수학적 기호는 수학이라는 특수한 분야에 한정되어 사용되는 언어라고 할 수 있다. Usiskin(1996)은 수학을 쓰고 수학적 의미를 의사 소통하는 데에 기호가 그 수단이 되기 때문에 수학 또한, 수학적 기호로 만들어진 언어라고 말하였다. 그러나, 수학적 언어와 일상 언어사이의 이중성 때문에 언어로써 수학 기호는 학생들을 힘들게 만든다. 교사에게는 의미 있는 기호일지라도 학생들에게는 친숙하지 않을 수 있기 때문에, 많은 학생들이 자신들의 수학적 사고를 표현하거나 개념을 반영하거나 또는 아이디어를 확장하기 위해, 수학을 말하고, 읽고, 이해하고 쓰는 데에 어려움을 겪고 있다. 따라서, 본 연구는 학생들이 기호체계에 능숙해지도록 도와주고, 수학 학습과 문제 해결을 위해 수학 기호 언어가 의미 있고 접근하기 쉬운 의사소통 매체가 되게 하기 위하여 언어적 접근에 의하여 수학적기호의 교수-학습지도 방법에 대하여 살펴보고자 한다.
수학 기호를 학습함에 있어서 '기성의 기호'를 그대로 받아들이기보다' 기호를 형성하는 과정'에 대한 경험을 제공해주면 수학 기호로 인한 학습의 장애를 줄일 수 있다. 학생들이 수학적 의미에 맞는 기호화 방법을 발명해가야 한다는 '표현적 접근법(expressive approach)'은 학생들에게 수학 기호를 발명하고 다듬어가는 경험을 제공하는데 적합한 수업 모델이라 생각된다. 표현적 접근법으로 수학 기호를 지도하기 위해서는 특정한 수학 내용을 학습할 때 학생들의 수학적 상징화 방법의 발전과정과 수학적 상징화 과정의 교수학적 특징에 대한 분석이 필요하다. 이에 본 연구에서는 초등학교 1학년 학생에게 수학적 상징화 활동 즉, 표현적 접근법에 의거한 교수실험을 실시하여 수학적 상징화 방법의 발전 과정과 그 특징을 분석하였다.
최근 20여 년 동안 국제적으로 기호학의 관점에서 수학교육에 대한 다양한 연구와 실천이 진행되어 오고 있다. 멀티미디어는 표현 매체이며 기호로서 수학 및 수학교육과 다양한 관계를 가지고 상호 작용한다. 수학 및 수학교육의 활동은 기호학의 관점에서 기호적 활동으로 영향력, 역할 그리고 범위가 확대될 것으로 예상된다. 본 논문에서는 기호학의 기본 개념을 소개하고 수학교육에서의 적용 가능성을 제안하였다. 개념, 표상, 사회적 구성주의, 문화와의 맥락에 관한 수학교육의 기존 연구와 기호학관점의 연구는 유사성을 갖는다. 기호학의 관점에서 산술학습, 연역법, 귀납법, 가추법과 퍼스의 기호-삼항틀 적용 사례, 기하의 명제들 사이의 퍼스-삼항틀 관계, 대칭과 증명을 다루는 기하학습 등을 제시하였다.
수학 학습에서 기호는 용어의 수학적 의미를 함축적으로 표현하여 용어와 관련된 학습 내용을 간결하게 나타낸다. 초등학교 수학 교과서의 기호는 기호를 처음 접하는 학생이 기호의 수학적 의미를 읽고 이해할 수 있게 제시되었다. 중학교 수학 교과서에서도 대부분의 기호는 읽고 이해할 수 있게 서술되었지만 교과서에 따라 기호 자체의 서술과 기호와 관련된 내용이 명확하지 않거나 서로 다르게 제시된 사례가 있다. 본 논문은 중학교 수학 교과서에서 기호를 읽고 이해할 수 있게 서술하는 것과 관련하여 교수 학습에 나타날 수 있는 문제점을 논의하고, 이에 대한 시사점을 제시하였다.
지난 수십 년 동안, 구성주의의 자장 속에서 많은 수학교육이론은 학습 주체가 자신의 능동적인 구성 작용을 통해 스스로 수학적 의미를 구성하고 정교화 한다고 주장하였다. 하지만 최근 이루어지는 기호학적 접근은 수학적 인지의 수동적이고 집단적인 측면을 강조하며 위와 같은 구성주의의 기조를 문제시하고 있다. 본고에서는 Deleuze의 기호에 대한 논의 그리고 주의에 대한 선행연구의 통찰을 이용하여, 수학 교수-학습 과정을 설명하는 새로운 틀을 제시하고자 한다. 분석 결과, 수학적 의미는 기호에 의해 강제적이고 수동적으로 학습 주체 앞에 모호하게 펼쳐진다는 점 그리고 교사와 학생은 그 모호한 의미를 공동으로 전환하며 명료하게 만들어나간다는 점이 밝혀졌다. 이러한 관점은 과제와 교사의 역할을 재고하도록 하는 출발점이 된다.
수학 학습 과정에서 학생들은 기호를 표현하고 해석하는 활동을 경험한다. 본 연구에서는 이러한 활동을 수학기호의 기호화와 해석화라 하고, Peirce의 삼원적 기호 모델을 토대로, 학생들이 "키가 크면 발도 크다"라는 대상체에서 상관관계에 대한 해석을 할 수 있도록 표현체를 구성하는 과정을 분석하였다. 영재교육원에 재학 중인 중학생들은 통계 자료를 정리하고 자신만의 기호를 만든 후 전체 학급토론을 통해 규약적 기호가 무엇인지 학습하였다. 그 과정에서 학생들은 교사의 의도에 포함되지 않았던 세부적인 기호화와 해석화를 이행하고, 기존 기호형판에 의존했으며, 자발적으로 반성의 해석화를 하였다. 수학 학습에서 기호화와 해석화가 지속적으로 일어나는 것을 볼 때, 수학 학습 지도에서는 수학기호의 표현과 의미가 함께 구성될 수 있도록 하는 기호의 사용과 해석에 대한 교사의 안내 그리고 해석체와 표현체의 협상과 규약화가 이루어질 수 있도록 하는 학생들의 노력이 필요할 것이다.
수학교육학 연구 중에서 기호학적 연구는 Saussure, Peirce, Frege의 기호학에 근거하고 있음을 알게 된다. 이들 선행연구는 기호학의 관점에서 개념을 다루어 왔지만 기호학의 요소들의 관계와 개념의 형성과 발전 과정은 여전히 많은 부분이 모호하고 베일에 싸여 있다. 본 논문은 기호학의 관점에서 기호학의 한 요소인 표현에 의해서 개념이 어떻게 형성되고 발전하는지를 보이고자 하였으며 이 과정에서 기호학의 세 요소인 표현, 개념, 대상의 관계를 부분적으로 조명하고자 하였다.
본 연구는 일 년간 행해진 두 명의 중학교 1학년 학생들과의 교육실험 자료로부터 '경우의 수'를 다룬 문제를 푸는 과정에서 어떻게 두 학생들이 자신들의 곱셈 추론양식을 수정, 변경해 나가며, 표현된 기호들과 상호작용을 해 나가는 지 보여주고 있다. Damon은 그의 곱셈적 추론방식을 수정하여 순환적 곱셈 추론의 구성단계에 있으며, Carol은 여전히 이원적 곱셈 추론 도식에 머물러 있는 것으로 보여 졌다. 이 연구는, 학생들이 그들 자신이 구성한 또는 교사에 의해 제시된 기호들을 다루는 과정에서 두 학생들이 겪는 어려움을 통해, 교사의 관점에서 잘 구성된 기호양식이라 하더라도, 그것이 반드시 학생들의 수학적 능력향상으로 연결되지 않을 수도 있음을 보여주고 있다.
기하적 성질을 이해하고 받아들이는 데 있어서 중요한 직관은 학습을 통해서도 형성될 수 있다. 본 연구는 2명의 학생을 대상으로 기호화, 문장화, 증명 과제를 수행하게 하여 기하 증명에서 기호의 중재에 의한 직관의 형성 과정을 살펴본다. 학생들에게 자명하고 당연하게 여겨지는 단정적 직관의 유무에 따라 기호가 어떤 역할을 하는지 살펴보고, 예상적 직관이 형성되지 않은 증명 문제에서 학생들이 기존 지식을 활용하여 증명을 완성하는 과정을 기호의 의미작용에 의해 설명한다. 마지막으로 피타고라스의 정리에 대해 기호의 중재에 의해서 결론적 직관이 형성되는 과정을 살펴본다.
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[게시일 2004년 10월 1일]
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