Effect of the Acceleration and Deceleration on the Dynamic Characteristics of an Air Stage

에어 스테이지의 동적 특성에 미치는 가속도 및 감속도의 영향

Abstract

Air stages are usually applied to precision engineering in sectors such as the semiconductor industry owing to their excellent performance and extremely low friction. Since the productivity of a semiconductor depends on the acceleration and deceleration performance of the air stage, many attempts have been made to improve the speed of the stage. Even during sudden start or stop sequences, the stage should maintain an air film to avoid direct contact between pad and the rail. The purpose of this study is to quantitatively predict the dynamic behavior of the air stage when acceleration and deceleration occur. The air stage is composed of two parts; the stage and the guide-way. The stage transports objects to the guideway, which is supported by an externally pressurized gas bearing. In this study, we use COMSOL Multiphysics to calculate the pressure of the air film between the stage and the guide-way and solve the two-degree-of-freedom equations of motion of the stage. Based on the specified velocity conditions such as the acceleration time and the maximum velocity of stage, we calculate the eccentricity and tilting angle of the stage. The result shows that the stiffness and damping of the gas bearing have non-linear characteristics. Hence, we should consider the operating conditions in the design process of an air stage system because the dynamic behavior of the stage becomes unstable depending on the maximum velocity and the acceleration time.

Nomenclature

A : Area of supply hole (m²) (급기공 면적)

A_n : nth Area of bearing plane (m²) (윤활면 면적)

A_S : Area of the supply hole (m²) (급기공 면적)

a : Acceleration of stage (m/s²) (가속도)

c : Clearance (m) (틈새)

C_d : Discharge constant (방출계수)

e : Eccentricity of stage (m) (편심량)

F : Bearing reaction force (N) (반력)

H : Dimensionless height (무차원 틈새 함수)

I : Mass moment of Inertia (kg · m²)(질량 관성모멘트)

M : Bearing reaction moment (N · m) (모멘트)

P : Dimensionless pressure (N · m²) (압력)

p_^s : Supply pressure (N · m²) (공급압)

p_n : Pressure of nth plane (N · m²) (윤활면 압력)

q_sij : Supplied flow rate (kg · m³) (공급유량)

Q_sij : Dimensionless supplied flow rate(무차원 공급 유랑)

R : Gas constant (J / kg · m³) (기체상수)

T : Temperature (K) (온도)

V : Velocity of stage (m/s) (스테이지 속도)

κ : Specific hear ratio of air (비열비)

Λ_Y: Dimensionless bearing number (\(\left(\Lambda_{\gamma}=\frac{6 \mu V}{p_{\mathrm{a}}}\left(\frac{L}{C^{2}}\right)\right)\) )(무차원 베어링 수)

φ : Tilting of stage (deg) (틸팅각)

Subscript

i, j : Node following to x and y coordinates

s : Air supply

x, y, z: Coordinates

1. 서론

최근 높은 수명과 정밀도를 가진 기계부품에 대한 수요가 증가하면서 공기 베어링 스테이지에 대한 연구가 활발히 이루어지고 있다. 공기베어링이 적용된 스테이지는 스테이지와 가이드 사이에 마모가 발생하지 않기 때문에 수명이 길고 에너지 손실이 적으며, 평균화 효과를 이용하여 이송정밀도를 높여준다는 장점이 있다. 이러한 장점으로 인해 공기 베어링 스테이지는 높은 정밀도를 필요로 하는 반도체 가공 등 여러 분야에 사용되고 있다. 공기 베어링 스테이지는 이송과정에서 이송 부품의 하중, 가속 및 감속과정에서 발생하는 관성력, 윤활면의 동압 및 정압효과 등 다양한 외력이 작용하게 된다. 이러한 외력들은 스테이지와 가이드 사이의 접촉을 유발하여 에너지 손실 및 정밀도에 영향을 주게 되며, 결국 스테이지의 성능과 수명을 저하시키게 되기 때문에, 스테이지와 가이드 사이의 접촉이 발생하지 않도록 윤활 성능을 향상시켜야 이러한 문제점을 해결할 수 있다. 하지만 공기막의 두께를 너무 크게 키우게 되면 스테이지의 진폭이 커지게 되고 이송정밀도가 오히려 저하되는 단점이 발생할 수 있다. 따라서, 적절한 틈새 범위에서 스테이지의 이송이 이루어지고 이송정밀도를 유지하기 위한 정밀한 윤활면의 설계가 필요하다.

공기 베어링 스테이지의 이송정밀도에 관한 많은 선행 연구가 이루어져 왔다. Khim[1] 등은 다공질 공기베어링의 강성, 감쇠를 상수로 가정하고 가이드의 공차를 고려하여 스테이지의 이송정밀도를 계산하고 실험으로 증명하였다. Oh[2] 등은 가이드의 공차가 이송정밀도에 미치는 영향을 확인할 수 있는 시뮬레이션 기술을 개발하고, 진행방향의 오차인 위치결정 오차, 나머지 진행 경로에 대한 오차인 운동 오차와 가공 공차 간의 관계를 연구하였다. Tian[3] 등은 LM가이드 스테이지의 3자유도 시스템을 모델링하고 공기베어링에 의해 발생하는 진동이 스테이지의 위치 오차에 미치는 영향을 확인한 바 있다. Ro[4] 등은 3자유도의 유정압 테이블을 모델링하고 테이블의 동적 거동을 해석하고 실험과 비교하였고, Fei[5] 등은 공기 베어링 스테이지에 적용되는 정압베어링의 평균화 효과에 대해 연구한 바 있다. Song[6] 등은 외부 가압 정압 저널 베어링의 형상 오차가 베어링의 성능에 미치는 영향을 비선형 해석을 통해 확인하였으며, Baek[7] 등은 에어 스테이지를 이용하여 마찰 계수 측정 장치를 개발한 바 있다.

하지만 베어링의 강성, 감쇠는 스테이지와 가이드 사이의 틈새와 상대속도에 따라 비선형으로 바뀌게 되며, 가속 및 감속에 따라 스테이지가 관성에 의해 병진 운동 및 회전 운동을 하게 되지만, 이에 대한 연구가 진행된 문헌은 찾아보기가 매우 어렵다.

따라서 본 연구에서는 공기 베어링 스테이지의 거동 중에 가속과 감속에 따른 영향을 정밀하게 계산하기 위해 베어링 반력을 매 시간 새롭게 계산하는 비선형 해석방법을 개발하고, 윤활면의 지배방정식인 레이놀즈 방정식과 이송 방향을 제외한 2자유도 운동방정식을 연동하여 스테이지의 거동을 가속 시간과 크기, 리니어 모터의 위치에 따라 계산하고, 각 요소들이 이송정밀도에 미치는 영향을 확인하고자 한다.

2. 공기 베어링 스테이지의 지배방정식

2-1. 공기 베어링 스테이지의 구조

공기 베어링 스테이지는 Fig. 1과 같이 가이드 공기막에 의해 떠있는 스테이지로 구성되어 있다. 스테이지는 가이드를 따라서 X축 방향으로 부품을 이송한다. 이송 과정에서 스테이지는 Y, Z축 방향으로의 편심과 X, Y,Z축 방향의 틸팅 운동이 틈새만큼 발생할 수 있다. 이러한 편심과 틸팅은 스테이지의 운동 오차로 정의된다.

Fig. 2에는 본 연구에서 연구대상으로 삼은 스테이지의 3D모형과 유로를 나타낸 개략도를 나타내었다. 외부에서 가압된 공기가 유로를 통해서 스테이지와 가이드 사이의 틈새로 공급된다. 스테이지는 틈새에 공급된 얇은 공기막에 의해 지지되며 이송한다.

Fig. 1. Air bearing stage on guide way

Fig. 2. Schematic drawing of air bearing stage.

2-2. 스테이지 윤활면 지배 방정식

본 연구에서 적용된 공기베어링 스테이지는 자성형 급기공이 적용되었으며, 자성형 급기공이 적용된 공기베어링 스테이지의 무차원 윤활 방정식은 다음과 같다[8].

\(\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial X}\left\{P H^{3} \frac{\partial P}{\partial X}\right\}+\frac{\partial}{\partial Y}\left\{P H^{3} \frac{\partial P}{\partial Y}\right\}+Q_{s y} \\ \quad=\Lambda_{\Gamma} \frac{\partial(P H)}{\partial Y}+\sigma \frac{\partial(P H)}{\partial \tau} \end{array}\)       (1)

이때, Q_sij, Λ_Y, σ 는 다음과 같이 정의된다

\(Q_{s y}=\frac{12 \mu L^{2} R T q_{s y}}{A_{s} p_{a}^{2} c^{3}}, \Lambda_{\gamma}=\frac{6 \mu V}{p_{a}}\left(\frac{L}{c^{2}}\right), \sigma=\frac{12 \mu L}{p_{d} V}\left(\frac{L}{c}\right)^{2}\)       (2)

자성형 급기공을 통해 윤활 면으로 유입되는 유량은 급기공 노드에만 적용이 되고 다른 위치에서는 0으로 계산된다. 급기공의 유량은 등엔트로피 가정을 통해 다음과 같이 계산된다[9,10].

\(\begin{array}{c} q_{S \bar{y}}=C_{d} \cdot A \cdot\left(\frac{p_{s}}{\sqrt{R \cdot T}}\right) \cdot\left(\frac{2 \kappa}{\kappa+1}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot\left(\frac{2}{\kappa+1}\right)^{\frac{2}{x-1}} \frac{p i}{p a} \leq\left(\frac{2}{\kappa+1}\right)^{\frac{x}{x-1}} \\ q_{S \bar{y}}=C_{d} \cdot A \cdot\left(\frac{p_{s}}{\sqrt{R \cdot T}}\right) \cdot\left(\frac{2 \kappa}{\kappa-1}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot\left(\left(\frac{p_{i}}{p_{s}}\right)^{\frac{2}{x}}-\left(\frac{p_{i}}{p_{s}}\right)^{\frac{x+1}{x}}\right)^{\frac{1}{2}} \\ \frac{p_{i}}{p_{s}}>\left(\frac{2}{\kappa+1}\right)^{\frac{\kappa}{x-1}} \end{array}\)       (3)

위의 식(1)과 식 (3)을 연동하여 스테이지와 가이드 사이의 유막의 압력을 계산할 수 있다. 

이때, 구해진 압력을 적분하여 스테이지를 지지하는 베어링 반력과 모멘트가 계산되고, 베어링 반력과 모멘트는 운동방정식에 적용된다. 베어링 반력과 모멘트는 다음과 같이 계산된다.

\(\begin{array}{l} F_{z}=\iint p d A_{1} \\ M_{y}=-\int p \cdot x d A_{1} \end{array}\)       (4)

2-3. 공기 베어링 스테이지 틈새 함수

Fig. 3은 본 연구에서 모델링된 스테이지와 윤활면을 나타낸다. 유막의 압력은 스테이지와 가이드 사이의 틈새와 상대속도에 따라 결정된다. 따라서 틈새 함수는 스테이지의 이송정밀도에 매우 큰 영향을 미치게 된다. 틈새 함수는 스테이지의 거동에 대한 함수이고 Fig. 3에서 표시된 틈새 함수는 식 (5)과 같다.

\(\begin{array}{l} h_{1}=C+e_{z}+y \cdot \tan \phi_{x}-\left(x \cdot \tan \phi_{y}\right) \\ h_{2}=C+e_{z}-z \cdot \tan \phi_{x}+x \cdot \tan \phi_{z} \\ h_{3}=C-e_{z}+z \cdot \tan \phi_{x}+x \cdot \tan \phi_{z} \end{array}\)       (5)

스테이지와 가이드 사이의 틈새 함수는 기준 틈새 C를 기준으로 계산된다. 본 연구에서는 기준 틈새를 10 μm로 설정하였다.

Fig. 3. Lubrication area on stage.

2-4. 스테이지 운동 방정식

스테이지 공기베어링은 자중과 외력 모멘트 뿐만 아니라, 감속 과정에서 발생하는 추가 외력과 추가 모멘트를 받게 된다. 공기베어링의 반력 및 가-감속 과정에서 발생하는 외력과 모멘트를 고려하여 수직 방향의 편심과 수평 방향 틸팅의 2자유도의 운동 방정식이 유도되었다.

\(\begin{array}{l} m \cdot e_{z}^{\prime \prime}=F_{z}+F_{e x t_{i}} \\ I_{y y} \phi_{y}^{\prime \prime}=M_{y}-M \cdot a_{x} \cdot z+M_{e x l}, \end{array}\)       (6)

2-5. 공기 베어링 스테이지 모델링 및 경계조건

본 연구에서는 윤활 해석을 위해 유한요소 해석 기반 상용 해석 프로그램인 COMSOL Multiphysics를 이용하여 해석을 진행하였다. 스테이지의 모델링은 스테이지 전체 모델이 아닌 해석에 필요한 급기공, 유로 등을 간략화하여 모델링을 진행하였다. 모델링을 진행 후, 다물체동역학을 활용하여 운동방정식을 풀기 위해 필요한 스테이지의 질량, 관성 모멘트, 무게중심을 계산하였다. Fig.4에서 스테이지의 경계조건으로 설정된 영역을 확인할 수있다. 스테이지의 윤활면, 급기공과 모서리 부분에 경계조건이 적용되어 있다. 스테이지의 윤활 면은 정압베어링의 원리가 적용되어 있으며 윤활 계산 영역은 2차원면으로 제한되어 있기 때문에 해석 시간을 줄일 수 있다.

급기공 부분의 경계 조건은 식 (3)에 해당하는 등엔트로피 가정을 통해 계산된 유량을 적용하였다. 또한 모서리부분의 경계 조건은 대기압으로 설정하여 해석을 진행하였다.

Fig. 4. Boundary conditions.

3. 해석 결과

3-1. 공기 베어링 스테이지 속도 프로파일

스테이지의 속도에 따라 윤활면의 압력 분포가 변하기 때문에 스테이지에 Fig. 5와 같은 가속, 등속, 감속 구간을 가지는 속도 프로파일을 윤활면의 상대속도에 적용하였다. 본 연구에서는 최대 도달 속도(V)와 최대 속도 도달 시간(∆t)에 따른 가속 크기에 대한 영향을 확인하였다.

Fig. 5. Velocity of stage.

다음 Fig. 6은 최대 도달 속도(V)에 따른 속도 프로파일이다. 0.5[sec] 동안 가속한 후 0.5[sec] 동안 등속 운동을 하고, 0.5[sec] 동안 감속하는 속도 프로파일이다. 가속도의 크기를 1 g~10 g로 조절해 최대 도달 속도(V)를바꾸어 가며 해석을 진행하였다. 다음 Fig. 7은 최대 속도 도달 시간(∆t)에 따른 속도 프로파일이다. ∆t 동안 가속 한 후, 0.5[sec] 동안 등속 운동을 하고, ∆t 동안 감속하는 속도 프로파일이다. 가속도의 크기를 1g~5g로 조절하여 최대 속도 도달 시간(∆t)를 바꾸어 가며 해석을 진행하였다. 본 연구에서는 편심률은 주로 무게 및 정적 하중에 의해서 지배되므로, 가속도가 영향을 미치는 두 축의 틸팅에 대해서 해석을 진행하였다.

Fig. 6. Velocity of Stage following maximum velocity.

Fig. 7. Velocity of Stage following acceleration time.

3-2. 최대 도달 속도(V)에 따른 해석결과

Fig. 8부터 Fig. 12까지는 Fig. 6의 속도 선도에 따른 응답의 결과로, 최대 도달 속도(V)의 영향을 살펴보았다.

Fig. 8, 9에는 최대 도달 속도(V)에 따른 스테이지의 편심량과 틸팅각의 변화를 나타내었다. 편심과 틸팅각은 가속 기간중 관성으로 인하여 최대가 되며, 등속구간에서 안정화 하는 것을 확인할 수 있다. 이는 전형적인 가속-등속-감속 구간의 운동의 형태를 나타내는 것으로 본 연구에서는 이에 대한 정량적 계산을 성공적으로 수행하였다. Fig. 10은 등속구간에서의 틸팅각을 가속도 크기에 따라 살펴본 그래프이다. 가속도가 증가할수록 틸팅각의 크기가 증가하나 그 크기의 변화가 점차 줄어 드는것을 볼 수 있다. 따라서 안정적인 거동을 위해서는 가속도의 크기를 모터의 능력에 맞게 제한할 필요가 있다고 판단된다.

Fig. 8. Eccentricity of stage following maximum velocity.

Fig. 9. Tilting of stage following maximum velocity

Fig. 10. Maximum tilting following the Acceleration.

Fig. 11에서 편심과 틸팅각에 따른 스테이지의 최소 틈새를 확인할 수 있다. 최소틈새는 가속도에 따라 가속구간과 감속구간에서 작아지는 것을 확인할 수 있다. 이는 관성력이 증가하여 편심량과 틸팅각이 가속-감속시에 가장 크게 나타나기 때문인 것으로 해석될 수 있다. Fig.12는 각 최대 도달 속도에 따른 가속도별 최소 틈새를 나타내었다. 최소 틈새의 크기가 가속도가 커질수록 점점 줄어들며 수렴하는 것을 확인할 수 있다. 이는 스테이지윤활면의 강성과 감쇠가 편심량과 틸팅각에 따라 변하는 비선형의 특성을 지니기 때문이다.

Fig. 11. Minimum film thickness.

Fig. 12. Minimum film thickness following the Acceleration.

3-3. 최대 속도에 도달하는 시간에 따른 해석결과

Fig. 13부터 Fig. 17은 Fig. 7을 입력으로 하여 최대 속도의 크기는 같지만, 가속도의 크기가 달라서 최대 속도 도달 시간이 다른 경우에 대한 영향을 살펴본 결과이다.

Fig. 13, 14는 가속도를 1 g부터 5 g까지 바꾸어 가면서 가속도 크기에 따른 스테이지의 편심량과 틸팅각의 변화를 나타낸 그래프이다. 가속도가 클수록 편심량과 틸팅각이 큰 것을 확인할 수 있다. 스테이지가 가속할 때 스테이지의 앞부분이 들려지게 되는데 촤대 속도에 도달하는 시간이 짧을수록 더 큰 관성력을 받아 스테이지의 앞쪽이 더 크게 들리기 때문이다.

Fig. 13. Eccentricity of stage following acceleration time.

Fig. 14. Tilting of stage following acceleration time.

Fig. 15는 스테이지의 틸팅각을 가속도에 따라 나타낸그래프이다. 스테이지의 가속시간 Δt가 짧을수록, 즉 가속도가 클수록 스테이지의 틸팅각이 점점 커지는 것을 알 수 있다. 이 또한 스테이지의 같은 속도 대비 가속도가 클수록 불안정한 것을 확인할 수 있다.

Fig. 15. Maximum tilting following the Acceleration.

Fig. 16은 가속도의 크기에 따른 스테이지의 최소 틈새를 확인할 수 있다. 최소틈새는 출발점 근처에서 가장 작은 값을 나타내는데, 가속도의 크기가 클수록 그 크기가 더욱 줄어드는 것을 확인할 수 있다. 이는 가속도 증가에 따라 관성력이 증가하여 틸팅각이 커지고, 이는 결과적으로 최소틈새가 감소하는 원인이 되는 것으로 해석될 수 있다.

Fig. 16. Minimum film thickness.

Fig. 17은 각 최대 속도 도달 시간에 따른 가속도별 최소 틈새를 나타내었다. 최소 틈새의 크기가 가속도가 커질수록 관성력이 증가하고 이로 인해 틸팅각이 커짐에따라 최소 틈새가 감소하는 것을 확인할 수 있다. 

스테이지는 가속 구간에서 Z축 방향으로 상승하고 등속 구간에서 일정한 높이를 유지하고, 감속 구간에서 하강하게 된다. 이는 스테이지가 가속구간에서 관성력으로 인해 –Y축 회전 방향으로 기울어지게 되면서 동압 효과가 발생하게 되고 감속 구간에서 기울어진 각도가 감소하면서 동압 효과가 줄어들기 때문이다. 스테이지가 거동하면서 윤활 면의 압력으로 인해 편심량과 틸팅각이발생하여 기울어진 상태로 거동하는 것을 확인할 수 있다. 따라서 이를 고려한 설계가 이루어져야 한다.

Fig. 17. Minimum film thickness following the Acceleration

4. 결론

본 연구에서는 정밀이송계에 적용되는 공기 베어링 스테이지의 거동을 최대 도달 속도와 도달 시간에 따라 확인하였다. 본 연구를 통하여 다음과 같은 결론을 도출하였다.

본 연구에서 개발된 해석 방식을 이용하여 이송 시스템의 윤활면을 해석하고 가감속 속도 프로파일 따른 이송 시스템의 안정성을 평가할 수 있다.

스테이지의 가속도 크기가 클수록 틸팅각과 편심이 커지지만 점점 수렴하는 것을 확인할 수 있다. 이로 인해 가스베어링의 강성과 감쇠가 비선형적으로 증가하는 특성을 확인할 수 있다.

스테이지의 가속 시간이 짧을수록 틸팅각과 편심이 크다. 스테이지의 관성력과 동압효과로 인해 스테이지는 기울어진 상태에서 거동하게 된다. 스테이지가 정지하면 급기 유량에 의해서만 지지되며 기울어지지 않는다.