Design and Feasibility Study of Double Gerotor

이중 제로터의 설계 및 응용 가능성에 대한 연구

Abstract

A gerotor set consists of two elements, an inner rotor and an outer rotor. The outer rotor has one more tooth than the inner rotor and has its centerline positioned at a fixed eccentricity from the centerline of the inner rotor. Although gerotors come in a variety of geometric configurations, all gerotor sets share the basic principle of having generated tooth profiles that provide continuous tight sealing during operation. The size of the gerotor is proportional to the number of teeth and the amount of eccentricity. The interior of an inner rotor with a large number of teeth has an enough space to include other machine elements. In this paper, the double gerotor mechanism, constructed by putting a small gerotor in the interior of a large inner rotor, is conceptualized. The double gerotor set is composed of an inner rotor, a planetary rotor, and an outer rotor. The inside profile of the planetary rotor corresponds to the outer rotor profile of the small gerotor, and the outside profile is the inner rotor profile of the large gerotor. In the double gerotor, the centers of the inner and the outer rotor are coincident because the eccentricities of two gerotors are balanced. The operation of a double gerotor is examined by analyzing the planetary motion, and a feasibility study for application of the double gerotor for hydraulic motors and pumps is performed. The double gerotor set has much application potential as a component of hydraulic systems.

Nomenlcature

e : Amount of eccentricity (mm) (편심량)

g : Tooth bottom gap (mm) (이바닥 틈새)

m : Number of inner rotor teeth (내부로터 잇수)

n : Number of outer rotor teeth (외부로터 잇수)

\(\vec{r}\): Position vector of inner rotor profile (내부로터 형상의 위치벡터)

r₁ : Radius of pitch circle of inner rotor (mm) (내부로터 피치원 반경)

r₂ : Radius of pitch circle of outer rotor (mm) (외부로터 피치원 반경)

r_a1 : Radius of tip circle of inner rotor (mm) (내부로터 이끝원 반경)

r_a2 : Radius of tip circle of outer rotor (mm) (외부로터 이끝원 반경)

r_c : Radius of circular tooth (mm) (원호치형 반경)

r_f1 : Radius of root circle of inner rotor (mm) (내부로터 이뿌리원 반경)

r_f2 : Radius of root circle of outer rotor (mm) (외부로터 이뿌리원 반경)

r_t : Radius of tooth center circle (mm) (치형 중심원 반경)

s : Number of inner rotor teeth of small gerotor (소형 제로터의 잇수)

u : X component of inner rotor profile (mm) (내부로터 형상의 X 좌표)

v : Y component of inner rotor profile (mm) (내부로터 형상의 Y 좌표)

α : Rotation angle of inner rotor (deg) (내부로터 회전각)

β : Rotation angle of planetary rotor (deg) (유성로터 회전각)

γ : Rotation angle of outer rotor (deg) (외부로터 회전각)

θ : Design angle (rad) (설계각)

θ₁ : Rotation angle of pinion (rad) (피니언 회전각)

θ₂ : Rotation angle of internal gear (rad) (내치차 회전각)

θ_p : Rotation angle of pitch point (rad) (피치점 회전각)

 

1. 서 론

제로터는 내부로터와 외부로터의 두 개 요소로 구성되는 간단한 기구로 유압펌프나 유압모터에 사용되고 있다. 외부로터는 내부로터보다 한 개 더 많은 잇수를 갖고 있으며, 내부로터 중심은 외부로터 중심에 대해 편심되어 있다. 제로터의 설계에는 몇 가지 방법이 발표되어 있다[1-8]. 특수치형을 사용하여 제로터를 설계하기도 하지만 기본적으로 외부로터는 단순 원호치형을 사용하고 내부로터는 원호치형으로부터 창성되는 형상을 사용한다[9,10].

제로터의 크기는 편심량과 잇수에 비례하는데 제로터의 잇수는 용도에 따라 다양하게 선정하고 있다. 유압펌프의 경우 잇수가 적은 제로터는 동력손실이 작고 작동속도가 빠른 장점이 있고 잇수가 많아지면 제로터의 크기가 커져서 내부로터의 축경을 크게 설계할 수 있고 유량맥동(flow ripple)이 작아지는 장점이 있다[11]. 유압모터의 경우에는 외부로터의 잇수가 7개와 9개인 것 두 종류가 사용되고 있다[12].

제로터는 내부로터의 중심이 편심되어 있기 때문에 유압펌프에서는 내부로터를 회전시키는 입력축 중심과 외부로터 중심이 일치하지 않으며, 유압모터에서는 내부로터의 회전을 편심축을 사용하여 출력축에 전달한다.

본 연구에서는 편심이 없는 제로터 기구의 개발을 목적으로 제로터의 편심 회전이 자체에서 흡수되는 이중물림 기구의 제로터를 설계하고자 한다. 그리고 이 기구의 작동특성을 해석하여 유압모터와 유압펌프에의 응용 가능성을 검토해 보고자 한다.

 

2. 이중 제로터의 설계

 

2-1. 제로터의 기본설계

제로터는 내부로터와 외부로터로 짝을 이루는데 내부로터는 외부로터의 원호치형에 의해서 창성되는 형상이다. 내부로터의 설계에는 여러 가지 방법이 있지만 여기서는 Lee 등이 제안한 곡선족의 포락선 식을 사용한다[5].

Fig. 1은 잇수가 4개인 내부로터의 창성과정을 나타낸 것이다. 트로코이드 곡선의 궤적 T를 중심으로 원호치형에 해당하는 원으로 곡선족을 형성하였을 때 곡선족의 포락선이 내부로터 형상이 된다. 외부로터 중심에서 원호치형 중심까지의 거리를 rt , 원호치형의 반경을 rc , 외부로터의 잇수를 n, 그리고 편심량을 e라 하면 내부로터의 형상곡선 식은 다음과 같이 구해진다.

\(\vec{r}(\theta)=u\vec{i}+v\vec{j}\)       (1)

여기서

\(u=-r_{c} \sin \phi+r_{t} \sin \theta+e \sin (n \theta)\)       (2)

\(v=-r_{c} \cos \phi+r_{t} \cos \theta+e \cos (n \theta)\)       (3)

\(\phi=\tan^{-1}\frac{r_t\sin\theta+en\sin(n\theta)}{r_t\cos\theta+en\cos(n\theta)}\)       (4)

 

Fig. 1. Generation of profile for 4-tooth inner rotor.

내부로터의 잇수 m은 항상 외부로터 잇수보다 한 개적은 m = n − 1이 된다. 식(1)-식(4)에서 θ는 설계각으로 θ = \(\lceil0,2\pi/m\rceil\)이면 내부로터의 치형 형상 하나가 완성된다.

Fig. 2와 Fig. 3은 Table 1의 제원으로 설계한 제로터로 제로터 A와 B의 편심량은 동일하다. Fig. 2의 제로터 A는 4/5의 잇수비를 갖고 있으며, 이 종류는 자동차용 오일펌프에 널리 사용되고 있다. Fig. 3의 제로터 B는 잇수비가 8/9로 그림에 표시한 바와 같이 9개의 챔버가 형성된다. 제로터 B는 2단 속도용의 유압모터에 사용되는 유형으로 작동유를 2,3,4,5 챔버에 공급하고 외부로터가 한 잇수 회전한 뒤 3,4,5,6 챔버에 순차적으로 공급하여 내부로터를 회전시키는 방식과 작동유를 2,3,5 그리고 3,4,6 챔버에 공급하는 방식 즉, 중간의 챔버 하나에는 작동유 공급을 차단하여 전자보다 빠르게 회전시키는 방식으로 속도를 2단으로 할 수 있다[12].

 

Fig. 2. Gerotor A (4/5 tooth combination).

 

Fig. 3. Gerotor B (8/9 tooth combination).

 

Table 1. Design of gerotors

제로터의 크기는 편심량과 잇수에 비례하기 때문에 편심량이 같은 경우 잇수가 2배가 되면 제로터의 크기도2배 커진다. 내부로터는 외부로터의 원호치형에서 창성된 형상으로 제로터는 기어의 물음법칙을 만족하며 특수 치형을 갖는 내치차에 해당된다[13]. 내부로터와 외부로터의 피치원은 물림특성에서 결정되며 이끝원과 이뿌리원은 기하학적 관계에서 다음과 같이 구해진다.

내부로터

피치원 반경 \(r_1=me\)       (5)

이끝원 반경 \(r_{a1}=r_t-r_e+e\)       (6)

이뿌리원 반경 \(r_{f1}=r_{a1}-2e\)         (7)

외부로터

피치원 반경 \(r_2=ne\)       (8)

이끝원 반경 \(r_{a2}=r_t-r_e\)       (9)

이뿌리원 반경 \(r_{f2}=r_{a2}+2e+g\)       (10)

여기서 g는 내부로터의 이끝과 외부로터의 이뿌리 사이의 틈새이다.

Table 2는 식(5)-식(10)으로 제로터 A와 B의 제원을 계산한 결과이다. 이들 제원은 유압펌프의 포트 설계에 사용된다. Fig. 2와 Fig. 3에서 P는 피치점이며, Fig. 2에는 외부로터의 이끝원과 이뿌리원, Fig. 3에는 내부로터의 이끝원과 이뿌리원을 도시하였다.

 

Table 2. Dimensions for gerotors

 

2-2. 이중 제로터 기구의 설계

제로터 B는 Fig. 3에 나타낸 바와 같이 크기가 충분히커서 내부로터 내부에 Fig. 2의 제로터 A를 삽입하여 이중 제로터 기구로 설계할 수 있다. 제로터 A와 B를 결합한 이중 제로터는 Fig. 4와 같으며, 제로터 A를 설계할 때 제로터 A의 외부로터 중심을 E로 하고 제로터 A의 내부로터를 삽입하면 편심이 상쇄되어 제로터 A의 내부로터 중심은 O에 위치하게 된다.

 

Fig. 4. Double gerotor set.

Fig. 4는 3피스로 구성된 이중 제로터 기구로 중심부의 로터를 내부로터, 외곽부의 로터를 외부로터라 하고 해칭한 부분은 자전과 공전 운동을 하기 때문에 유성로터라 부르기로 한다. 즉, 제로터 A의 내부로터, 제로터B의 외부로터를 사용하고 유성로터를 매개하여 내부로터와 외부로터는 편심 없이 동일한 중심을 기준으로 작동하는 기구로 설계한 것이다.

 

3. 이중 제로터의 특성

 

3-1. 이중 제로터의 작동

이중 제로터는 유성기어와 같은 운동을 한다. Fig. 5는내치차와 피니언으로 구성된 유성기어의 피치원 운동을 나타낸 것이며, r1은 피니언의 피치원, r2는 내치차의 피치원이다. 반시계방향으로 피니언이 θ1 , 내치차가 θ2회전하고 피치점은 시계방향으로 θp회전하였을 때 기어의 물음법칙에서 다음 조건이 만족되어야 한다[14].

\(r_1(\theta_1+\theta_p)=r_2(\theta_2+\theta_p)\)       (11)

제로터의 외부로터는 내치차, 내부로터는 피니언에 해당하므로 식(11)에 식(5)와 식(8)을 대입하여 정리하면 다음과 같다.

\(\theta_p=m\theta_1-n\theta_2\)       (12)

제로터의 작동은 유압모터의 경우 외부로터가 고정되며, 유압펌프의 경우에는 내부로터와 외부로터가 모두 회전한다. 내부로터의 회전각을 α, 유성로터의 회전각을 β,외부로터의 회전각을 γ라 하고 제로터의 작동을 살펴본다.

 

Fig. 5. Movement of pitch circles.

 

3-1-1. 외부로터 고정 시의 작동

외부로터가 고정되어 있으면 Fig. 5에서 θ2 =0이고 θ1은 유성로터의 회전각 β에 해당하고 θp는 유성로터 중심의 회전이다. 따라서 식(12)를 적용하면 다음의 식을 얻는다.

\(\theta_p=m\beta\)       (13)

유성로터의 안쪽 형상과 내부로터로 구성된 제로터 A는 Fig. 5에서 두 피치원과 피치점이 모두 회전하는 경우로 θ1은 내부로터의 회전 α, θ2는 유성로터의 회전 β에 해당한다. 제로터 A의 내부로터의 잇수를 s라하고 식 (12)와 (13)을 적용하면 이중 제로터에서 내부로터와 유성로터의 회전은 다음과 같은 관계식으로 구해진다.

\(\alpha=\frac{m+s+1}{s}\beta\)       (14)

Fig. 6은 외부로터가 고정되어 있을 때 이중 제로터의 작동을 나타낸 것이다. Fig. 6(b)의 내부로터가 CCW30° 회전하였을 때 내부로터와 유성로터의 피치원 운동을 실제 치수로 도시한 것이 Fig. 5이며, 유성로터는 같은 방향으로 9.2^o 회전, 유성로터 중심은 CW 73.8^o 회전한다.

 

Fig. 6. Operation of a double gerotor when the outer rotor is fixed.

 

3-1-2. 외부로터 회전 시의 작동

외부로터의 회전에 대한 구속이 없는 경우에는 단순기어배열로 내부로터의 회전이 유성로터에 전달되고 유성로터의 회전이 외부로터에 전달되며, 회전비는 잇수에반비례 한다. 따라서 내부로터의 회전 α, 유성로터의 회전 β와 외부로터의 회전 γ의 관계는 다음과 같다.

\(\gamma=\frac{m}{m+1}\beta={m}{m+1}(\frac{s}{s+1}\alpha)\)       (15)

Fig. 7은 외부로터가 회전하는 경우 내부로터의 회전에 따른 이중 제로터의 작동을 나타낸 것이다. Fig. 7(b)는 내부로터의 CCW 30^o 회전에 대해 같은 방향으로 유성로터는 24o , 외부로터는 21.3^o 회전한 상태이다.

 

Fig. 7. Operation of a double gerotor when the outer rotor is non-fixed.

 

3-2. 이중 제로터의 응용 가능성

제로터는 유압모터나 유압펌프에 사용되고 있다. 이중 제로터 기구에 대해서도 유압모터나 유압펌프에 적용 가능성 여부를 검토해 보고자 한다.

 

3-2-1. 유압모터에 응용

제로터 유압모터에서 외부로터는 고정되어 있으며, 챔버 개수는 7개 또는 9개인 것 두 가지가 주로 사용되고 있다. 챔버가 7개인 제로터는 회전에 따라 단면적이 증가하는 3개의 챔버에 작동유를 공급하여 제로터를 회전시키고 제로터의 편심회전을 편심축을 통해 출력시키는 방식이다. 챔버가 9개인 경우도 작동 원리는 동일하며, 앞에서 설명한 바와 같이 작동유 공급방식에 따라 회전속도를 2단으로 구현할 수 있다.

본 논문의 이중 제로터는 외부로터와 유성로터 사이에 형성되는 챔버가 9개인 경우로 회전 방향에 따라 단면적이 증가되는 챔버에 작동유를 공급해주면 유성로터는 공전과 자전 운동을 하며, 이에 따라 내부로터가 회전하게 된다. 식(14)에 보인 바와 같이 유성로터의 자전β에 대해 내부로터는 α= (13/4)β로 증속된 회전이 발생된다. 그리고 내부로터는 편심 없이 회전되므로 특별한 편심축은 필요 없게 된다.

 

3-2-2. 유압펌프에 응용

제로터 유압펌프는 내부로터의 회전에 따라 외부로터가 회전되며, 이 때 단면적이 증가하는 부분은 유입포트, 단면적이 감소하는 부분은 유출포트가 된다. 유압펌프에서 챔버의 반경방향은 내부로터와 외부로터의 이뿌리원사이로 구속된다.

이중 제로터에서 내부로터와 유성로터 사이에 형성되는 챔버는 Fig. 2의 제로터 A의 경우와 동일하며, 챔버는 내부로터의 이뿌리원과 유성로터 내부형상의 이뿌리원 사이에서 형성된다. 따라서 반시계반향으로 내부로터가 회전할 때 Fig. 8에 도시한 바와 같이 유입포트는 A1, 유출포트는 A2와 같이 설계하면 된다. 한편, 외부로터와 유성로터 사이에 형성되는 챔버는 Fig. 3의 제로터 B의 경우와 같으며 B1 부분이 유입포트, B2 부분이 유출포트가 된다.

 

Fig. 8. Port locations of the double gerotor.

이중 제로터에서 제로터 A와 B는 180° 위상차로 유입과 유출포트의 위치가 서로 엇갈리게 된다. 설계에 따라 포트 A나 포트 B 둘 중의 하나만 사용할 수도 있고두 개를 다 사용할 수도 있다. 포트 A와 포트 B를 동시에 사용하면 토출량이 커지게 된다.

 

4. 결 론

본 연구에서는 이중 제로터에 대한 설계와 작동특성을 해석하고 유압모터와 유압펌프에 적용 가능성을 검토해 보았다.

제로터의 크기는 편심량과 잇수에 비례하기 때문에 잇수가 큰 경우 내부로터의 크기가 커져 내부로터 내부에 소형의 제로터를 삽입할 수 있는 충분한 공간이 있는 것에 착안하여 두 개의 제로터로 구성된 이중 제로터 기구를 설계하였다. 이중 제로터에서 큰 제로터와 작은 제로터의 편심량을 동일하게 하면 편심이 상쇄된다.

이중 제로터는 외부로터와 내부로터 사이에 유성로터가 매개되는 방식으로 외부로터가 고정되어 있는 경우와 외부로터가 회전하는 두 가지 경우가 있으므로 이를 대상으로 제로터의 작동 특성을 해석하고 작동 과정을 시뮬레이션하여 이중 제로터의 운동을 검증하였다.

이중 제로터에서 외부로터를 고정하였을 때는 유성로터 회전에 따라 내부로터가 증속 회전되어 유압모터로서의 동작이 가능함을 보였다. 이 때 내부로터는 편심 없이 회전되기 때문에 출력장치 구성이 용이하다. 단일 제로터의 유압모터와는 달리 이중 제로터의 내부로터는 증속 회전되기 때문에 외부로터와 유성로터 사이에 형성되는 챔버에 작동유를 공급하는 방식에 대해서는 유압모터 전체 구조를 대상으로 한 연구가 필요하다.

이중 제로터를 유압펌프로 사용하는 경우에는 내부로터와 유성로터 사이의 챔버와 외부로터와 유성로터 사이의 챔버를 사용할 수 있기 때문에 유입포트 두 개, 유출포트 두 개로 구성됨을 보였다. 포트의 사용 여부에 따라 토출량은 3단계로 조절이 가능하다.