Comparison of Rolling Element Loads and Stress-based Fatigue Life Predictions for Ball Bearings

볼 베어링의 전동체 기반 및 응력 기반 접촉 피로수명의 비교

Abstract

In In this study, we compared the results of a ball bearing life prediction model based on rolling element loads with the results of fatigue life prediction of ball bearings when a stress-based contact fatigue life prediction technique is applied to the ball bearing. We calculate the load acting on each rolling element by the external load of the bearing and apply the result to the Lundberg-Palmgren (LP) theory to calculate ball bearing life based on the rolling element. We also calculate stress-based ball bearing life through contact and fatigue analyses based on contact modeling of the ball and raceway while considering the fatigue test results of AISI 52100 steel. In stress-based life prediction, we use three high-cycle fatigue-determination equations that can predict the fatigue life when multi-axis proportional loads such as rolling-slide contact conditions are applied. These equations are derived from the stress invariant and critical plane methods and the mesoscopic approach. Life expectancy results are compared with those of the LP model. Results of the analysis indicated that the fatigue life was predicted to be lower in the order of the Crossland, Dang Van, and Matake models. Of the three, the Dang Van fatigue model was found to be the closest to the LP life.

1. 서론

구름 베어링의 기능은 기계 시스템에서 회전축을 지지하면서 원활한 회전을 할 수 있도록 정해진 기간 동안 지속성을 가져야 한다. 구름 베어링의 파손 원인은 재료 및 가공 불량, 재료의 부식 등을 들 수 있으나, 베어링의 회전으로 인한 전동체 요소와 궤도륜에 반복적인 하중에 의한 재료의 피로파괴가 가장 중요한 요인이라 할 수 있으므로 이를 구름 베어링 수명이라 할 수 있다. 일반적으로 베어링에서 발생하는 피로 현상으로는 플레이킹(Flaking), 스폴링(Spalling) 등이 있으며, 베어링의 수명은 베어링의 내륜, 외륜 또는 전동체에서 이러한 피로현상이 최초로 발생할 때까지의 회전수 또는 운전시간으로 표시한다. 구름 베어링에 대한 수명 이론은 크게 실험적 데이터에 근거한 외력 기반모델[1], 구름 베어링의 시스템 해석을 통한 각각의 전동체 하중과 실험과 통계적인 접근방법으로 구한 각종 지수들을 이용한 전동체 하중 기반 모델[2-4], 전동체와 궤도륜의 접촉응력을 계산하고 재료의 피로실험결과 및 고주기 피로이론을 적용한 응력 기반모델[5-9]로 구분할 수 있다. 전동체 하중기반의 기법은 전통적인 L-P 이론을 기반으로 하고 있다. 즉, 베어링의 파손원인이 접촉 표면 아래에서 구름방향과 평행한 최대전단응력으로 인하여 피로 균열이 발생하고 이의 진전에 의하여 접촉면에 스폴링 혹은 피팅이 발생한다는 최대 전단 응력설을 전제로 수많은 베어링 피로수명 실험결과와 통계적 기법을 통하여 베어링의 수명식을 정의한 것이다. L-P수명식을 보완하기 위하여 주로 수명계수에 관한 연구, 구름 베어링 시스템 측면에서 원심력과 자이로스코픽 모멘트를 고려한 연구들이 그동안 이루어져왔다. 구름 베어링의 접촉 피로문제는 표면 아래의 응력상태가 다축비비례 하중이 작용하는 경우이므로 이에 적용가능한 피로 이론들이 필요하다. 대표적으로 피로 수명에 관계되는 응력 불변량(stress invariant)을 사용하여 판정하는 방법[10]과 균열이 시작되는 임계면을 정의하여 그 면에 대한 응력과 변형률 정보를 이용하여 피로를 판정하는 임계평면 이론[11], 그리고 마지막으로 최근에 많이 연구되고 있으며 금속의 결정(grain) 크기의 영역에 해당하는 mesoscopic 접근법[12] 등이 있다. Kim과 Cho[6]는 볼베어링의 반경방향의 변화에 대해 응력기반 볼베어링 수명예측 모델들을 전동체 기반 모델과 비교하여 mesoscopic 접근법이 가장 근접함을 보인 바 있다.

본 연구에서는 선행연구[6]를 기반으로 축하중 변화에 대해 전동체 기반의 볼 베어링 수명예측 모델의 결과와 응력기반 접촉 피로수명 예측 기법을 볼 베어링에 적용한 볼 베어링의 피로수명을 예측 결과를 비교하고자 하였다. 이를 위해 베어링의 외부하중에 의해 각각의 전동체에 작용하는 하중을 계산하여 L-P이론에 적용하여 전동체 기반의 볼 베어링 수명을 계산하였고 볼과 궤도륜의 접촉 모델링 및 AISI 52100강의 피로 실험 결과를 바탕으로 접촉해석 및 피로해석을 통해 응력기반의 볼베어링 수명을 계산하였다. 적용한 피로 모델은 구름-미끄럼 접촉 상황과 같은 다축 비비례 하중이 작용할 때의 피로수명을 예측할 수 있는 세 가지 고주기 피로 판정식, 즉, 응력 불변량법, 임계 평면법, 그리고 Mesoscopic 접근법을 적용하였고 피로 수명 예측 결과를 L-P 모델과 비교해 보았다.

2. 연구방법 및 내용

2-1 전동체 하중 기반 피로 수명 해석

Fig. 1은 볼 베어링의 기준 좌표계와 볼 베어링에 작용하는 하중과 변위 성분들을 표시한 것으로 베어링 내륜의 기하학적 중심에 좌표계의 중심을 위치시켜 축방향(x-axis)과 반경방향(y-, z-axis) 기준 좌표를 표시하였다. 베어링에 가해지는 5개의 외력 성분과 고정 외륜에 대한 내륜의 5개 상대 변위는 각각 다음과 같다.

\(F=\left\{F_{\mathrm{x}}, F_{y}, F_{z}, M_{y}, M_{z}\right\}^{\mathrm{T}}\)       (1)

\(\delta=\left\{\delta_{x}, \delta_{y}, \delta_{z}, \theta_{y}, \theta_{z}\right\}^{\top}\)      (2)

Fig. 1. Loads and displacement of a ball bearing[6].

각각의 전동체는 케이지에 의하여 원주방향으로 등 간격으로 위치하게 되며, 각 전동체의 각 위치는 다음 식과 같다.

\(\beta_{j}=\frac{2 \pi}{z}(j-1)\)      (3)

Fig. 2에서 보는 바와 같이, 변형 후 내외륜 궤도 곡률 중심간의 거리(sj)는 다음과 같이 표현될 수 있다.

\(s_{j}=B d_{B}+\delta_{ij}+\delta_{o j}=\sqrt{A_{1 j}^{2}+A_{2 j}^{2}}\)      (4)

Fig. 2. Contact geometry of ball-raceway under static loads[6].

여기서, \(B d_{n}=\left(f+f_{i}-d\right) d_{n}\)는 변형전의 궤도 곡률 중심간의 거리이며, d_ij 및 d_oj는 j번째 볼과 내륜 궤도 및 볼과 외륜 궤도 사이의 변형량이다. 볼과 내외륜 사이의 전체 변형량 d_nj과 볼과 궤도륜의 접촉각은 다음과 같다.

\(\delta_{i}=\delta_{ii}+\delta_{oi}=s_{1}-B d_{B}=\sqrt{A_{1i}^{2}+A}\)       (5)

\(\alpha_{j}=\tan ^{-1}\left(\frac{A_{1 j}}{A_{2 j}}\right)\)       (6)

전동체 하중 Q_j 는 Hertz 식으로부터 다음과 같은 관계를 갖는다.

\(Q_{j}=K_{n} \delta_{n}^{3 / 2}\)       (7)

여기서, K_n은 볼과 내륜, 볼과 외륜 접촉 변형상수의 조화평균으로 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.

\(K_{\mathrm{n}}=\left[\left(1 / K_{\mathrm{i}}\right)^{2 / 3}+\left(1 / K_{o}\right)^{2 / 3}\right]^{-3 / 2}\)       (8)

베어링에 가해지는 외력과 각 전동체 하중과의 힘 모멘트 평형식은 다음과 같이 유도될 수 있다.

\(F_{x}-\sum_{j=1}^{z} Q_{ij} \sin \alpha_{ij}=0\)       (9)

\(F_{y}-\sum_{j=1}^{2} Q_{ij} \cos \alpha_{ij} \sin \beta_{j}=0\)       (10)

\(F_{z}-\sum_{j=1}^{z} Q_{ij} \cos \alpha_{ij} \cos \beta_{j}=0\)       (11)

\(M_{y}-R \sum_{j=1}^{z} Q_{ij} \sin \alpha_{ij} \cos \beta_{j}=0\)      (12)

\(M_{z}-R \sum Q_{ij} \sin \alpha_{i j} \sin \beta_{j}=0\)       (13)

이상의 방정식을 통해 전동체 하중(Q), 접촉각(a)의 분포를 계산할 수 있다[6].

Lundberg와 Palmgren의 베어링 실험 결과[1]로부터 ISO 281[3]에서 규정한 기본 정격 수명식은 다음과 같다.

\(L(\text { millionvev. })=\left(\frac{Q_{c}}{Q}\right)^{3}\)       (14)

여기서, Q_c는 106 회전수명을 보장하는 90%의 생존확률을 갖는 기본 동적 부하 용량(Basic dynamic load rating)으로 베어링의 기하학적 형상을 이용한 접촉응력을 단순화하여 다음과 같이 유도할 수 있다.

\(Q_{c \xi}=98.1\left(\frac{2 f_{\xi}}{2 f_{\xi}-1}\right)^{0 . 41} \frac{(1 \mp \gamma)^{1.39}}{(1 \mp \gamma)^{1 / 3}}\left(\frac{\gamma}{\cos \alpha}\right)^{0.3} d_{B}^{1.}-1 / 3\)       (15)

여기서, \(\gamma=d_{B} \cos \alpha_{0} / d_{m}\)이며, 위쪽 부호는 내륜, 아래쪽 부호는 외륜의 경우에 대한 계산 부호이다. 또한, ξ는 i 또는 o를 나타내는 것으로 각각 볼-내륜과 볼-외륜 접촉에 대한 것이다.

베어링에서는 여러 개의 볼이 조합되어 있어 각 볼마다 전동체에 작용하는 하중이 달라질 수 있으므로 수명을 계산할 때 각각의 전동체 하중으로부터 등가 하중을 계산해야 한다. 내륜 회전인 경우, 회전륜인 내륜과 비회전륜인 외륜에 대한 등가하중(dynamic equivalentload)은 다음과 같이 각각 계산된다.[3]

\(Q_{\mathrm{ei}}=\left(\frac{1}{2} \sum_{q=1}^{2} Q_{\mathrm{iq}}^{3}\right)^{1 / 3}\)       (16)

\(Q_{eo}=\left(\frac{1}{z} \sum_{q=1}^{z} Q_{o q}^{10 / 3}\right)^{3 / 10}\)      (17)

식 (15)-(17)에서 구한 기본 동적 부하용량 및 동등가 하중으로부터 베어링의 내륜 및 외륜의 수명과 볼 베어링 전체수명은 확률의 곱셈 법칙에 의하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\(L_{i}=\left(Q_{ci} / Q_{ei}\right)^{3}\)       (18)

\(L_{o}=\left(Q_{\mathrm{co}} / Q_{\mathrm{eo} }\right)^{3}\)       (19)

\(L_{10}=\left(L_{i}^{-10.9}+L_{o}^{-10/9}\right)^{-9 / 10}\)       (20)

여기서, L_i, L_o는 각각 볼-내륜 및 볼-외륜 접촉에 의한 피로수명을 의미하고, L₁₀은 90% 신뢰도를 갖는 베어링 시스템의 피로수명이다.

2-2. 응력기반 피로 수명 해석

응력기반의 피로수명 해석을 위해서는 볼과 궤도륜의 접촉응력해석 및 피로이론을 적용한 피로해석의 과정이 필요하다.

볼과 궤도륜의 접촉 문제는 기하학적인 분석을 통하여 하나의 상당 표면(equivalent surface)과 강체 평판의 접촉으로 모델링하여 이를 통해 접촉면의 압력분포를 구할 수 있다. 접촉응력해석은 Love[13] 식과 Cho[14] 식을 적용하여 수치적인 반복 연산을 통해 압력과 접촉영역을 계산하였다[15].

본 연구에서 적용한 고주기 피로이론은 임계평면법, 응력불변량법, 메조스코픽법이다. 임계평면법은 균열이 시작되는 임계면을 정의하여 그 면에 대한 응력과 변형률 정보를 이용하여 피로를 판정하는 방법으로 Matake 조건[10]이 대표적이다. 임계평면에 작용하는 전단 응력의 진폭 C_a와 최대 수직응력 N_max의 선형 조합으로 다음과 같이 구성된다.

\(C_{\mathrm{a}}\left(\phi^{*}, \theta^{*}\right)+k N_{\max }\left(\phi^{*}, \theta^{*}\right) \leq \lambda\)       (21)

여기서,\(\left(\phi^{*}, \theta^{*}\right)\)는 전단 응력의 진폭이 최대가 되는 면임계 평면의 각도를 나타내며 \(k\)와 \(\lambda\)의 값은 다음과 같다.

\(\kappa=\left(\frac{2 t_{-1}}{f_{-1}}\right)^{-1}, \lambda=t_{1}\)

t₋₁은 비틀림 피로한도, f₋₁은 굽힘 피로한도이다. 응력 불변량법은 정수압 응력과 편차응력의 이차 불변량을 사용하여 표현된다. 본 연구에서는 \(\sqrt{J_{2}}\)의 진폭과 정수압응력 \(\sigma_{H}\)의 최대값을 이용한 Crossland[11]가 제안한 피로조건식을 사용하였다.

\(\sqrt{J_{2, \mathrm{a}}}+\kappa \sigma_{H, \mathrm{max}} \leq \lambda\)      (22)

여기서, \(k\)와 \(\lambda\)는 다음과 같다.

\(\sqrt{J_{2, \mathrm{a}}}+\kappa \sigma_{H, \mathrm{max}} \leq \lambda\)       (23)

메조소코픽(Mesoscopic)법은 금속의 피로 거동을 금속의 결정 크기의 영역에서 분석한 것으로 본 연구에서는 Dang Van[12]이 제시한 다음 식을 적용하였다.

\(\max \left[\tau^{\prime}(t)+\kappa \sigma_{H}^{\prime}(t)\right]<\lambda\)       (24)

여기서, \(\tau'(t)\)와 \(\sigma'_H(t)\)는 각각 meso 영역의 Tresca전단응력과 정수압 응력을 나타내며, \(k\)와 \(\lambda\)는 다음과 같이 표현된다.

\(\kappa=\frac{t_{-1}-f_{-1} / 2}{f_{-1} / 3}, \lambda=t_{-1}\)      (25)

3. 해석 조건

본 연구의 해석대상으로 삼은 볼 베어링의 주요치수와 물성치는 Table 1에 제시한 바와 같다. 볼 베어링의 재료는 가장 널리 사용되는 재료인 고탄소 크롬 베어링강(AISI 52100)이며 피론 한도는 10⁸ 사이클에 해당되는 값으로 선행연구[6]의 결과를 이용하였다. 선행연구에서는 축방향 하중(axial load, Fa)이 일정할 때 반경방향의 하중(radial load, Fr)을 증가시킬 경우에 대해 해석하였으며 본 연구에서는 반경방향 하중을 1kN으로 일정하게 고정하고 축방향의 하중(axial load, Fa) 증가하는 경우에 대해 볼 베어링의 수명을 해석하였다. 볼 베어링의 외륜이 고정되어 있고 내륜이 회전하는 경우를 가정하여 1회전당 볼과 내·외륜이 접촉하는 횟수는 각각 (1 +d_Bcosα / d_m)Z / 2와 (1 − d_Bcosα / d_m)Z / 2로 계산될 수 있다[6].

Table 1. Specifications of ball bearing

4. 해석 결과

4-1. 전동체 기반 수명

Fig. 3은 볼 베어링에 반경방향 하중이 1 kN으로 일정하게 작용할 때 축방향의 하중 증가에 따른 각 전동체에 작용하는 하중 및 접촉각의 변화를 도시한 것이다. 축방향 하중이 증가할수록 전동체에 작용하는 하중은 증가하고 접촉각도 커짐을 확인할 수 있다.

Fig. 3. Variation of contact load and angle distribution with increase of axial load.

Fig. 4는 볼 베어링에 축방향 하중 증가에 따른 내· 외륜의 L₁₀ 및 L₅₀ 수명, 그리고 이들 각각을 조합한 베어링 시스템의 피로수명을 각각 도시한 것이다. 그림에서 볼 수 있듯이 동일하중에서 내륜의 수명이 외륜보다 10배 이상 적고 따라서 내륜의 수명이 전체 볼 베어링의 수명에 지배적인 것을 알 수 있다. 이는 비록 동일한 전동체 하중이 작용한다 하더라도 볼과 내륜의 접촉면적이 외륜과의 접촉면적보다 작기 때문에 표면 접촉응력이 높아지는 것으로 사료된다.

Fig. 4. L₁₀ & L₅₀ life based L-P model as a function of axial load.

4-2. 응력 기반 수명

Fig. 5는 베어링 하중해석을 통해 얻은 각각의 전동체 하중으로부터 접촉해석을 수행한 결과를 도시한 것이다. 볼과 외륜은 축방향과 반경방향 모두 적합(conformal) 접촉을 하나 볼과 내륜은 반경방향으로는 부적합(non-conformal) 접촉을 하기 때문에 동일한 전동체 하중이 작용하더라도 볼과 내륜의 접촉압력이 보다 높게 나타남을 확인할 수 있다.

Fig. 5. Contact pressure distribution between ball and raceway with increase of axial load.

Fig. 6은 응력기반의 세 가지 피로 판정식 및 L-P 이론에 의한 내륜과 외륜의 접촉피로수명을 비교하여 도시한 것이다. 두 그래프에서 x축은 축의 회전수를 나타낸 것으로 AISI 52100강의 재료 파라메터는 10⁸ 사이클까 지이나 축의 1회전당 볼과 내·외륜간의 접촉횟수를 고려하면 내륜의 경우 1.86 × 10⁷ 사이클에서, 외륜의 경우 2.73×10⁷ 사이클에서 무한 수명이 각각 표시된다.

Fig. 6. Stress based contact fatigue life of inner and outer raceways with increase of axial load.

또한 L-P이론의 L₅₀ 수명과 비교한 것은 단축 피로시험 결과의 커브피팅식만을 적용하였기 때문에 볼 베어링의 예측수명은 약 50%정도의 신뢰도를 가진다고 가정하였기 때문이다.

두 그래프에서 보는 바와 같이 세 가지 피로 판정식 중 Crossland 모델이 가장 높은 수명을 예측하는 것으로 나타났고 Dang Van 모델은 Crossland 모델에 비해 30%에서 60% 정도 낮게 수명을 예측하였다. Matake 모델은 Crossland 모델에 비해 10% 이하로 가장 낮은 수명을 예측하는 것으로 나타났다. L-P 이론의 L₅₀ 수명으로 예측한 수명과 비교해 보면 Dang Van 모델의 결과가 가장 근접함을 알 수 있고 따라서 Dang Van 모델이 실험결과와 가장 근접하게 수명을 예측한 모델임을 의미한다.

5. 결론

본 연구에서는 전동체 기반의 볼베어링 수명예측 모델의 결과와 응력기반의 피로수명 예측 기법을 볼 베어링에 적용한 수명예측 결과를 비교하고자 하였다. 전동체 기반의 볼베어링 수명예측 모델은 전동체 하중만을 구하여 L-P이론에 적용한 것으로 실험적 모델로 볼 수있고 응력기반 모델은 재료의 피로물성치만을 실험데이터로 적용하여 해석적으로 전동체 하중 및 표면아래 응력해석, 그리고 피로 해석 등의 일련의 시뮬레이션을 거쳐 접촉 피로수명 및 임계 접촉피로하중을 계산하는 접근방식이다. 축방향 하중이 증가함에 따라 내·외륜의 접촉피로수명을 예측하여 그 결과를 비교하였다. 두 접근법 모두 볼 베어링의 반경방향 하중에 대한 접촉피로해석 결과 볼과 내륜간의 접촉이 외륜에 비해 접촉 면적이 작아 접촉압력이 높고 따라서 피로수명이 낮아짐을 확인하였다. 세 가지 응력기반 피로모델 중 Crossland 모델, Dang Van 모델, Matake 모델 순으로 피로수명을 낮게 예측하는 것으로 나타났는데 Crossland 모델에 비해 Dang Van 모델은 30%에서 60% 정도, Matake 모델은 10% 이하로 낮게 수명을 예측하는 것으로 나타났다. 아울러 L-P 이론의 L₅₀ 수명으로 예측한 수명과 비교해 보면 Dang Van 피로 모델이 L₅₀ 수명에 근접함을 알 수있었다.