• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제27권3호
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• pp.351-373
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• 2017

나눗셈의 의미는 수의 범위가 확장되어도 연결된다. 즉, 자연수 범위에 적용되는 나눗셈의 의미는 분수 및 소수를 다루는 유리수 범위로 확장되어도 적용가능하다. 이러한 측면에서 자연수의 나눗셈과 분수의 나눗셈, 소수의 나눗셈을 서로 연결하여 가르치는 것은 수학의 내적 연결성을 통하여 나눗셈을 의미 있게 학습하는데 도움이 될 것이다. 본 연구에서는 5학년 2학기에 제시되는 분수의 나눗셈과 소수의 나눗셈 단원을 나눗셈의 의미와 절차가 연결되도록 재구성한 뒤 수업을 실행하고 분석하였다. 연구 결과, 학생들은 수의 범위가 확장되더라도 나눗셈의 의미를 이해하여 문제를 해결하거나 만들 수 있었다. 또한 문제 해결 과정에서 자연수의 나눗셈, 분수의 나눗셈, 소수의 나눗셈의 원리를 이용할 수 있었다. 단, 일부 학생들의 경우 나눗셈 의미를 이해하지 못하여 잘못된 나눗셈식을 세우거나 문제를 만들었으며, 특정한 해결 절차만을 선호하는 모습도 발견할 수 있었다. 본 연구를 통하여 초등학교 전 과정에 제시되는 나눗셈을 연결성을 강조하여 의미 있게 지도 학습할 수 있는 방향을 모색하는데 도움이 되기를 기대한다.

• 대한수학교육학회지:수학교육학연구
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• 제17권2호
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• pp.147-162
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• 2007

본 논문은 교수를 위한 중학교 수학교사들의 수학적 지식을 조사한 저자의 학위논문의 일부분으로써, 19명의 한국 및 중국 중학교 수학교사들의 분수 나눗셈(division by fractions)에 대한 개념적 실생활 모델을 조사, 분석하였다. 분수 나눗셈에 대한 이론적 배경을 제공함과 동시에, 실제 현장 교사들이 가지고 있는 분수 나눗셈에 대한 개념적 이해를 조사, 분석함으로써 분수 나눗셈을 효과적으로 가르치기 위한 교사 지식의 구체적 예들을 제공하고 있다. 본 연구에서는, 연구에 참가한 교사들 대부분이 분수 나눗셈을 "역수 곱하기(invert and multiply)"와 같은 전통적 알고리즘에 기초하여 이해하고 있었으며, 분수 나눗셈의 의미를 실생활 모델로 나타내는 교수과제를 성공적으로 수행한 교사는 단 두 명에 뿐이었다. 이러한 현상은 그 교사들 대부분이 가지고 있는 범자연수 나눗셈 모델이 분할 모델 (partitive model)로 제한되어 있기 때문이었다. 하지만, 또 다른 흥미로운 연구 결과는, 교사가 분할모델 만을 가지고 있더라도, 그 모델의 개념적 구조(conceptual structure)를 깊이 이해하고 있을 때는, 그 기본적 개념 구조를 변형하여 분수 나눗셈의 실생활 모델을 응용해 내는 사고의 융통성을 보였다. 본 논문에서는 이러한 교사들의 성공적 사례뿐만 아니라, 주어진 교수 과제를 수행하는데 실패한 교사들의 인터뷰결과들도 분석, 해석하여 제공하였다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제6권3호
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• pp.235-249
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• 2004

본 연구는 우리나라의 예비 초등 교사들이 분수 나눗셈 1$\frac{3}{4}$$\div$$\frac{1}{2}$에 적합한 문장제를 만들 때 나타나는 오류 유형과 만든 문장제의 유형을 분석한 것이다. 우리나라 예비 초등 교사들은 미국이나 중국의 교사들처럼 '$\frac{1}{2}$로 나누기'를 '2로 나누기'로 오해하는 일상 언어와 수학적 언어 사용의 불일치에 기인하는 구조적인 오류를 다수 보였으며, 계산결과만 생각하여 구조적으로 다른 1$\frac{3}{4}$$\times$2에 적합한 문장제를 만드는 새로운 유형의 오류도 보이고 있다. '포함제' 자체에는 익숙하지만 몫이 자연수가 아닌 분수 나눗셈 상황에서 포함제가 지니는 문제점에 대한 인식은 매우 부족한 것으로 나타났으며, '단위 비율의 결정', '곱셈의 역 상황'이라는 분수 나눗셈의 의미에 대한 이해가 매우 부족한 것으로 나타났다. 따라서 예비 초등 교사들을 위한 교육에서는 분수의 나눗셈에서 단위 비율의 결정, 곱셈의 역연산으로서의 나눗셈의 의미를 다양한 실제 상황 및 맥락과 관련지어 이해하게 하는 지도가 이루어질 필요가 있다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제7권2호
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• pp.103-121
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• 2005

이 연구에서는 남북한, 중국, 일렬의 초등학교 수학 교과서를 비교$\cdot$분석하여 분수 나눗셈 알고리즘 도입을 위한 교재 구성 및 학습 지도의 개선 방향을 제안하고자 한다. 이를 위해 먼저 분수 나눗셈 알고리즘의 의미를 '포함제', '단위비율 결정', '비 또는 측정 단위 세분', '곱셈의 역연산', '분수의 곱셈으로부터의 유추'의 다섯 맥락에서 살펴보았다. 이어 북한, 중국, 일본 그리고 우리나라 초등학교 수학 교과서의 분수 나눗셈 알고리즘 도입 및 전개 방법의 특징을 분석하였다. 이러한 분석으로부터 얻은 시사점은 다음의 다섯 가지이다. 첫째, 제수의 역수의 의미와 제수의 역수를 곱하는 의미를 명확하게 드러내도록 다루어야 한다. 둘째, 분수 나눗셈을 단위비율 결정 맥락에서 도입하는 방안을 검토하여야 한다. 셋째, 현재 <7-가 단계> 용어인 '역수'를 <6-나 단계> 분수의 나눗셈 지도 장면에서 제기하거나, 적어도 역수의 의미가 드러나도록 지도하여야 한다. 넷째, 분수 나눗셈은 다양한 맥락에서 풍부한 의미로 전달되어야 한다. 끝으로 <5-나 단계>, <6-나 단계>에 걸쳐 여러 지엽적인 주제로 세분되어 있는 현재의 분수 나눗셈 단원 구성은 포괄적이고 통합적인 방식으로 구성하여야 한다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제11권1호
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• pp.71-91
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• 2009

본 논문은 기본적인 계산능력이 뛰어난 초등학교 6학년 학생 2명을 대상으로 분수 나눗셈 문제를 해결하는 과정에서 나타나는 연산 감각을 분석하였다. 구체적으로 학생들이 분수 나눗셈의 다양한 의미와 모델을 어떻게 이해하고 있는지, 분수 나눗셈 알고리듬의 의미를 어떻게 이해하고 있는지, 그리고 이러한 연산의 의미와 성질을 어떻게 응용하는지에 대해 임상 면담을 통해 면밀하게 탐색하였다. 구체적인 에피소드를 바탕으로 연산감각의 구성요소별로 두 학생의 질적 차이를 분석하고, 이를 기초로 하여 초등학교 고학년에서 연산 감각 자체를 보다 집중적으로 조명해 볼 필요가 있다는 점을 강조하였다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제11권4호
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• pp.685-706
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• 2009

이 연구는 분수의 곱셈 나눗셈에 관련한 교수-학습을 의미 있게 도울 수 있는 맥락화가 왜 필요하며, 어떻게 가능한지, 또한 효과적인 맥락화의 활용 방안은 무엇인지를 탐구하는 것을 목적으로 한다. 이를 위해 자연수에 대하여 분수의 곱셈 나눗셈 상황의 차이는 무엇인지를 살펴보고, 그 차이에 따라 분수의 곱셈에서는 승수인 연산자의 역할을 이해할 수 이는 맥락을 설정하여, 단위의 변화에 대한 인식을 하도록 하였다. 분수의 나눗셈에서 포함제는 그 몫이 이산량인 경우이면 남은 양이 생길 수 있고, 연속량인 경우에는 분수로 그 몫을 표현해야 하는 맥락으로 구분지었다. 그리고 등분제의 맥락은 자연수의 등분제의 맥락과 연결시켜 새롭게 제시하여, 자연수의 나눗셈에서 분수의 나눗셈으로 형식화되는 3단계의 효과적인 학습 방법을 제안하였다. 이로써 교사와 학생들의 분수의 곱셈과 나눗셈의 교수-학습 과정에 있어서 유의미한 알고리즘의 습득에 도움을 줄 수 있을 것으로 기대한다.

• 대한수학교육학회지:학교수학
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• 제9권1호
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• pp.13-28
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• 2007

학생들이 분수 나눗셈을 이해하기 어려워하는 이유 중 하나는 분수 나눗셈의 구체화가 어렵고 불충분하기 때문이다. 측정 맥락과 분할 맥락의 구체화에 비해 곱과 인수 맥락에서의 구체화는 상대적으로 부족한 실정이다. 이 연구에서는 카테시안 곱의 역 맥락에서 분수 나눗셈 알고리즘을 구체화하였다. 카테시안 곱의 역 맥락에서 이루어져 있는 기존의 분수 나눗셈 구체화의 한계를 논의하고, 세로의 길이를 고정하고 가로의 길이를 1 또는 자연수로 만드는 방법과 넓이가 1인 직사각형을 이용하는 방법으로 분수 나눗셈을 제시하였다. 이와 같은 방법은 제수의 역수의 의미, 제수를 1로 만드는 것의 중요성, 기존 학습 내용과의 연결성, 다양한 접근 가능성 면에서 장점이 있다. 이와 같은 장점을 살려 카테시안 곱의 역 맥락에서 분수 나눗셈 알고리즘을 도입하는 것을 고려할 수 있다.

• 한국수학교육학회지시리즈C:초등수학교육
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• 제14권3호
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• pp.317-328
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• 2011

본 연구에서는 예비초등교사 65명을 대상으로 그 결과가 이산량과 나머지로 표현되는 포함제 맥락의 분수 나눗셈 문장제를 풀도록 하여 그 풀이과정을 수집하고, 65명 중 임의로 선발된 5명과의 심층 면담을 실시하여 이를 분석하였다. 분석 결과 예비초등교사 중 상당수는 분수 나눗셈의 계산 결과를 해석하는 과정에서 자연수를 제외한 진분수 부분 또는 1보다 작은 소수 부분의 의미를 정확하게 이해하고 있지 못했다. 포함제 맥락의 분수 나눗셈을 포함제 맥락의 자연수 나눗셈으로 바꾸어 계산해 버리는 오류를 범하는 경우도 있었다. 이러한 연구 결과는 예비초등교사들에게 문장제를 만드는 과정 뿐 아니라 문장제를 주어진 맥락에 맞게 해결하고 그 계산 결과를 주의 깊게 해석하는 경험을 포함하는 치밀한 교육프로그램을 제공할 필요가 있음을 시사한다.

• 한국초등수학교육학회지
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• 제17권3호
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• pp.431-455
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• 2013

이 논문에서는 분수가 가지는 다양한 의미를 개념(비율, 작용소, 나눗셈)과 모델(전체-부분, 측정, 분배)의 두 범주로 분류하고, 그것이 한국의 초등수학 교과서에서 어떤 양상으로 나타나는지 조사하였다. 이를 바탕으로 초등수학에서 분수 지도에 대한 시사점을 도출하였다. 첫째, 분수의 다양한 개념과 모델을 상호 보완적으로 활용함으로서 통합된 하나의 분수 개념을 형성해야 한다. 둘째, 분수의 다양한 개념과 모델을 명확히 변별하고 그 도입시점을 명확히 함으로써, 암묵적인 사용 혹은 애매한 사용을 피해야 한다. 셋째, 현재 한국의 교과서는 측정모델의 사용 방법의 개선이 필요하다. 그것을 보다 명시적으로 정의할 필요가 있으며, 분수 곱셈과 나눗셈의 알고리즘 설명에서 보다 적극적으로 활용해야 한다.

• 한국수학교육학회지시리즈E:수학교육논문집
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• 제26권3호
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• pp.301-316
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• 2012

Ball, Thames, Phelps(2008)는 수학을 가르치는 교사에게는 특별히 수학 가르침을 위한 지식(MTK)이 필요하다고 주장을 하면서 그 하위 영역으로 학생들이 분수의 나눗셈을 수행하는 것에 대해 평가할 수 있는 교사의 능력과 같이 특정 영역에 대한 지식과 기술을 의미하는 전문화된 내용 지식(SCK)을 제시하였다. 본 연구에서는 초등 6학년 학생들에게 교과서에서 유일하게 제시된, 문장제 만들기, 즉 분수 나눗셈 $9/10{\div}2/5$에 알맞은 문장제 문제를 만들게 하였고, 이들이 제시한 답의 유형을 네 가지의 유형으로 분류하였다. 각 대표적인 유형의 답들을 선택하여 초등 6학년을 지도한 경험이 있는 10명의 교사들에게 제공하였고, 이 답들에 대한 평가를 하는 과정에서 나타나는 오류와 분수 나눗셈에 대한 문장제의 의미를 통해 교사들의 전문화된 내용 지식(SCK)을 분석하였다.