Polynomial-time Greedy Algorithm for Anti-Air Missiles Assignment Problem

지대공 미사일 배정 문제의 다항시간 탐욕 알고리즘

Abstract

During the modern battlefields of multi-batches flight formation attack situation, it is an essential task for a commander to make a proper fire distribution of air defense missile launch platforms for threat targets with effectively and quickly. Pan et al. try to solve this problem using genetic algorithm, but they are fails. This paper gets the initial feasible solution using high threat target first destroying strategy only use 75% available fire of each missile launch platform. Then, the assigned missile is moving to another target in the case of decreasing total threat. As a result of experiment, while the proposed algorithm is polynomial-time complexity greedy algorithm but this can be improve the solution than genetic algorithm.

현대전에서는 다중 적기 편대가 침공할 경우 이를 무력화시키기 위해 지대공미사일 발사포대의 미사일로 효과적이면서도 빠르게 위협을 최소화시키는 전략이 필수적이다. 이 문제에 대해 Pan et al.은 유전자 알고리즘을 적용하여 해를 구하고자 하였으나 최적 해를 구하는데 실패하였다. 본 논문에서는 각 미사일 발사포대 가용 미사일의 75%로 고위협 목표물을 우선하여 파괴시키는 전략으로 초기 실현 가능 해를 구하였다. 다음으로 각 발사포대에 배정된 미사일 1발을 감소시켜 총 위협을 보다 감소시킬 수 있는 다른 목표물로 이동시키는 최적화 기법을 제안하였다. 실험 결과 제안된 알고리즘은 다항시간 수행 복잡도의 탐욕 알고리즘임에도 불구하고 메타휴리스틱 기법인 유전자 알고리즘에 비해 해를 개선하는 결과를 얻었다.

Ⅰ. 서론

전쟁 초기에 적국의 목표물을 파괴하여 무력화시키기 위해 T_j개 목표물(j = 1,2,⋯,q)의 규모(또는 면적) u_j에 예상되는 최대 파괴율 β_ij = 1-α_ij을 갖도록 아군이 보유한 W_i 종류의 무기(i= 1,2,⋯,p) 가용수량 a_i에 대해 무기 종류 W_i를 목표물 T_j에 배정하는 x_ij를 결정하는 문제를 전형적인 무기 목표물 배정 문제(weapon-target assignment problem, WTAP)라 한다.^[1]

WTAP는 다항시간으로 해를 얻을 수 있는 규칙을 발견하지 못해 NP-완전(non-deterministic polynomial-time-complete)으로 분류된 난제이다.^[2] Li et al.^[3]에 따르면 2000년대 들어 다양한 메타휴리스틱 기법들을 적용하였지만 아직까지도 다항시간으로 최적 해를 찾아가는 규칙을 가진 탐욕 알고리즘(greedy algorithm)이 제안되지 않고 있는 실정이다.

위험도(threat degree) t_j를 가진 T_j의 적기 편대(batch raid target)들이 공중 침공한 경우, 아군은 가용 미사일 수량 a_i을 보유한 P_i의 지대공미사일 발사대(surface to air missile launch platform center)에서 이들 적기 편대들의 위험도를 최소화시켜 아군의 지상 피해를 최소화시키도록 x_ij를 배정하여 대공미사일을 발사해야만 한다. 이를 다중 목표물 지대공 화력 분배 문제(multi-target anti-air fire distribution problem, MTAFDP)라 한다.^[4] MTAFDP 역시 전형적인 WTAP와 마찬가지로 NP-완전(NP-complete) 문제로 알려져 있다.^[5] 일반적인 무기-목표물 배정 문제(weapon target assignment problem, WTAP)에 대해서 Lee^[6]은 최대 치사인원을 갖도록 무기를 배정하고, 최적화시키는 방법을 연구하였다.

본 논문은 MTAFDP에 관해 논한다. Pan et al.^[4]은 유전자 알고리즘(genetic algorithm, GA)을 적용하여 MTAFDP를 풀고자 하였으나 최적의 결과를 얻지 못하였다.

따라서 본 논문에서는 MTAFDP에 대해 다항시간으로 해를 찾는 규칙을 가진 탐욕 알고리즘을 제안한다. 2장에서는 MTAFDP에 대한 문제 정의와 관련연구 결과의 문제점을 논한다. 3장에서는 MTAFDP를 다항시간으로 풀 수 있는 탐욕 알고리즘을 제안한다. 4장에서는 실험을 통해 제안된 알고리즘의 적합성을 검증한다.

Ⅱ. 관련연구와 문제점

현대전장에서 전투지휘통제소(commander)는 위협적인 목표물(threat targets)에 대해 적절한 화력을 배분(fire distribution)해야 하는 막중한 임무를 갖고 있다. 화력배분문제는 효율적이면서도 빠르게 적 화력에 예상 되는 피해를 최대화시킬 목적으로 위협적인 목표물에 아군의 화력(firepower)을 배분하는 것을 찾고자 한다.^[4]

a_i를 무기 종류 W_i의 활용 가능한 총 수량, 무기 종류를 p, 목표물 개수를 q, u_j를 j번째 목표물 T_j의 규모(면적 또는 크기), α_ij를 W_i 무기로 T_j 목표물에 피해를 입히지 않을 확률이라 하면, 전형적인 다중무기-다중 목표물에 대한 WTAP는 식 (1)의 목적함수인 최대 피해 d를 입히도록 무기 x_ij를 배정해야만 한다.^[1]

\(\begin{array}{r} d=\text { maximize } \sum_{j=1}^{q} u_{j}\left[1-\prod_{i=1}^{p} \alpha^{x_{i j}}\right] \\ \text { subject to } \sum_{j=1}^{q} x_{i j} \leq a_{i}, i=1,2, \cdots, p \\ x_{i j} \geq 0, \text { integer } \end{array}\)       (1)

M_i를 지대공미사일 발사대, a_i를 M_i가 보유한 활용 가능한 미사일 수, t_j를 적기편대 T_j의 위협정도라 하면 MTAFDP는 t를 최소화 시키도록 x_ij를 배정하는 식 (2)의 목적함수를 찾고자 한다.

\(\begin{aligned} f=\text { maximize } \sum_{j=1}^{q} t_{j}\left[1-\prod_{i=1}^{p} \alpha_{i j}^{x_{i j}}\right] \\ \text { s.t } & \sum_{j=1}^{q} x_{i j} \leq 0.75 \sum_{i=1}^{p} a_{i}, i=1,2, \cdots, p \\ \sum_{j=1}^{q} a_{i}-\sum_{j=1}^{q} x_{i j} \geq 1 \\ x_{i j} \geq 0, \text { integer } \end{aligned}\)       (2)

WTAP의 식 (1)과 MTAFDP의 식 (2)가 유사해 보인다. 그러나 WTAP는 고정된 목표물이 전력을 재정비하는 개념이 없어 가용 무기 전량을 소진하는 방법이며, MTAFDP는 이동 목표물이 잔존전력을 재정비하여 재침공할 가능성을 고려하여 가용 무기 전량을 소진하면 안 되며, 75%만을 소진하고 재침공에 대비해야만 한다. 이와 같은 이유로 인해 표 1과 같은 차별성이 있다.

표 1. WTAP와 MTAFDP의 차별성

Table 1. Difference of WTAP vs. MTAFDP

WTAP와 MTAFDP 모두 하나의 무기가 하나의 목표물에 대한 파괴율인  \(\alpha_{i j}^{x_{i j}}\)의 지수함수와 하나의 목표물에 배정된 다수의 무기들의 파괴율 효과인 \(\underline{\prod}_{i=1}^{p}\)의 곱셈 비선형함수를 고려해야 하는 비선형정수계획법(nonlinear integer programming)으로 해를 얻기가 쉽지 않다.

Pan et al.^[4]은 그림 1의 실험 데이터를 제시하였다. 여기서 β_ij = 1-α_ij로 T_j 목표물 비행 편대에 피해를 입힐 확률이다. 이 문제는 각기 다른 위협 정도 t_j(근접 정도)를 갖는 12개의 적기 편대에 대해 아군의 8개 지대공 미사일 발사대에서 총 52발의 미사일로 초기에 최대 피해를 입혀 위협 정도를 최소화 시켜 적의 전력을 무력화시키려고 한다. 적의 위협 정도는 모든 적기편대가 1.0으로 근접(총 12.0)하지 않은 상태로 현 상황에서는 7.91이다.

그림 1. MTAFDP 실험 데이터

Fig. 1. Experimental data of MTAFDP

Pan et al.^[4]은 그림 1의 실험 데이터에 대해 Matlab을 이용한 유전자 알고리즘을 구현하여 표 2의 해를 제시하였다.

표 2. Pan et al.^[4]의 최적 배정 결과

Table 2. Optimal assignment result of Pan et al.^[4]

현재 직면한 총 위협 7.9100중에서 지대공 미사일 52발 중 39발을 발사하여 7.7555(98.05%)를 제거하여 0.1545 (1.95%)의 위협이 남은 상태임을 알 수 있다.

유전자 알고리즘과 같은 메타휴리스틱 기법들은 해를 찾아가는 규칙이 없이 단순히 프로그램 패키지의 도움을 받아 수많은 시행착오(배열순서 변경과 같은 유전자 조작 방법) 끝에 근사 해를 다항시간으로 구한다. 따라서 이들 메타휴리스틱 기법들은 동일한 결과를 얻는 재현이 불가하며, 왜 이러한 결과를 얻었는지 설명이 불가하며, 이 해가 최적 해인지 여부도 알 수 없는 단점을 갖고 있다.

또한, Pan et al.^[4]과 같이 39발의 지대공 미사일을 발사하였음에도 불구하고 보다 많은 위협 정도를 감소시킬 수 있는 해를 구할 수 있는 다항시간 방법(규칙)이 존재한다면 MTAFDP는 NP-완전이 아닌 P-문제로 당연히 효율성이 보다 좋은 이러한 다항시간 알고리즘을 적용해야만 한다.

따라서 3장에서는 이 문제에 대해 위협 정도를 보다 감소시킬 수 있는 보다 효율성이 좋은 다항시간으로 해를 찾을 수 있는 규칙을 가진 탐욕 알고리즘을 제안한다.

Ⅲ. 고 위협 우선타격-이동 최적화 알고리즘

본 장에서는 식 (2)의 f를 얻기 위해 첫 번째로 제약조건 [C1]을 충족하는 한 최대로 위협정보를 감소시킬 수 있는 셀에 x_ij를 배정하는 탐욕 알고리즘을 적용하여 초기 실현 가능 해를 구하였다.

x_ij 배정 우선순위는 고위협 목표물 우선 타격 전략으로 식 (3)으로 결정하였다. 즉 식 (3)은 k번째 지대공미사일 발사대의 미사일을 1발 증가시킬 경우 전체 지대공 미사일 발사대에서 T_j 목표물의 위협 정도를 감소시킬 수 있는 양을 결정한다.

\(\begin{array}{c} \delta t_{i j}=t_{j}\left(1-\prod_{i=1, \neq k}^{p}\left(1-\alpha_{i j}\right)^{x_{i j}-1}\left(1-\alpha_{k j}\right)^{x_{k j}}\right. \\ -t_{j}\left(1-\prod_{i=1}^{p}\left(1-\alpha_{i j}\right)^{x_{i j}}\right. \end{array}\)       (3)

식 (3)에 의해 _maxδt_ij에 x_ij = 1을 배정하는 과정을 \(\sum_{i=1}^{p} a_{i}\)회 수행하여 초기 실현 가능 해를 구하였다. 그러나 이와 같은 배정 방법을 수행하면 보다 큰 δt_ij를 갖고 있음에도 불구하고 Σx_i =a_i를 충족시켜 더 이상 배정되지 못한 지대공 미사일 발사대 M_i로 이후에 배정된 다른 발사대의 미사일을 이동시켜야 보다 위협을 감소시킬 수 있는 최적화 과정이 필요하다.

따라서 본 장에서는 이러한 최적화 문제를 해결하기 위해 x_ij ≥ 1에 대해 x_ij←x_ij -1로 설정하고, 1발을 보다 높은 위협정도 제거를 보이는 동일한 행의 다른 열(목표물)로 이동시키는 방법을 적용하였다.

제안된 알고리즘을 고 위협 우선타격-이동(high threat shooting first-moving optimization, HTSFMO) 알고리즘이라 하며, 다음과 같이 수행된다.

• \(\sum_{j=1}^{q} x_{i j} \leq 0.75 \sum_{i=1}^{p} a_{i}, i=1,2, \cdots, p, \sum_{j=1}^{q} a_{i}-\sum_{j=1}^{q} x_{i j} \geq 1\)로 a_i 재설정

Step 1. 초기 실현 가능 해 결정/* 수행 복잡도 O(m) */

\(\text { for } i=1 \text { to } m=\sum_{i=1}^{p} a_{i}\)

if ∃식 (3)에 따른 Σ인 _maxδt_ij 셀

(M_i ,T_j) then x_ij←x_ij +1 배정.

end

Step 2. 이동 최적화로 최적 해 결정 /* 수행 복잡도 O(qr) */

for i= 1 to r = |x_ij ≥ 1|

x_ij ≥ 1인 셀 r개 각각에 대해 x_ij←x_ij -1로 설정

for j = 1 to q

1발을 동일 행의 다른 열(목표물) x_ik 로

이동 (x_ik←x_ik +1)

if ∃보다 높은 위협정도 제거 then

x_ik←x_ik +1 확정, x_ij←x_ij -1

에 대해 반복 수행

else 다른 열로 계속 이동

if \(\nexists \)보다 높은 위협정도 제거 then

exit

end

i= i+1로 다음 셀 선택

end

Ⅳ. 알고리즘 적합성 검증 및 분석

본 장에서는 3장에서 제안된 HTSFMO를 그림 1의 실험 데이터에 적용하여 알고리즘 적합성 여부를 검증하였다. HTSFMO를 수행하지 이전에 사전 준비사항으로 a_i = 52를 0.75a_i = 39로 표 3과 같이 변환시켰다.

표 3. a_i를 0.75a_i로 변환

Table 3. Transform a_i into 0.75a_i

검증 방법은 \(\sum_{i=1}^{p} a_{i}=52\)발 지대공미사일에 대해 \(\sum_{i=1}^{p} x_{i j}\)를 배정하는 방법을 다르게 하였다.

왜냐하면 Pan et al.^[4]은 a_i =[6,8,6,6,8,5,6,7]=52발에 대해 x_i =[5,5,5,5,5,4,5,5]=39발을 발사하는 경우의 해인 위협 제거=7.7555(98.05%), 잔존 위협 =0.1545(1.95%)만을 제시한 관계로 이 연구결과와 비교하여 제안된 알고리즘의 적합성을 검증해야하기 때문이다. 따라서 a_i =[6,8,6,6,8,5,6,7]=52발에 대해 x_i =[6,8,6,6,8,5,6,7]=52발인 경우, a_i =[6,8,6,6,8, 5,6,7]=52발에 대해 x_i =[5,5,5,5,5,4, 5,5]=39발인 경우와 a_i =[5,5,5,5,5,4,5,5]=39발에 대해 x_i =[5,5,5,5,5,4,5,5]=39발인 경우를 실험하였다.

HTSFMO를 적용한 결과는 그림 2에 제시하였다.

그림 2. HTSFMO 알고리즘 결과

Fig. 2. Result of HTSFMO Algorithm

그림 2의 결과를 요약하여 Pan et al.^[4]의 결과와 비교하여 알고리즘 적합성 여부를 검증하였으며, 이는 표 4에 제시되어 있다.

표 4. 알고리즘 성능 비교

Table 4. Compare with algorithm performance

Pan et al.^[4]은 a_i =[6,8,6,6,8,5, 6,7]=52발에 대해 x_i =[5,5,5,5,5,4,5,5]=39발 발사시 위협제거 7.7555을 보인 반면, 동일 조건하에서 HTSFMO는 7.8782로 0.1227을 보다 제거하는 결과를 얻었다. 또한 a_i =[5,5,5,5,5,4,5,5] =39발일 경우에도 7.8640으로 0.1085를 보다 제거하는 결과를 얻었다. 만약 52발의 가용 미사일 모두를 발사하는 경우 위협 제거는 7.9009(99.88%), 잔존 위협은 0.0091 (0.12%)로 거의 100%에 가까운 성능을 보였다.

만약, MTAFDP를 WTAP와 동일한 개념으로 취급하여 전략 [S1]을 채택하여 52발 전량을 소진한다면, 파괴 되지 않은 적기 편대들이 전력을 재정비하여 재침공시 막을 방법이 없다.

따라서 이 전략은 고위험이 뒤따르는 전략으로 채택할 수 없다. 특히, 추가 가용 미사일을 무기격납고에 보관하고는 있지만 미사일을 발사대에 재장착하는 시간이 필요하며 이 준비과정에서 재침공할 경우 무방비 상태가 되며, 또는 군수지원이 원활하지 못할 경우나 아예 가용 미사일 군수지원이 전무한 경우 특히 문제가 발생한다.

결국, 동적 연속 침공에 대한 방어개념인 MTAFDP는 정적 목표물 파괴 개념인 WTAP와 동일한 개념으로 취급하지 못하여 전략 [S1]을 적용할 수 없는 관계로, 전략 [S2]나 [S3]중 어느 하나를 선택해야만 한다.

전략 [S2]는 [S3]에 비해 위협은 보다 크게 감소시킬 수 있는 반면에, F3과 F7이 가용 미사일 전량을 소진하여 이 발사대는 재침공에 대처가 불가한 상태로 채택이 불가한 전략이다. 따라서 전략 [S1] 보다는 전략 [S3]를 채택하고, 적이 재침공하였을 경우 위협이 일정 범위에 도달시 남은 25%의 지대공미사일 가용자산으로 방어한다면 이 경우에도 3차 공격에 대비할 수 있는 최소한의 미사일은 남겨둘 수 있는 최선의 전략이라 할 수 있다. 따라서 본 논문에서는 전략 [S3]를 적극 추천한다.

Ⅴ. 결론 및 추후 연구과제

본 논문은 동적으로 1차 침공에 이어 2차, 3차 등 재침공하는 적기 편대의 목표물을 지대공미사일로 방어하는 문제인 다중 목표물 지대공 화력 분배 문제(MTAFDP)를 다루었다.

MTAFDP에 대해 Pan et al.^[4]은 유전자알고리즘의 소프트웨어 패키지를 단순 활용하여 해를 구하고자 하였으며, 지금까지 가장 성능이 좋은 다항시간으로 해를 찾아가는 규칙을 가진 휴리스틱 알고리즘이 제안되지 않고 있다. 또한, Pan et al.^[4]의 유전자알고리즘 적용 결과 얻은 해도 최적 해가 되지 못하는 단점을 갖고 있다.

본 논문에서는 각 지대공 미사일 발사대(포대)가 해당 포대의 가용 미사일의 75%만 1차로 사용하는 개념을 적용하여 MTAFDP에 대해 고위협 목표물 우선 타격 원칙에 의거 배정량을 결정하여 초기 실현 가능 해를 구하였다. 다음으로 배정된 셀의 미사일 개수를 1개 감소시키고 전체 위협을 보다 감소시키는 다른 목표물로 이동(동일행, 다른 열)시키는 최적화를 수행하였다. 이와 같이 제안된 알고리즘을 실험 데이터에 적용한 결과 Pan et al.^[4] 이 유전자 알고리즘으로 얻은 해를 개선하는 결과를 얻었다.

MTAFDP에 관한 연구는 거의 수행되지 않은 관계로, 본 논문에서 제안된 알고리즘이 일반적으로 적용할 수 있는지 여부는 충분히 검증되지 않았다. 따라서 추후에는 MTAFDP의 고유한 특성을 반영한 최적의 전략을 수립하기 위해 다양한 제약조건의 변화와 더불어 다양한 실험 데이터들에도 제안된 알고리즘이 적합한지 여부를 검증할 예정이다.