Abstract
This paper proposes a simplified algorithm devised to obtain optimal solution to the marriage problem. In solving this problem, the most widely resorted to is the Gale-Shapley algorithm with the time complexity of $O({\mid}V{\mid}^2{\mid}E{\mid})$. The proposed algorithm on the other hand firstly constructs a $p_{ij}$ matrix of inter-preference sum both sexes' preference over the opposite sex. Secondly, it selects $_{min}p_i$ from each row to establish ${\mid}p_{.j}{\mid}{\geq}2,j{\in}S$, ${\mid}p_{.j}{\mid}=1$, $j{\in}H$, ${\mid}p_{.j}{\mid}=0$, $j{\in}T$. Finally, it shifts $_{min}\{_{min}p_{ST},p_{SH}+p_{HT\}$ for $_{min}P_{ST}$ of $S{\rightarrow}T$ and $p_{SH}+p_{HT}$, $p_{HT}<_{min}p_{ST}$ of $S{\rightarrow}H$, $H{\rightarrow}T$. The proposed algorithm has not only improved the Gale-Shapley's algorithm's complexity of $O({\mid}V{\mid}^2{\mid}E{\mid})$ to $O({\mid}V{\mid}^2)$ but also proved its extendable use on unbalanced marriage problems.
본 논문은 결혼 문제의 최적 해를 간단히 찾을 수 있는 알고리즘을 제안하였다. 일반적으로 결혼문제는 수행 복잡도 $O({\mid}V{\mid}^2{\mid}E{\mid})$의 Gale-Shapley 알고리즘으로 해를 구한다. 제안된 알고리즘은 먼저, 남성의 여성 선호도와 여성의 남성 선호도에 대해 상호-선호도 합 $p_{ij}$의 행렬로 변환시킨다. 두 번째로, 단순히 i행에서 최소값 $_{min}p_i$를 선택하여,${\mid}p_{.j}{\mid}{\geq}2,j{\in}S$, ${\mid}p_{.j}{\mid}=1$, $j{\in}H$, ${\mid}p_{.j}{\mid}=0$, $j{\in}T$로 설정하고, $S{\rightarrow}T$의 $_{min}p_{sr}$와 $S{\rightarrow}H$, $H{\rightarrow}T$의 $p_{SH}+p_{HT}$, $p_{HT}<{min}P_{ST}$에 대해 $_{min}\{_{min}p_{ST},p_{SH}+p_{HT\}$를 이동시키는 방법을 적용하였다. 제안된 알고리즘은 Gale-Shapley 알고리즘의 수행 복잡도 $O({\mid}V{\mid}^2{\mid}E{\mid})$를 $O({\mid}V{\mid}^2)$으로 향상시켰다. 또한, 불균형 결혼 문제인 경우에도 적용될 수 있도록 확장성을 갖고 있다.