초록
본 연구에서는 연속성 개념에 대한 학교수학에서의 정의와 학문수학에서의 정의 사이의 차별성과 상호연결성을 네 가지 관점에서 분석하고 있다. 이에 따르면, '한 점에서의 연속 불연속'의 정의가 학교수학에서는 극한 과정에 의존하고 있고, 학문수학에서는 정의역의 위상에 의존하고 있다. 학교수학에서는 정의역이 하나의 구간이나 구간들의 합집합인 함수에 한하여 연속함수인가를 판정할 수 있으나, 학문수학에서는 어떠한 함수에 대해서도 연속함수인가를 판정할 수 있다. 본 연구에서는 이러한 결과에 근거하여, 학교수학에서의 연속성 개념 취급과 관련하여 다음 두 가지 의견을 제시한다. 첫째, 극한 과정을 기반으로 한 학교수학에서의 국소적 연속성 개념으로 볼 때, 2009 개정 교과서에서 함수의 정의역에 속하지 않는 특정한 점에서 불연속을 취급하는 것은 적절하다. 이때 불연속점으로 무한 불연속점, 제거 가능한 불연속점과 도약 불연속점의 유형이 나타난다. 둘째, 일반적인 연속함수의 정의로 "함수 y = f(x)에서 정의역에 불연속점이 없으면, f을 연속함수라 한다."를 제안한다. 이 정의는 정의역에 속하지 않은 점에서의 불연속성의 판정을 허용하면서, 학문수학에서의 정의와 일관되게 연결된다.
The purpose of this study is to analyze the difference and inter-connectivity between the definition of continuity in school mathematics and the definition of academic mathematics in four perspectives. These difference and inter-connectivity have not analyzed in previous papers. According to this study, the definition of 'continuity and discontinuity at one point' in school mathematics depends on the limit processing but in academic mathematics it depends on the topology of the domain. The target function of the continuous function in school mathematics is a function whose domain is limited to an interval or a union of intervals, but the target function of the continuous function in academic mathematics is all functions. Based on these results, the following two opinions are given in relation to the concept of continuity in school mathematics. First, since the notion of local continuity in school mathematics is based on limit processing, the contents of 2009-revised textbooks that deal with discontinuity at special point not belonging to the domain is appropriate. Here the discontinuity appears as types of infinite discontinuity, removable discontinuity, and step discontinuity. Second, the definition of a general continuous function is proposed to "if there is no discontinuity point in the domain of a function y = f(x), we call the function f a continuous function." This definition allows the discontinuity at special point in non-domain, but is consistent with the definition in academic mathematics.
