다. 그러나 반복 횟수에 대한 기준이 연구되어 있지만 수백 번 이상의 반복을 수행하게 되어 현실적으로 사용하기에는 무리가 있었다. 본 연구에서는 반복 횟수를 결정할 수 있는 현실적인 방법을 제시하였다. 반복 횟수에 따라 단면 영상의 품질이 천천히 개선된다는 것을 이용하였다. 반복 횟수를 절대치 평균 오차의 차이 𝜖 < 0.001 로 선택하였다. 잡음이 없는 경우는 Shepp-Logan 두부 팬텀을 이용하였고 잡음이 있는 경우는 Geant4를 이용하여 다양한 입사광자에 대해 360, 720, 1,440개의 투영을 얻었다. 정지 조건에서 10회 내외의 반복으로 우수한 단면 영상을 획득하였다. 수 백회 이상을 반복하는 최적 영상기반의 방법에 비해 현실적으로 적용 가능성이 높은 방법이 될 수 있을 것이다.

Ⅰ. INTRODUCTION

의료분야에서 CT(computed tomography)는 병변 진단을 위하여 광범위하게 사용되고 있다. 그러나 CT 검사는 환자에게 많은 양의 방사선 피폭을 유발하기 때문에 흡수선량을 줄이면서 양질의 단면 영상을 획득하기 위한 연구가 진행 중이다^[1,2]. 환자의 흡수선량을 줄이기 위해 입사 방사선량을 감소시키기 때문에 검출기에 도달하는 광량이 부족하여 잡음이 증가하고 재구성되는 단면 영상에도 많은 잡음이 포함되어 영상의 품질이 저하된다^[3]. 검출기에 기록되는 투영에 잡음이 다수 포함되더라도 재구성하는 영상재구성 알고리즘이 잡음에 우수한 성능을 보인다면 재구성을 통해 잡음의 효과를 감소시킬 수 있다^[4].

반복재구성기법은 잡음에 장점을 가진 영상재구성법으로 알려져 있다^[5]. 그러나 반복재구성법은 검출기에 기록된 투영값과 가까운 값을 가지는 단면 영상을 찾기 위해 전방투영(forward projection)과 역투영(back projection)을 반복 수행하기 때문에 컴퓨터의 계산량이 증가하여 재구성되는 시간이 오래 걸리는 단점이 있다^[6]. 반복재구성기법에서 계산 시간을 결정하는 주요 인자는 반복 횟수이다. 반복 횟수를 자동으로 설정할 수 있는 연구가 진행되고 있지만, 여전히 열린 연구 분야로 남아있다^[7,8]. 대부분의 연구가 비용함수(cost function)를 최소로 하는 반복 횟수를 선정하고 있다. 그러나 비용함수의 선택과 잡음의 크기에 따라 반복 횟수가 달라지는 단점이 있다. 그리고 사용되는 반복재구성기법에 따라서도 결과가 달라진다. 최근 Hansen et al.은 투영의 잡음과 재구성된 영상의 잡음의 균형을 통한 4가지 정지 규칙(stop rule)을 정리하였다^[9]. 그러나 정지 규칙에 기초한 반복 횟수는 수백 회 이상으로 현실적으로 적용하기에는 어려움이 있다.

본 논문은 대수적재구성기법을 이용하여 반복 횟수에 대한 영상 품질의 수렴 정도를 이용하여 반복 횟수를 결정하는 방법을 제시하였다. 대수적재 구성기법에서는 초기 몇 번의 반복으로 단면 영상이 빠르게 개선되지만, 반복 횟수가 증가할수록 영상의 수렴 속도가 매우 느리다. 수렴 속도가 느리다는 것에 착안하여 이전보다 0.001 이상의 갱신(update)이 없는 경우 반복을 멈추도록 하여 반복 횟수를 결정하도록 하였다.

Ⅱ. MATERIAL AND METHODS

1. 대수적재구성기법

대수적재구성기법은 전방투영과 후방투영을 반복적으로 수행하면서 최적의 해를 찾아가는 수학적 방법으로 Eq. (1)과 같이 표현된다^[5].

\(\begin{aligned}f_{j}^{(n+1)}=f_{j}^{(n)}+\alpha \frac{\left(p_{i}-q_{i}\right) W_{i j}}{\sum_{j=0}^{N-1} W_{i j}^{2}}\end{aligned}\)       (1)

여기서 f_j⁽ⁿ⁾은 n번째 반복에서 단면 영상이고 j와 i는 단면 영상의 픽셀과 엑스선(X-ray)을 묘사하는 광선을 나타내는 인자이다. W_ij는 시스템 행렬(system matrix)로 알려져 있다. 시스템 행렬은 광선 i가 픽셀 j에 미치는 영향을 나타낸다. 투영 p_i는 i번째 광선에 의해 검출기 픽셀에 기록된 투영값을 나타낸다. CT 장치에서 획득되는 투영값이 p_i이다. 전방투영은 Eq. (2)와 같이 표현된다.

\(\begin{aligned}q_{i}=\sum_{j=0}^{N-1} W_{i j} f_{j}^{(n)}\end{aligned}\)       (2)

Eq. (1)의 분모는 정규화 인자이고 α는 완화 인자(relaxation parameter)이다. N은 픽셀의 개수이고, Eq. (1)의 두 번째 항의 분자는 역투영을 나타낸다. 역투영은 투영값과 전방투영의 차이 Δ_i = p_i - q_i를 단면 영상에 갱신하는 역할을 한다. 근본적으로는 모든 광선에 대해 전방투영과 투영의 차이가 없어지면 최적의 해가 얻어진다. 반복에 따른 수렴의 안정을 위해 완화 인자는 보통 0.1과 같이 작은 값을 선택한다. 전방 및 후방투영을 위한 시스템 행렬은 선적분 기반의 Siddon 알고리즘을 사용하였다^[10,11].

2. 반복 횟수 결정

대수적재구성기법에서 초기 몇 번의 반복에서는 매우 빠른 수렴을 보이지만 반복 횟수가 증가할수록 수렴은 매우 느려진다. 최적의 영상 품질을 나타내는 반복 횟수를 넘어 추가적인 반복을 계속 수행하면 재구성되는 단면의 품질은 오히려 더 나빠진다. 그러나 영상의 품질이 최대가 되는 반복 횟수까지는 영상의 개선이 너무 느리고 일정 횟수 이상의 반복으로 재구성되는 영상의 품질과 큰 차이가 없다. 따라서 최적의 영상을 획득하기 위하여 계산 시간이 오래 걸리더라도 반복을 많이 실행할지 아니면 반복 횟수를 줄여 적절한 영상 품질을 얻을 것인지 거래가 현실적인 접근에서 필요하다. 거래라는 측면에서 영상의 품질 또는 반복 횟수를 결정하는 기준이 필요하다.

영상의 품질을 평가하는 기준으로 전방투영과 투영값의 차이의 절대값을 현재와 다음번 반복의 차이로 Eq. (3)과 같이 표현할 수 있다.

\(\begin{aligned}\epsilon=\frac{1}{M} \sum_{i=0}^{M}\left(\left|\Delta_{i}^{(n)}\right|-\mid \Delta_{i}^{(n+1)}\right.\end{aligned}\)       (3)

여기서 M은 광선의 총 개수(또는 검출기의 개수 곱하기 뷰(view)의 개수)이다. Eq. (3)은 1회 반복당 갱신의 평균 차이 또는 갱신의 기울기를 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 또한 Eq. (3)에서 첫 번째 항 Σ|Δ_i⁽ⁿ⁾|은 절대치 오차(측정 투영과 전방 투영의 차이)의 합으로 생각할 수 있기 때문에 n번째 및 n + 1번째 절대치 평균 오차의 차이로도 해석할 수 있다. 𝜖이 크다는 것은 갱신이 크다는 것을 의미하고 𝜖 = 0은 이론적인 해로 완전히 수렴했다는 것을 의미한다. 여기서는 𝜖 = 0.001을 선정하였다.

3. 투영의 획득

투영을 획득하기 위하여 두 가지 경우를 고려하였다. 투영에 잡음이 없는 경우는 잘 알려진 Shepp-Logan 두부 팬텀(head phantom)을 이용하였다. 두부 팬텀은 10개의 타원으로 구성되어 있다. 타원에 대해서는 이론적으로 투영을 정확히 결정할 수 있다.

잡음이 있는 경우에 대해서는 몬테카를로 전산 모사를 통하여 투영을 얻었다. Geant4를 이용하여 임상용 CT와 같은 구조를 갖도록 하여 투영을 얻었다. 같은 각도 간격으로 검출기가 배치된 부채살 빔 구조(fan-beam geometry)로 검출기를 구축하여 검출기에 기록되는 광자를 획득하였다. 편의상 60 keV의 에너지를 가지는 광자를 엑스선관에서 검출기로 무작위(random)로 향하게 하여 180 mm 지름의 물 팬텀 속에 20 mm 지름의 1, 2, 3, 4% 농도를 가지는 가돌륨(Gd) 조영재가 포함된 대상(object)에 대해 투영을 얻었다. 투영은 엑스선과 검출기가 동시에 360° 회전하면서 360, 720, 1,440개의 투영을 획득하였다. 잡음의 정도가 다르게 입사되는 광자의 개수를 투영 또는 뷰 당 1×10⁶, 3×10⁶, 6×10⁶개로 하였다. Table 1과 Fig. 1은 Geant4에 사용된 CT의 사양과 구조를 나타내었다.

Table 1. Information of geometry and detector for CT system used in Geant4 simulation

Fig. 1. Geometry of a CT system generated by Geant4. There are X-ray tube, bowtie filter, object, and detector from top to bottom.

Ⅲ. RESULT

1. Shepp-Logan Head Phantom

Shepp-Logan 두부 팬텀에 대한 대수적재구성기법을 이용하여 360개의 투영 영상을 이용하여 단면 영상을 재구성하였다. 횟수를 반복할 때마다 생성되는 영상의 품질은 Fig. 2과 같이 향상되었다. Shepp-Logan 두부 팬텀의 정보를 알고 있기 때문에 영상재구성되는 영상과 원본 팬텀의 차이를 계산함으로써 재구성되는 영상의 품질을 평가할 수 있다. 품질은 RMSE(root mean square error)를 조사하였다. 초기 몇 번의 반복 동안에는 품질이 빠르게 향상되지만, 그 이후에는 빠르게 포화되기 시작하고 RMSE는 대략 20번 이후에는 품질이 획기적으로 개선되지 않는다.

Fig. 2. (a) Reconstructed image after 4 iterations and (b) image quality of RSME and (c) image quality ε as a function of iterations for the Shepp-Logan head phantom.

통상적으로 재구성하려는 원본 영상을 알 수 없고 투영의 정보만 알고 있는 경우가 일반적이다. 반복하면서 얻어지는 정보를 이용하여 영상의 품질을 평가할 수밖에 없다. Shepp-Logan 두부 팬텀에 대한 투영(사이노그램)을 이용하여 Eq. (3)의 품질을 조사하였다. Fig. 2-(c)를 통해 알 수 있듯이 4번 반복 후 𝜖 < 0.001이 되었다. 따라서 4번째 반복 이후 반복을 멈추어도 재구성된 영상의 품질은 Fig. 2-(a)를 통해서 알 수 있듯이 단면 영상은 충분한 품질을 확보할 수 있다. 투영 또는 사이노그램에 잡음이 포함되어 있지 않아 상대적으로 적은 반복 횟수에서도 원본 팬텀에 가까운 영상을 복원하였다. Fig. 2를 통해 파악할 수 있듯이 반복 횟수가 증가하더라도 오차 또는 영상의 품질이 매우 천천히 개선되는 것을 확인할 수 있다.

2. 잡음이 포함된 경우

Geant4를 이용하여 조영재가 포함된 원형 물 팬텀에 대한 투영을 얻었다. 360개의 투영과 1×10⁶ 광자 입사에 관한 결과를 Fig. 3에 나타내었다. 투영에 상당한 잡음이 관찰된다. 사이노그램의 중앙 부분에서 조영제 부분을 제외한 4개 영역에서 상대잡음(표준 편차 / 평균 × 100%)의 평균은 5.4%로 잡음이 상대적으로 많이 포함되어 있다. 이러한 잡음으로 인해 대수적재구성기법으로 13번의 반복으로 얻은 단면 영상에도 다수의 잡음이 포함되었다. 재구성된 단면 영상의 2시, 4시, 8시, 10시 방향과 중앙 5개 부분의 상대잡음은 평균 15.2%로 높게 나타났다.

Fig. 3. (a) Sinogram and (b) reconstructed image for 360 views and with photon number of 1×10⁶.

영상품질 𝜖은 Fig. 4에서 확인할 수 있듯이 3×10⁶개의 광자 입사에 대해 9번의 반복으로 0.001 이하의 값을 보였다. 대수적재구성기법에서 반복 횟수를 증가시킨다고 해서 영상이 눈에 띄게 개선지 않고 단순 단조(monotonically) 감소하는 경향을 보인다. 그러나 입사 광자의 개수가 3×10⁶와 6×10⁶개를 비교하면 잡음이 적은 경우에 절대치 평균 오차가 더 낮아서 전체적인 영상은 Fig. 5와 같이 6×10⁶개의 입사 광자인 경우가 더 우수한 영상의 품질을 나타낸다. 재구성된 영상은 각각 11.2%와 8.9%의 상대 잡음을 보였다. 육안으로도 잡음의 정도를 확인할 수 있다.

Fig. 4. (a) Image quality (ε) for photon number of 3×10⁶ and (b) average absolute errors for photon numbers of 3×10⁶ and 6×10⁶ with 360 views.

Fig. 5. Reconstructed images with photons of (a) 3×10⁶ and (b) 6×10⁶ for 360 views.

뷰의 개수를 증가시키면서 정지 기준 𝜖 < 0.001을 만족하는 반복 횟수를 확인하였다. Table 2에 뷰의 개수와 입사광자의 개수에 대하여 사이노그램과 재구성된 영상의 잡음과 최적 반복 횟수를 나타내었다. 뷰의 개수가 증가할수록 반복 횟수는 줄어들었다. 그리고 720과 1,440 뷰에서는 입사 광자의 개수에 크게 의존하지 않고 거의 동일한 반복 횟수 및 잡음 수준을 보였다. 반복 횟수의 결정에 뷰의 개수 및 잡음 모두 영향을 받는 것을 알 수 있다.

Table 2. Stop iterations for various views and incident photons

Ⅳ. DISCUSSION

대수적재구성기법은 검출기 픽셀에 기록되는 광자 또는 광선마다 한 번씩 영상을 갱신하므로 다른 SART(Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique), SIRT(Simultaneous Iterative Reconstruction Technique) 등과 같은 반복재구성기법보다 수렴 속도가 빠르다^[5]. 그래서 잡음이 다수 존재하는 경우에도 대략 10회 내외에서도 품질이 좋은 단면 영상을 나타낸다^[12]. 여기서는 영상 품질의 기준은 𝜖 < 0.001를 선정하였다. 이 기준을 강화하여 𝜖 < 0.0001를 선정하면 720 뷰의 경우에 대해 사이노그램의 상대잡음이 5.4%, 3.0%, 2.1%인 경우(Table 2 참조)에도 반복 횟수는 각각 16, 14, 12로 20 이상을 넘지 않는다. Hansen et al.의 연구는 최적의 영상을 주는 반복 횟수가 수백 회 이상이다^[9]. 이 논문에서 제시하는 휴리스틱(heuristic) 기준은 영상재구성의 계산 시간과 영상 품질의 거래로 실용적인 이득을 볼 수 있다.

사이노그램에 포함된 잡음에 의해 재구성되는 영상의 품질은 반복 횟수에 따라 포화되는 경향을 보인다. 사이노그램에 포함된 잡음이 적을수록 더 높은 품질의 단면 영상을 나타낸다. Fig. 4-(b)를 통해 알 수 있듯이 반복에 따라 영상의 품질은 최적의 영상 품질을 나타낼 때까지 점진적으로 개선된다^[13]. 그러나 두 잡음의 그래프가 서로 교차하는 경우는 나타나지 않는다. 영상재구성 알고리즘을 변경해도 경향은 비슷하게 된다. 따라서 방사선량을 상대적으로 많이 줄이게 되면 영상재구성을 통한 영상의 품질 개선에는 한계가 존재한다.

영상의 품질을 결정하는 근본적인 기준으로 절대치 평균 오차의 차이를 이용하였다. 대부분은 오차의 제곱을 사용한다^[14]. 오차의 제곱을 사용해도 무방하지만 1보다 적은 값을 제곱하면 매우 적은 값이 되고 다소 불편하다. Table 2에서 확인할 수 있듯이 절대치 평균 오차 기반의 영상 품질 𝜖을 사용하면 입사하는 광자의 개수 또는 포함되는 잡음에 무관하게 거의 일정한 반복 횟수로 최적의 영상을 획득할 수 있는 장점이 있다. 그러나 대상(object)의 종류 등에 따라 달라질 가능성이 있다^[15].

Ⅴ. CONCLUSION

대수적재구성기법은 전방투영과 역투영의 반복을 통하여 최적의 단면 영상을 구하는 방법이다. 영상 품질의 기준을 통하여 반복 횟수를 결정하는 방법을 제시하였다. 𝜖 < 0.001의 기준으로 적은 반복 횟수로 양질의 단면 영상을 획득 가능함을 확인하였다. 잡음의 정도와 관계없이 영상 품질 𝜖을 통하여 최적의 반복 횟수를 결정할 수 있다. Shepp-Logan 팬텀과 Geant4 몬테카를로 전산모사를 이용하여 얻은 투영을 이용하였다, 실제 임상 CT에서 획득한 투영에 적용할 수 있는지 추가적인 연구가 필요할 것으로 보인다.