Short-Distance Gate Subtree Algorithm for Capacitated Minimum Spanning Tree Problem

능력한정 최소신장트리 문제의 근거리 게이트 서브트리 알고리즘

Abstract

This paper proposes heuristic greedy algorithm that can be find the solution within polynomial time with solution finding rule for the capacitated minimum spanning tree(CMST) problem, known as NP-hard. The CMST problem can be solved by computer-aided meta-heuristic because of the Esau-Williams heuristic polynomial time algorithm has a poor performance. Nevertheless the meta-heuristic methods has a limit performance that can't find optimal solution. This paper suggests visual by handed solution-finding rule for CMST. The proposed algorithm firstly construct MST, and initial feasible solution of CMST from MST, then optimizes the CMST with the subtree gates more adjacent to root node. As a result of total 30 cases of OR-LIB 10 data, Q=3,5,10, the proposed algorithm gets the best performance.

본 논문은 NP-난제로 알려진 능력한정 최소신장트리 문제(CMST)의 해를 다항시간으로 찾을 수 있는 규칙을 가진 휴리스틱 탐욕 알고리즘을 제안하였다. CMST는 다항시간으로 해를 구하는 방법인 EW 알고리즘의 성능이 좋지 않아 컴퓨터 프로그램의 도움을 받는 메타휴리스틱 기법들을 적용하고 있다. 그러나 메타휴리스틱 기법들도 최적 해를 찾지 못하는 성능의 한계를 보였다. 본 논문에서는 컴퓨터 도움 없이 시각적으로 손으로 CMST의 해를 찾는 규칙을 제시하였다. 제안된 방법은 먼저 MST를 작도하고, MST로부터 초기 CMST의 실현 가능 해를 구하고, CMST의 해를 개선하기 위해 서브트리의 게이트들이 근 노드에 보다 근접하도록 설정하는 최적화 과정을 수행하였다. 제안된 알고리즘을 OR-LIB의 10개 데이터, Q=3,5,10의 30개 경우에 대해 적용한 결과 최상의 성능을 보였다.

Ⅰ. 서론

n+1개 노드로 구성된 통신망에서 근 노드 r을 중심으로 n개 노드를 연결한 스타형 중앙집중형 통신망을 형성할 경우 근 노드에서 방대한 통신량(traffic)을 적시에 처리하지 못하는 병목현상이 발생한다. 이러한 문제점을 해결하기 위해 통신량을 분산하여 효율적으로 처리하기 위해 각 서브트리는 최대 Q개의 노드를 가지는 서브 트리를 갖는 기간망(backbone network)을 형성하며, 근 노드로 부터의 각 서브트리 내 노드들까지의 총 비용(total cost)을 최소로 하는 제약조건을 충족시켜야 한다. 이를 능력 한정 최소신장트리(capacitated minimum spanning tree, CMST) 문제라 한다.^[1]

CMST 문제는 NP-난제(NP-hard)로 알려져 있어 다항시간으로 정확한 해를 구하는 알고리즘이 제안되지 않고 있다.^[2]

CMST의 근사 해를 구하는 휴리스틱 탐욕 알고리즘으로 1966년 Esau와 Williams^[1]는 O(n²logn)복잡도의 EW 알고리즘을 처음 제안되었으며, 2000년 Shinji^[3]는개선된 EW(Improving EW, IEW)를 2004년 Jothi와 Raghavachari^[4]는 수정된 EW(Modified EW, MEW) 를 제안 하였다. 반면에, CMST의 해를 다항시간으로 구하는 알고리즘이 없다는 가정하에 컴퓨터 프로그램의 도움을 받아 해를 구하는 메타휴리스틱 기법들에 대한 많은 연구가 진행되고 있다. 일예로, Amberg et al.^[5]는지능탐색(intelligent search, IS)법을, Zhou et al.^[6]은유전자 알고리즘(genetic algorithm, GA)을, Gavish^[7] 는 증대 라그랑제(augmented Lagrangean, AL)를, Ruiz^[8]는 편향된 랜덤키 유전자 알고리즘을, Uchoa et al.^[9]은 분기절단비용법을, Kritikos와 Ioannou^[10]은 탐욕 휴리스틱 프로그램을, Patterson et al.^[11]은 메모리 적응 추론기법을, Lacerda와 Medeiros^[12]는 간선기반 크로스오버법을, Rego et al.^[13]은 RAMP를, Rolland et al.^[14]은 메모리 적응 추론과 탐욕 배정기법을, Reimann과 Laumanns^[15]는 하이브리드 ACO를, Raidl과 Draxel^[16]은 진화알고리즘을, Sharaiha et al.^[17]은 Tabu 탐색법을 적용하였다.

이와 같이 메타휴리스틱 기법들을 적용함에도 불구하고, OR-LIB^[18]의 벤치마킹 데이터에 적용한 결과를 살펴보면 모든 데이터들에 대해 최적의 해를 구한 휴리스틱 알고리즘이나 메타휴리스틱 기법들이 전혀 없다는 사실이다. 이에 대한 증거는 4장에서 기존 연구 결과를 통해 입증한다.

본 논문에서는 CMST의 근사 해를 구함에 있어 MST 망을 그리고, 이 망에 기반하여 메타휴리스틱 기법과 같이 컴퓨터 프로그램의 도움 없이도 CMST를 손으로 해를 구할 수 있는 휴리스틱 탐욕 알고리즘을 제안한다. 2 장에서는 CMST 문제에 대한 정의와 더불어 탐욕 알고리즘을 널리 알려진 EW 알고리즘^[1]을 고찰하여 CMST 의 해를 구하는 휴리스틱 알고리즘을 이해한다. 3장에서는 손으로 CMST의 근사 해를 구할 수 있는 휴리스틱 탐욕 알고리즘을 제안하고, 4장에서는 OR-LIB^[18]의 벤치마킹 데이터인 tc40-x와 te40-x, (x=1, 2, 3, 4, 5)에 제안된 알고리즘을 적용하여 알고리즘 적합성을 검증하여 본다.

Ⅱ. CMST 문제 정의

Esau와 Williams^[1]는 CMST를 다음과 같이 정의하였다.^[19]

(정의) 간선 (i,j)의 비용 c_ij와 서브트리가 갖는 최대정점 수 Q를 가진 정점 V={0,1,2,…,N}으로 구성된 그래프 G = (V,A)통신망이 존재한다. 여기서 우리는 근 노드 r(‘0’ 정점)을 제외한 임의의 서브트리의 노드들 개수가 Q를 초과하지 않도록 하는 최소신장트리를 찾고자 한다. 여기서 서브트리의 노드들 중 근 노드에 가장 가까운 (최소비용) 노드를 게이트(gate)라 하며, 근 노드에 연결된다.

EW 알고리즘^[1]은 근 노드 r을 제외한 n개의 모든 노드를 게이트로 설정한다. 다음으로, 근 노드로부터 각 게이트 노드까지의 비용(또는 거리)를 g_i로, 두 노드 i,j간거리를 c_ij로 설정하고, n개 게이트들 중 \(\max t\left(a_{i}\right)=g_{i}-c_{i j}\)를 갖는 i 노드를 j노드로 연결하면서 하나의 서브트리가 최대 Q개의 노드를 갖도록 설정하는 방법이다.

표 1의 데이터를 대상으로 EW 알고리즘이 수행되는 과정을 설명하면 그림 1과 같다. 표 1은 근 노드가 ‘0’이며, 나머지 5개의 노드들을 근 노드로 연결하는 통신망을 구성하는 경우이며, 하나의 서브트리는 최대 3개까지 노드를 갖는 제약조건(Q=3)을 충족시키면서 통신망의 비용을 최소로 해야 한다.

표 1. n=5, Q=3예제 데이터

Table 1. Example data with n=5, Q=3

그림 1. EW 알고리즘

Fig. 1. Esau-Williams algorithm

EW 알고리즘은 근 노드(‘0’)를 기준으로 5개 노드를 각각 배치하고, 각 노드를 대상으로 \(t\left(a_{i}\right)=g_{i}-c_{i j}\)를 계산하여 \(\max t\left(a_{i}\right)=g_{i}-c_{i j} \)인 노드에 대해 g_i의 {r,i} 간선을 삭제하고, {i,j} 간선을 연결한다. 첫 번째로, \(\max t\left(a_{i}\right)=g_{i}-c_{i j}\)를 갖는 노드 i=2,j=1이 되어 10{0,2}가 삭제되고 1{2,1} 간선이 연결된다. 다음으로, i=5, j=1로 10{0,5}가 삭제되고 7{5,1} 간선이 연결되어 게이트 ‘1’ 노드의 서브트리는 Q=3을 충족시켰다. 나머지 노드 ‘3’과 ‘4’에 대해 이 과정을 수행한 결과 10{0,3}과 10{0,4}로 연결되어 알고리즘이 종료되어 총비용은 10+1+7+10+10=38이 되는 통신망을 구성하면 Q=3의 최소비용 통신망이 설정된다.

만약 노드 간 비용(또는 거리)가 상이한 경우에는 EW 알고리즘으로 최적 해를 찾는 통신망을 형성하는데 문제가 발생하지 않지만, 동일한 비용을 다수 갖는 망의 경우 EW 알고리즘으로는 최적 해를 구하지 못하는 경우가 발생한다. 따라서 3장에서는 동일한 비용을 다수 갖는 망에 대해 EW 알고리즘에 비해 보다 최적 해를 찾을 수 있으며, 그것도 컴퓨터 프로그램의 도움을 받는 메타휴리스틱 기법이 아닌 시각적으로 손으로 가장 좋은 해를 구할 수 있는 방법을 제안한다.

Ⅲ. 근거리 게이트 서브트리 알고리즘

CMST는 NP-난제로 분류된 문제로, 대부분은 컴퓨터 프로그램의 도움을 받는 메타휴리스틱 기법들을 적용하여 문제를 풀고 있지만 다양한 문제들에 대해 아직까지최적의 결과를 찾은 만능(silver bullet)인 하나의 알고리즘이 존재하지 않고 있다. 본 장에서는 컴퓨터 프로그램 도움 없이도 시각적으로 손으로 해를 찾는 방법임에도 불구하고 메타휴리스틱 기법들에 비해 성능이 가장 우수한 결과를 갖는 휴리스틱 알고리즘을 제안한다. 제안된 방법은 각 서브트리의 게이트들이 가능한 근 노드에 인접하도록 배정하는 방법으로 이 방법을 적용하면 최적해를 찾을 수 있는 가능성이 매우 높다는 경험에 근거하여 알고리즘 규칙을 제안되었으며, 이를 근거리 게이트 서브 트리 알고리즘(short-distance gate subtree algorithm, SDGSA)라 하며, 다음과 같이 데이터 축소 → MST 통신망 형성 → 초기 CMST 서브트리 통신망 형성 → CMST 서브트리 통신망 최적화의 4단계로 수행된다.

Step 1. Data 축소 : n+1×n의 C 행렬에서 열을 기준으로 \(c(r, i) \leq c(i, j)\)와 \(\max c(r, i) / 2 \leq c(i, j)\)인 셀 c(i,j) 들을 삭제한 D₀를 얻는다.

Step 2.MST 통신망 형성 : \(\max c(r, i)\)인 i 노드부터 \(\min c(i, j) \cap(c(r, j)로 c(i,j)를 연결한다. 이 과정을 _minc(i,j)까지 수행하여 MST를 얻는다. MST의 \(\max c(i, j) \geq c(i, j) \in D_{0}\)를 MST에 추가한 D_CMST로 치환하고, D₀에서는 이들 데이터를 모두 삭제한다.

Step 3.초기 CMST 서브트리 통신망 형성 : D_CMST 를 대상으로 _maxc(r,i)인 i 노드부터 Q개를 충족하면서 _minc(r,k)의 서브트리 게이트 k까지 _minc(i,j)를 연결한 CMST를 얻는다. 각 서브트리 노드 들 중 근 노드 r로부터 가장 가까운 노드가 이 서브트리의 게이트 노드가 된다.

Step 4.CMST 서브트리 통신망 최적화 : \(\max c(i, j) \in D_{C M S T}\)와 \(\min c(k, l) \in D_{0}\)를 대상으로 총 비용 C를 감소시키는 서브트리로 _minc(k,l)로 변경한다. \(\min c(k, l) \in D_{0}\)를 삭제한다. 이 과정을 \(D_{0}=\{\varnothing\}\)이 될 때까지 최적화 과정을 수행한다.

제안된 SDGSA를 OR-LIB^[18]의 tc40-1, Q=3에 적용한 결과는 그림 2와 같다. tc40-1의 근 노드는 ‘41’이며 나머지 40개의 노드를 Q=3이 되도록 서브트리를 형성하는 문제이다.

그림 2. 근거리 게이트 서브트리 알고리즘

Fig. 2. SDGS algorithm

(a)는 근 노드 (‘41’)를 기준으로 최대 비용 노드인 ‘14’, ‘34’ 노드부터 최소비용으로 근 노드에 보다 인접한 노드로 연결하여 MST를 형성하고, 이 MST의 최대비용보다 적은 비용 간선을 추가한 결과이다. (b)는 근노드에서 가장 먼 노드부터 근 노드에 가장 가까운 게이트가 설정되도록 최대 개의 노드를 가진 서브트리를 형성한 결과 C=745의 초기 CMST를 얻는다. 여기서 게이트는 5, 25, 19, 33, 7, 2, 20, 30, 10, 32, 49, 26, 37로 서브 트리 개수는 14개로 결정되었다. (c)는 19(30) +30(30)+ 20(22)+32(36)=118 게이트들이 29(22)+21(22)+22(41) +15(22)=107 게이트로 근 노드(‘41’)에 보다 근접하도록 변경된 결과로 C=742의 최종적인 CMST를 얻었다. 결론적으로 tc(center, 근 노드가 중앙에 위치)나 te(edge, 근 노드가 모서리에 위치)에 상관없이 그림 3 과 같이 CMST는 각 서브트리의 게이트들이 근 노드를 중심으로 근방에 위치하도록 하는 가로수(street tree) 형태를 구성하는 법이 EW 알고리즘의 정원수(garden tree) 형태에 비해 최적의 해를 찾을 수 있음을 알 수 있다.

그림 3. 최적의 CMST 트리 형태

Fig. 3. Optimal CMST tree type

Ⅳ. 알고리즘 적용 및 결과 분석

본 장에서는 OR-LIB^[18]의 tc40-1, tc40-2, tc+40-3, tc40-4, tc40-5, te40-1, te40-2, te40-3, te40-4, te40-5 각각에 대해 Q=3, Q=5, Q=10인 경우의 CMST 해를 구하는데 있어 SDGSA를 적용하여 알고리즘의 성능을 평가하여 본다.

SDGSA를 적용하여 시각적으로 손으로 CMST를 구한 결과는 그림 4와 그림 5에 제시되어 있다. 제안된 알고리즘은 EW 알고리즘과 같이 전체 노드의 \(g(i)-c(i, j)\)를 계산하지 않고 초기 설정된 MST에서 최대비용 노드부터 Q개 노드의 서브트리를 형성함에 있어 근 노드에 가장 가까운 게이트를 갖도록 시각적으로 형성하는 단순한 방법이다.

OR-LIB^[18]의 10개 벤치마킹 데이터들에 대해 적용된 알고리즘들의 성능은 표 2에 제시되어 있다. 표로부터 CMST는 다양한 메타휴리스틱 기법들이 제안되었지만 최적의 유일한 방법이 존재하지 않고 있음을 알 수 있다. 그러나 메타휴리스틱 기법들 중 성능 순위를 살펴보면 2002년 제안된 진화알고리즘(EA), 2005년 제안된 유전자 알고리즘(GA), 1999년 제안된 적응추론기법(ART) 순으로 성능이 좋음을 알 수 있다. 이후 2010년의 PD-RAMP나 2017년의 PEW, PEW-PLC는 성능이 좋지 않은 결과를 얻었다. 반면에, 제안된 알고리즘은 시각적으로 보면서 손으로 CMST를 형성하는 방법임에도 불구하고, 휴리스틱이나 메타휴리스틱 방법들에 비해 가장 좋은 탁월한 성능을 보였다.

제안된 알고리즘은 tc40-1, tc40-2, tc40-3, tc40-4, te40-1, te40-2, te40-4의 Q=3,5,10 모두에 대한 최적 해를 찾았으며, 특히 tc40-2 Q=3에 대해 지금까지는 C=717로 알려져 있었으나 어떠한 휴리스틱 알고리즘이나 메타휴리스틱 기법들도 찾지 못한 C=716의 최적 해를 찾은 성능을 보였다.

그림 4. tc40-x에 대한 근거리 게이트 서브트리 알고리즘

Fig. 4. SDGS algorithm for tc40-x

그림 5. te40-x에 대한 근거리 게이트 서브트리 알고리즘

Fig. 5. SDGS algorithm for te40-x

표 2. tc40-x과 te40-x에 대한 알고리즘 성능 비교

Table 2. Compare with Algorithm performance for tc40-x and te40-x

Ⅴ. 결론 및 추후 연구과제

본 논문에서는 정확한 해를 찾을 수 있는 규칙이 존재하지 않아 NP-난제로 분류된 CMST 문제에 대해 수천 회를 컴퓨터 프로그램을 실행시켜 요행이도 최적의 결과를 도출하는 메타휴리스틱 기법 대신 시각적으로 보면서 손으로도 해를 구할 수 있는 휴리스틱 탐욕 알고리즘을 제안하였다. 제안된 알고리즘은 시각적으로 CMST를 형성하기 위해 먼저 MST를 그렸으며, 이 MST에서 근 노드에서 가장 먼 거리에 있는 노드부터 Q 제약조건을 충족하는 게이트가 근 노드에 가장 가깝게 되는 초기 CMST 서브트리들을 형성하였다. 다음으로 게이트를 근노드에 보다 근접하게 위치하도록 서브트리들의 최적화를 수행하였다.

제안된 알고리즘을 OR-LIB^[18]의 10개 데이터 Q= 3, 5, 10의 30개 경우에 대해 적용한 결과 메타휴리스틱기법들 중 최상의 결과를 보인 EA 보다도 좋은 최상의 성능을 보였다.

따라서 본 연구결과는 CMST는 NP-난제가 아닌 다항시간으로 해를 찾아가는 규칙이 존재하는 P-문제가 될 수 있음을 보였다. 다만 본 논문에서 제안된 규칙인 MST → 초기 CMST → CMST 최적화 방법으로는 일부 데이터(30개 중 단지 3개)에서 최적 해를 찾지 못하는 경우 (오차범위=[2,3])가 존재하는 단점을 갖고 있다. 따라서 추후 모든 데이터에서 최적 해를 찾을 수 있는 규칙을 찾아 CMST는 다항시간으로 해를 구할 수 있는 P-문제임을 증명하고자 한다.