A Study on a Binary Random Sequence Generator with Two Characteristic Polynomials

두개의 특성 다항식으로 구성된 이진 난수열 발생기에 관한 연구

Abstract

A Research of binary random sequence generator that uses a linear shift register had been studied since the 1970s. These generators were used in stream cipher. In general, the binary random sequence generator consists of linear shift registers that generate sequences of maximum period and a nonlinear filter function or a nonlinear combination function to generate a sequence of high linear complexity. Therefore, To generate a sequence that have long period as well as high linear complexity becomes an important factor to estimate safety of stream cipher. Usually, the maximum period of the sequence generated by a linear feedback shift register with L resistors is less than or equal to $2^L$-1. In this paper, we propose new binary random sequence generator that consist of L registers and 2 sub-characteristic polynomials. According to an initial state vector, the least period of the sequence generated by the proposed generator is equal to or ions than it of the sequence created by the general linear feedback shift register, and its linear complexity is increased too.

선형 쉬프트 레지스터를 이용한 이진 난수 발생기의 연구는 1970년대부터 연구되어져 왔으며, 이러한 이진 난수열 발생기는 스트림 암호 기법에 이용되어졌다. 일반적으로, 이진 난수열 발생기는 최대 주기의 선형 쉬프트 레지스터와 선형 복잡도가 높은 난수를 발생시키기 위하여 비선형 여과함수 또는 비선형 결합함수로 구성된다. 그러므로, 높은 선형 복잡도 뿐만 아니라, 긴 주기를 갖는 이진 난수열의 생성은 스트림 암호 기법의 안전성을 평가하는데 중요한 요소가 된다. 일반적으로 L개의 레지스터와 1개의 궤환 함수 또는 특성 다항식으로 구성된 선형 쉬프트 레지스터의 최대 주기는 $2^L$-1을 넘을 수 없다. 본 논문에서는 L개의 레지스터와 2개의 부분 특성 다항식으로 구성된 새로운 이진 난수열 발생기를 제안한다. 제안된 이진 난수열 발생기는 초기 상태 값에 따라 기존의 선형 쉬프트 레지스터에서 생성한 수열의 주기와 같거나 긴 주기를 갖는 이진 난수열을 생성하며, 생성 수열의 선형복잡도 역시 증가된다.

Ⅰ. 서론

1970년대 초부터 유럽을 중심으로 연구 발전된선형 쉬프트 레지스터 (Linear Feedback Shift Register, LFSR)는 이진난수열 발생기를 사용한스트림(stream) 암호 시스템에 활용되어 왔다. 일반적으로, 스트림 암호 시스템은〔그림 1〕에서와 같이 이진 수열과 부호화된 평문을 이진난수열 발생기에서 생성된 수열과 비트XOR하여 암호문을 생성한다. 그러므로, 스트림 암호 시스템에서 사용되는 이진난수열 발생기는 긴 주기를 갖는 수열을 발생해야 하며, 이를 보장할 수 있어야 한다. 선형 쉬프트 레지스터는 최소 주기(least period), 선형복잡도(linear complexity) 등과 같은 수학적으로분석 가능한 수치에 대하여 이론적인 값을 정확하게계산할 수 있다는 장점이 있다. 긴 주기와 높은 선형 복잡도를 갖는 이진 수열을 생성하기 위하여, 최대 주기를 갖는 선형 쉬프트 레지스터의 출력 수열들을 비선형 결합 함수(non-linear combination function)에 입력시켜 그 결과 값을 사용하거나, 비선형 필터 함수(nonTinear filter function)를사용하여 선형 복잡도를 높이는 방법이 일반적으로연구되어졌다.'由』朝

(그림 1] 스트림 암호

선형 쉬프트 레지스터를 이용한 이진수 열 발생기의 경우〔그림 2〕에서와 같이 L개의 레지스터와 1 개의 궤환 함수(feedback function)

(그림 2) 선형 쉬프트 레지스터

#(1)

로 구성된다. 幻, ..., 幻— 은 0과1 값을 취하며, aL 은 항상 1값을 취한다. ", .는/번째 레지스터의 연결상태를 나타내는데, 이를 궤환 상수(feedback constant) 라고 정의 한다. 또한 命, …, %을 궤환상수로 갖는 £개의 레지스터로 구성된 선형 쉬프트 레지스터의특성 다항식 (characteristic polynomial)을 다음과같이 정의한다 :

#(2)

이진 수열 3를 乙개의 레지스터로 구성된 선형 쉬프트 레지스터의 출력 수열이라 할 때, 수열 3의 £—1 번째 항을 로 표시한다. 또한, 시각t에서 각 레지스터의 값 %&+1, “・, &+1._1을 레지스터의 상태 벡터 (state vector)로 정의하고, (s"s”t, …, s.z-D로 Sz-i)을 선형 쉬프트 레지나타낸다. 특히, 스터의 초기 상태 벡터 또는 초기 값이라 부르며, 선형 쉬프트레지스터를 운영하기 위해 각 레지스터에 Ssi)을 초기 설정된 초기 값을 의미한다. 상태벡터로 갖는 선형 쉬프트 레지스터에서 생성된이진 수열 &은 다음과 같다 :

모든 z?느L에 대하여

#(3)

특히, %=을 匕차 선형 순환 관계(L—他 i= 1 order linear recurrence relation)라 정의히.고, 모든 덧셈 연산의 결과는 법(modulus) 2 아래에서의 결과로 간주한다. 위의 수식에서 알 수 있듯이, 출력 수열 3의 f번째 항s, 의생성에 영향을 주는 것은 레지스터의 상태벡터(S, S, t)뿐이고, 0이 아닌 상태벡터의 가지수가 2, — 1개이므로, 출력 수열 呈의 최소 주기는 2匕一:1을 넘을 수 없다.

본 논문에서는 L개의 레지스터와 2개의 서로 다른 부분 특성 다 항식 (sub-characteristic polynom/1) 으로 구성된 새로운 이진난수열 발생기를 제안한다. 제안하는 발생기는 0이 아닌 초기 상태 벡터에서 주기 2l-1 또는 2(2^■ —1)을 갖는 이진 난 수열을 발생한다. 그러므로, 일반 선형 쉬프트 레지스터를 사용해 생성한 수열의 주기보다 긴 수열을 생성할 수 있다. 일반적인 선형 쉬프트 레지스터와 제안하는 이진 수열을 구분하기 위하여, 이후로 L-LFSR (Linear Feedback Shift Register with L Registers)은 £개의 레지스터로 구성된 최대 주기를 보장하는 기존의 선형 쉬프트 레지스터를 의미하고, L — B7?G( Binary Random Sequence Generator with L Registers)는 본 논문에서 제안하는 乙개의 레지스터로 구성된 이진 수열 발생기를 의미한다.

본 논문은 다음과 같이 구성된다. 2.1절은 최소주기를 계산하기 위한 기본 이론을 소개한다. 2.2절에서 우리는 새로운 이진난 수열 발생기 L-BRG를제안하고, 그 성질에 대하여 논한다. 2.3절에서는실제 L — BRG를 구성하는 방법을 제시한다.

Ⅱ . 이진 난수열 발생기

2.1 기본 이론

'이 절에서는 선형 쉬프트 레지스터로 구성된 이진 난 수열 발생기의 출력 수열성질을 파악하기 위한 기본적인 정의와 이론을 소개한다. 우리는 선형 쉬프트 레지스터의 이와 같은 성질을 이용하여 제안하는 이진난수열 발생기 L-BRG의 최소 주기를 계산할 수 있다.

[정의 1]

다 항식 /GO를 GF(2)[;r]에 속하는 0이 아닌 다항식이라 하자. /(0)枳)이라 가 정하면, /wir-i 을 만족하는 가장 작은 양의 정수。를 다 항식 /(X)의위수(order)라 정의한다.

[정의 2]

순환그룹 G*)* F(2 의 생성원소(generator) a를 G打(2*)* 의 원시 원소(primitive element)라 정의한다.

[정의 3]

GF(2)[x] 에 속하는 다 항식 /(X)를 GF(2) 상의 m 차 기약 다 항식 (irreducible polynomial)이라 하자. 만약 /(X)의 위수가 2” — 1이면, /'(X)를 원시 다항식 (primitive polynomial)이라 정의한다.

M를 L-LFSR의 출력 수열이라흐)자. 일반적으로, 乙一乙FSR에 의해서 구현된 £차 선형 순환 관계(L-th order linear recurrence relation)가. ;을 생성하는 최소차의 선형 순환 관계일 필요는 없다. 선형 순환수열 3는 하나의 최소 다항식 (minimum polynomial) »? 广 (*)vGF(2)[硏와 대응되며, 이 최소 다항식 初广 伝)는 3를 생성하는 최소차의 선형순환 관계의 특성 다 항식을 의미한다. 주어진 선형순환 수열 3에 대하여 최소 다항식은 유일하게 존재하며, 3의 모든 특성 다 항식은 所广(大)를 약수로 갖는다. 이 최소 다항식은 Berlekamp-Massay LFSR Synthesis Algorithm을 사용해서 쉽게 찾을 수 있다」12"

[정리4] ⑴

0이 아닌 초기 상태를 갖는 선형 쉬프트 레지스터의 출력 수열을 : 라 하자. 특성다 항식 c(x)가 GF(2) 상에서 기약 다항식이라 가정하면, 3의 최소 주기는 c(x) 의 위수와 같다.

그러므로, L- LFSR을 구성하는 특성 다 항식 이원시 다 항식이면, 0이 아닌 초기 상태 벡터에 의해서 생성된 이진 수열W의 최소 주기는 2匕一1이 된다. 또한 이주기는 £개의 레지스터로 구성된 선형쉬프트 레지스터가 생성할 수 있는 최대 주기가 된다. 이와 같이 최대 주기를 갖는 수열을 최대 길이수열(maximal length sequence)이라 부르고, 이 수열을 생성하는 선형 쉬프트 레지스터를 최대길이 선형 쉬프트 레지스터 (maximal length LFSR) 라 부른다.

2.2이진 난수열 발생기

이 절에서 우리는 L개의 레지스터로 구성된 새로운 이진 난수열 발생기 L — BRG를 제안한다. 제안하는 L-BRG는 乙개의 레지스터와 GF⑵ 위에서 정의된 2개의 다 항식

#(4)

로 구성되며, 다항식 7U)와 必x)는 다음과 같은조건을 만족한다.

(조건1) 두다항식의 계수 aa, aL, 60, &은 모두 0이 아닌 GF(2)의 원소들이다.

(조건2) 두다항식 /&)와 g(x)의 곱을

#(5)

라 할 때, 짝수차 항의 합으로 구성된 다항식

#(6)

는 L차 기약다항식의 제곱 형태로 표현된다.

우리는 (조건2)에서 정의한 다항식 c(x) 를 L-BRG 의 특성 다항식이라 정의하고, /Or)와 g(x)를 부분특성 다항식(sub-characteristic polynomial)이라부른다. 위에서 정의된 L-BRG의 초기 상태 벡터를 (so, %, …, Ssi)라 흐고 이진난수열 s=so, si, ..- 을 L- BRG가 생성한 수열이라 하면, L 보다 크거나 같은 모든 力에 대하여, s”을 다음과 같은 규칙에따라 생성한다 : 如一乙이 0또는 짝수일 때

#(7)

이고, "一乙이 홀수일 때

#(8)

이다.

[정리 5]

수열 呈를 L 차 부분 특성 다 항식 /愆) = 备#와로 구성된 乙一敬G에서 생성된 이진g(x) = *[b*

수열이라 하고, c(x) = £*2 必L C”= 爲=“ 初를 OG, i<.L L-BRG의 특성 다 항식이라 하자. 또한, 수열 王'를 2乙개의 레지스터와 특성 다 항식 c(x)로 구성된 선형쉬프트 레지스터 2L-LFSR에서 생성된 이진 수열이라 하자. 수열?'를 생성하기 위해 사용된 2L - LFSR 의 초기 상태벡터 (s'o, S‘i, …, S‘2LT)가 수열 ;의초기 2乙개의 항 sm—J과 같다면, 두 수열 W와 孑는 같다.

(증명)

이진 수열3의 연속된 2L 개의 항(So, Si, …, S2LT) 을 c(x)를 특성 다 항식으로 갖는 선형 쉬프트 레지스터 ■江 一LFSR의 초기 상태 값이라 하자. 증명을 위하여 수학적 귀납법을 사용한다. "22L을 만족하는 모든 정수 徃에 대하여 2L-LFSR이 생성한 이진 수열 {s'o, s'i, ・", s'"t^ L-BRG이 생성한 이진 수열이 같다고 가정하자. 이제, 2L- LFSR의 s'”과 L-BRG의 s”이 같음을 증명하자. 먼저, 如一乙이 짝 수인 경우를 고려하면, 식 (7) 에 의하여 s“은 다음과 같이 표현된다:

#(9)

가정에 의하여 n-L이 짝수이므로(w-2l)-L은짝수이고, (力一(2/-1)) — £은 홀수이다. 그러므로식 (9)는 다음과 같이 다시 표현될 수 있다 :

#(10)

위에서 初은 GF(2) 상에서 如+(妃+如)과 같으므로

#(11)

이 된다. 가정에 의하여 死一乙이 짝수이므로, 3-2/)L一乙도 짝수이다. 그러므로, S”_2, .은 泓 句&一21과같다. 또한, L — BRG의 정의에 의해서, 何와 缶)는 GF(2) 의 0이 아닌 원소이므로, s“는 다음과 같이쓸 수 있다 :

#(12)

이제 식 (12)에서 S"_”의 계수를 고려하자. 각부분합의 표현에서 &F의 계수를 如3라고 할 때 /+t= m임을 쉽게 알 수 있다. 他이 흘수인 경우를 먼저 고려하자. 식(12)에서 /.이 짝수이고, r가 흘수인 a, bt를 발견할 수 없다. 그러므로, .이 흘 수이고, t가 짝수인 경우만을 고려하면 된다. 이제 식 (12)에서 7과 t 가 각각 홀수와 짝수인계수 如艮를 찾아보면 앞의 두 합과 'A' & ,金 寸山Zj 4 如句, z-2f-广1十 厶 4初-1〃声"-⑵-1)-7‘ i=\ ;=1 1=1 7=1에서 각각 한 번씩 발견된다. 그러나 마지막 합I i)W(0:2乱+如如)%-2; 에서는 발견할 수 없다. 그러므로 n이 홀 수일 경우 %一”의 계수는 GF⑵ 상에서 0이 된다. 즉, 식 (12)에서 他이 짝 수인 만 존재한다. 이저】, 위의식은 다음과 같이 쓸 수 있다 :

#(13)

그러므로, 径一乙이 짝수인 경우 &과 S、은 같다. 处一 L이 홀수인 경우도 유사한 방법으로 증명할 수있다. 舞一乙이 홀수라고 가정하면, L — BRG의 径번째 항&은 식 (8)에 의하여 다음과 같이 표현된다:

#(14)

가정에 의하여, 殂一匕이 흘수이므로 (处一2/) 一 丄 은 홀수이고, (此一(2/—1)) — L은 짝수이다. 또한, M 는 GF(2) 상에서 初+(如+初)와 같다. 그러므로식 (15)는 다음과 같이 표현된다.

#(15)

또한 (, z-2/)-L 의 값이 홀수이므로. = *弘母- 21 이 성립한다. 이를 이용하여, 다음과 같이 쓸 수 있다.

#(16)

〃一乙이 짝수인 경우와 같이, 範一乙이 흘수인 경우도 s”一”의 계수 a山는 r+m을 만족한다. m 이 흘수인 경우를 먼저 고려하자. 이 경우, /.과 / 중에서 하나는 짝수이고, 다른 하나는 홀수이다. 위의 식에서 s”_.의 계수 履, 를 관찰하면, 첫 번째 합 客 言 旳的声”-2E에서 7은 항상 짝수이다. 그러므로 첫 번째 합에서 施의 색인 t는 항상 홀수이어야 한다. 그런더L 厶의 색인 t 가 홀수인 항은 두 번째 합 客 & 如_以声 ”-⑵-1E에서도 발견할 수 있다. 즉 m이 홀수인 경우, 의 계수 <20, 는 각첨자 Z.과 f에 따라서 두 번씩 발견되거나, 아니면 발견되지 않는다. 그러므로, 식 (16) 에서 »?이 홀수인 s“f의 계수는 0이 된다. 따라서, 위의 식은 다음과 같이 바꿀 수 있다 :

#(17)

그러므로, L이 홀 수인 경우, &과 S'”은 같다. 즉, 특성 다항식 乂砂인 2L-LFSR가 L — BRG의 초기 2L 개 항을 초기 상태 벡터로 취하여 생성한 수열 M 은 3과 같다. ■

위 정리5에 의하여, 匕一欣G의 출력 수 열 3는일반 선형 쉬프트 레지스터의 출력 수열을 분석하는방법으로 분석됨을 알 수 있다. 이제 L-BRG의 출력수열 3의 최소 주기를 살펴보자.

[보조 정리 6]

从力를 GF(2) 상에서 정의된 위수가 e인 乙차 기약다항식이라 하자. c(x) = /z(x)2이라가 정하고, S(c(x)) 를 c(x)를 특성 다 항식으로 갖는 선형 쉬프트 레지스터에서 생성한 모든 수열의 집합이라 하면 . S(c(x)) 는 다음과 같은 수열들로 구성된다: 최소 주기가 1인 수열 1개, 최소 주기가 e인 수열 2, — 1개, 그리고 최소 주기가 2。인 수열 2况一21.개.

(증명

〔1〕의 정리6.63에 의하여 명백하다.

■ [정리 7]

c(x) = /z(x)2을 특성 다 항식으로 갖는 L- BRG 에서 0이 아닌 초기 상태 벡터에 의해 생성된 이진 난 수열을 ;라 정의하자. 다 항식 /z(x)이 위수를 e라 하면, 3의 최소 주기는 e 또는 2e이다.

(증명

정리5에 의하여, 3는 S(c(x))의 원소이다. 가정에의하여 L-BRG의 초기 상태 벡터가 0이 아니므로, 보조정리 6에 의하여 ;의 주기는 e 또는 2e。] 된다. ■

위 정리7에 의하여, L-BRG의 특성 다항식 C(X)=/?愆)2에서 /i(x)가 원시 다 항식 인 경우, 생성된 수열 3의 주기는 0이 아닌 초기 상태에 따라서 2l-1 또는 2(2匕一1)이 된다. 또한 W의 최소 다항식 所 广 愆)은 c(x)의 약수이므로, m - (%) = h(X) 또는 m/(x) = /z(x)2임을 알 수 있다. 그러므로 愆)=11愆:广2乙一况(;에서 생성된 이진 난수열의선형 복잡도는 초기 상태에 따라 L 또는 2L의 값을 갖는다.

〔표 1〕은 乙개의 레지스터로 구성된 일반선형 쉬프트 레지스터의 출력 수열과 L-BRG의 출력수열의최대 주기와 선형 복잡도의 크기를 비교한 결과를설명한다.

(표 1) 출력 수열의 특성

〔표 1〕에서 설명하는 것처럼, 동일한 레지스터로 구성된 L- LFSR과 L- BRG의 주기와 선형 복잡도는 최대 두 배의 차이를 보이고 있다.

2.3부분 특성 다항식

이 절에서는 원시 다항식 /z(x)가 주어졌을 때, c(x) = /z(x)2을 특성 다 항식으로 갖는 乙一敬G를구성하는 방법을 제안한다. L-BRG를 실제 구성하기위해서는 부분 특성 다항식 /(Q와g(x)를 생성해야되며, 구현의 용이성을 위하여 계수 0인 항을 많이갖는 다항식을 사용하는 것이 좋다. 이와 같은 부분 특성 다 항식을 찾는 한 가지 방법을 제시한다. C(X)= W:C;y = 丈\:2必'라 할 때, 먼저 乙이 짝수인 i ( = 0 경우 /(X)와 g(x)를 다음과 같이 구성한다 :

#(18)

두다 항식 /(x)와 M*) 취한 결과는 다음 과 같다: 의 곱에서 짝수차 항만을

#(19)

이 결과 값이 c(G와 같은가를 확인하면 된다. 

#(20)

이므로, a(x)= c(x)가 성립한다. 그러므로 제안된 /(X) 와 를 부분 특성 다 항식으로 갖는 L — BRG의특성 다항식은 c(x)가 된다.

예 8)

특성다 항식 <;愆) = ;必 + *8 + *6 + !+1을 갖는 8-3GR를 고려하자. 제시한 방법에 의하여, f(x) 와 g(x)를 다음과 같이 정의하자 :

#(21)

두다 항식 /(X)와 g(x)의 곱은 c(x)가 됨을 쉽게 알 수 있다.

이제, 乙이 흘수인 경우를 고려흐).자. 乙이 홀수인경우 /(X)와 京X)를 다음과 같이 정의하자 :

#(22)

이제 두다 항식의 곱/U)g(x)에서 짝수차 항만을 고려하자.

#(23)

위식 (25)의 결과는 °伝)와 같음을 알 수 있다.

여〕제 9)

특성다 항식 c(尢) = 为迪十元8+1 을 갖는 8 — BGR 를 고려하자. 제시한 방법에 의하여, /(%)와 g(x)를다음과 같이 정의홍].자:

#(24)

이 두다 항식을 부분 특성 다 항식으로 갖는 8 —3缺에서 초기 상태 벡터 (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 로생성한 수열은 다음과 같다 :

#

위수열의 최소 주기는 1022 = 2(29 — 1) 이다

다음과 같은 순서에 의하여, 새로운 이진 난수열발생기를 쉽게 구성할 수 있다. 또한 특성 다항식 力(为)를 사용하는 기존의 선형 쉬프트 레지스터를쉽게 교체할 수 있다.

(단계 1) L차 원시 다항식 奴* )를 선택한다.

(단계 2) C(尤) = 初(%)2을 계산한다.

(단계 3) 앞에서 제시한 방법을 사용하여, 두 부분 특성 다항식/co와 氛/를 계산한다.

(단계 4) 부분 특성 다 항식 須(尤)와 g(才)를 사용하여이진 난수열 발생기를 구성한다.

Ⅲ. 결론

일반적인 스트림 암호 시스템의 안전도는 이진 난수열 발생기의 안전도에 근거를 두고 있다. 그러므로 스트림 암호 시스템에 사용되는 이진난수열 발생기는 긴 주기와 높은 선형 복잡도, 그리고 다양한난수성질을 충족시킬 수 있어야 한다. 일반적으로최대 길이 선형 쉬프트 레지스터를 사용하기 때문에, 이진 난수열 발생기의 주기에 대한 연구는 거의찾아 볼 수 없다. 본 논문에서는 일반적인 선형 쉬프트 레지스터와 동일한 레지스터의 개수를 가지고, 선형 쉬프트 레지스터에서 생성한 수열보다 긴 주기를 갖는 수열을 생성할 수 있는 새로운 이진 난수열발생기를 제안했다. 제안된 이진난수열 발생기는 L 개의 레지스터와 원시 다항식 의 제곱 형태의 특성다항식을 택할 경우, 최소 주기의 상한이 2(2丄一1) 이 된다. 이는 L개의 레지스터로 구성된 최대 주기선형 쉬프트레지스터에서 생성할 수 있는 수열의주기의 두 배가 된다. 또한 제안된 이진난수열 발생기에서 생성된 수열의 성질을 파악하기 위해 기존의 선 형 쉬프트 레지스터에서 생성된 수열의 성질을 파악할 때 사용한 정리들을 그대로 사용할 수있다.

L- BRG의 경우 초기값에 따라 생성수열의 주기에 차이가 있을 수 있으므로’ 이에 대한 연구와비선형함수를 L — 에 적용하는 방법에 대한 연구가 수행되어야 한다. 또한 匕一敬G의 생성 수열의 난수성질에 대한 연구도 향후 계속 연구되어야한다.