압밀시험의 수치해석에 의한 MCC 모델과 SSC 모델 비교

Comparison of MCC and SSC Models Based on Numerical Analysis of Consolidation Test

Abstract

In order to integrate two consolidation theories of Terzaghi's consolidation theory and Mesri's secondary compression theory and to identify a model suitable for analyzing stress-strain behavior over time, numerical analysis on consolidation tests were conducted using a modified cam-clay model and a soft soil creep model and the following conclusions were obtained. The results of numerical analysis applying the theory that a linear proportional relationship is established between the void ratio at logarithmic scale and the permeability coefficient at logarithmic scale is better agreement with the result of oedometer test than the results of applying constant hydraulic conductivity. The modified cam-clay model is a model that does not include secondary compression, but the slope of the normal consolidation line corresponding to the compression index of the standard consolidation test includes secondary compression, so the actual settlement curve over time is lower than the predicted value through numerical analysis. It always gets smaller. Other previous studies that applied Terzaghi's consolidation theory to consolidation test analysis showed the same results and were cross-confirmed. The soft soil creep model, which includes secondary compression in the theory, showed good agreement in all sections including secondary compression in the consolidation test results. It was judged appropriate to use a soft soil creep model when performing numerical analysis of soft clay ground.

Ⅰ. 서론

2차 압축은 Terzaghi (1923)의 1차 압밀이 종료된 이후 수년에서부터 수십, 수백 년에 걸쳐 진행되지만 그 침하량이 작다는 논리로 구조물의 설계 수명의 범위에서는 무시되는 경향이 있고 2차 압축을 설명할 수 없는 Terzaghi의 압밀이론이 여전히 사용되고 있다. 그러나 연약 점토 지반에서 배수 경계면에 가까운 영역에서는 1차 압밀이 신속하게 종료되고 2차 압축이 시작되므로 각각의 지반 영역에서 발생하는 침하가 합산되어서 나타나는 지표면의 침하에는 1차 압밀에 의한 침하와 2차 압축에 의한 침하가 혼재되어 있다. 이러한 현상을 무시하고 1차 압축만을 설명할 수 있는 압밀이론을 적용하면 근본적인 한계를 갖게 된다.

Terzaghi는 압밀이론을 유도하면서 투수계수가 일정한 것으로 근사화하였으나 Mesri and Rokhsar (1974)는 압밀이론을 개발하면서 Terzaghi의 압밀이론에서 압밀이 진행되는 동안 투수계수가 일정하다는 가정을 실제 상황에 근접하게 수정하면서 Taylor (1948)의 공극비의 변화와 투수계수의 대수적 변화가 비례한다는 제안을 적용하였다.

2차 압축은 Buisman (1936)이 시간의 대수 축척과 선형 관계가 있다는 것을 제시한 이래 Bjerrum (1967), Garlanger (1972) 등 많은 연구가 진행되었고 Mesri (1973)가 2차 압축지수를 제시한 후에 보편적으로 많이 사용되고 있다.

Malvern (1951)에 의해서 도입되고 Perzyna (1966)에 의해서 보완된 과부하 개념은 흙의 점성 거동을 연구하는데 혁신적인 개념이었고, Sekiguchi and Ohta (1977)가 제안한 cam-clay model 기반 구성방정식과 Adachi and Okano (1974), Adachi and Oka (1982), Nova (1982), Yin and Graham (1999) 등이 제안한 modified cam-clay (MCC) 모델 기반 구성방정식들의 기초가 되었다.

Vermeer and Neher (1999)는 MCC model을 확장하여 2차 압축을 해석할 수 있는 soft soil creep model (SSC)을 제시하였다. Leoni et al. (2008)은 SSC 모델을 더욱 확장하여 creep 거동이 이방성을 나타내는 점토에 대해서도 해석할 수 있는 모델을 제시하였다.

Lee and Cho (2016)은 점토의 2차 압축 특성과 연약 점토 지반에 건설된 콘크리트궤도 철도의 궤도 수명과의 상관성을 분석하기 위해서 Mesri의 2차 압축지수를 적용하였다. Jeong (2020)은 Yoshikuni et al. (1994)의 점탄성압밀이론을 실내시험에 적용하여 2차 압축 침하구간까지 잘 일치한다고 하였다. Yoshikuni et al. (1994)의 모델에서도 Mesri (1973)의 2차 압축 지수를 사용한다.

이와 같이 많은 모델들이 개발되었으나 검증하는 방법은 기존의 다른 모델과 동일한 조건으로 수치해석을 하여 비교하거나 현장 계측 자료와 비교하는 방법들을 많이 적용하였다. 기존의 다른 모델들과 비교하는 것은 새로운 모델의 안정성을 확인할 수는 있겠으나 흙의 실제 거동을 얼마나 정확하게 해석하는지 판단하는 것에는 한계가 있다. 현장 계측 자료는 많은 인자들의 영향을 받기 때문에 기존의 모델들을 적용하는 경우에도 신중히 고려해야 한다. 그러나 실험실의 통제된 환경에서 수행한 실험결과를 수치해석으로 모사하고 실제 시험 결과와 비교하면 모델이 실제 흙의 거동을 얼마나 적절하게 해석하는지를 좀 더 정확하게 평가할 수 있다.

이 연구에서는 현재 연약지반의 수치해석에서 많이 사용되고 있는 modified cam-clay (MCC) model과 이 모델을 2차 압축을 해석할 수 있도록 개선한 soft soil creep (SSC) model을 비교하려고 한다. 이를 위해서 표준 압밀 시험과 동일한 조건을 부여하여 각 모델로 해석한 결과와 실제 압밀 시험 결과를 비교하여 모델의 정확성을 검토하려고 한다. 또한 압밀이 진행되는 동안 투수계수가 일정하다는 조건과 변한다는 조건으로 압밀 수치해석을 하여 각 조건들의 타당성을 평가하고자 한다.

Ⅱ. 재료 및 방법

1. 해석에 사용한 압밀 시험 자료

이 연구에서 사용한 압밀 시험 자료 (Fig. 1)는 Kwon and Eam (2023)이 2차 압축 적용 시점에 대해서 연구한 자료이다. 경남 양산에서 채취한 이 시료는 침하량이 크고 각 하중 단계별 침하곡선이 Terzaghi (1923)의 압밀이론과 비슷하게 전형적인 S형태를 나타내고 있어서 압밀 연구에 적합한 것으로 판단하여 선정하였다.

Fig. 1 Settlement over time curves on each load steps from the Oedometer test (Kwon and Eam, 2023)

Mesri and Rokhsar (1974)는 연약점토에서 공극비와 투수계수는 식 (1)과 같은 관계가 있다고 제안하였다.

Δe = c_kΔlogk       (1)

여기서 Δe : 공극비의 변화량

Δlogk : 투수계수의 변화량 (대수축척)

c_k : 투수계수감소비 (비례상수)

이 연구에서는 투수계수가 압밀 전체 하중 단계에서 일정한 경우와 모든 압밀과정에서 초기 공극비에서의 투수계수가 식 (1)과 같은 비율로 감소하는 경우를 설정하고 유한요소해석에 의한 시간에 따른 침하 곡선이 실험에 의한 곡선과 일치할 때까지 시행착오법으로 두 경우의 투수계수를 각각 탐색하였다. Fig. 1에 나타낸 압밀 시험 결과로부터 Terzaghi의 압밀이론에 의한 투수계수를 각 하중 단계별로 산정하여 Fig. 2에 나타내었다. Terzaghi는 압밀이 진행되는 동안 투수계수가 일정하다고 가정하였고 특정 하중 단계 내에서 공극비의 변화가 크지 않다면 압밀 시점과 종점의 평균 공극비에 대한 평균 투수계수를 사용할 수도 있겠으나 전체 하중 단계에 대해서 살펴보면 Terzaghi의 이론으로 산출한 경우에도 공극비와 대수축척의 투수계수가 선형적으로 비례한다는 것을 알 수 있고 Taylor (1948)의 제안이 적합한 것으로 확인된다. Kwon and Eam (2023)은 과압밀영역에서는 소성변형에 해당하는 1차 압밀이 이미 일어난 상태이므로 이론적으로는 1차 압밀 침하가 진행되는 것으로 해석하는 것은 부적절하지만 시간에 따른 침하곡선이 약한 S곡선의 경향을 나타내기 때문에 curve fitting이 가능한지를 확이하기 위해서 해석을 하였으며 적용 조건의 적정성과는 무관하게 두 곡선을 비교적 잘 일치시킬 수 있었다고 하였다. 압밀 응력이 39 kPa인 경우에 산출된 투수계수가 전후의 투수계수보다 크게 나타난 원인도 과압밀영역에 해당하기 때문에 신뢰성이 낮은 것으로 판단하였다.

Fig. 2 Hydraulic conductivities estimated from Kwon and Eam’s consolidation data of fig. 1

2. 수치해석모델

MCC model (Roscoe et al., 1958; Roscoe and Burland, 1968)은 한계 상태 이론으로부터 항복점이 변형에 따라서 변화하는 경화 탄소성 모델로서 식 (2)와 같은 cam-clay 경계상태면에 대한 구성식을 사용한다.

\(\begin{align}q=\frac{M \cdot p^{\prime}}{\lambda-\kappa} \cdot\left(\Gamma+\lambda-\kappa-v-\lambda \cdot \ln p^{\prime}\right)\end{align}\)       (2)

여기서 M : p′ - q′ 평면에서 한계상태선의 기울기

p′ - q′ : \(\begin{align}p^{\prime}=\frac{\sigma_{1}^{\prime}+\sigma_{3}^{\prime}}{2}, q^{\prime}=\frac{\sigma_{1}^{\prime}-\sigma_{3}^{\prime}}{2}\end{align}\)

σ'₁, σ'₃ : 각각 유효최대주응력, 유효최소주응력

Γ : p′ = 1.0 (혹은 lnp′ = 0)일 때 한계상태에서의 비체적

κ : 등방 과압밀(팽창)선의 기울기

λ : 등방 정규압밀선의 기울기

v : 비체적 (= 1 + e)

e : 공극비

경계 상태면은 정규압밀선 사이의 v - p′평면과 교차하고 이때 q′ = 0, v = N - λ·lnp′이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

N - Γ = λ - κ       (3)

여기서 N : p′ = 1.0 (혹은 lnp′ = 0)일 때 등방 정규압밀선의 비체적

Table 1 Physical and mechanical properties of soil (Kwon and Eam, 2023)

Table 2 The initial elastic modulus estimated from the instant settlement obtained by analyzing the results of the standard consolidation test (Kwon and Eam, 2024)

위의 인자들은 압밀 비배수 삼축압축시험과 표준압밀시험으로부터 구할 수 있고, 다음과 같은 관계가 있다.

\(\begin{align}M=\frac{6 \cdot \sin \phi^{\prime}}{3-\sin \phi^{\prime}}\end{align}\)       (4)

\(\begin{align}\lambda=\frac{C_{c}}{2.303}\end{align}\)      (5)

여기서 C_c : 표준압밀시험의 e - log₁₀σ′ 그래프에서 정규 압밀선의 기울기

σ′ : 압밀응력

\(\begin{align}\kappa=\frac{C_{s}}{2.303}\end{align}\)       (6)

여기서 C_s : 표준압밀시험의 e - log₁₀σ′ 그래프에서 과압밀선의 기울기 cam-clay model에서는 식 (7)을 적용한다.

Γ = N - (λ - κ)       (7)

MCC에서는 식 (8)을 적용한다.

Γ = N - (λ - κ) · ln2       (8)

Vermeer and Neher (1999)은 MCC model과 Mesri (1973)의 2차 압축을 결합하여 SSC model을 제시하였다.

식 (9)는 SSC model의 일부를 나타낸 것으로 시간 의존적인 전체 변형률 속도 (\(\begin{align}\dot{\epsilon}\end{align}\))를 나타낸다.

\(\begin{align}\dot{\epsilon}=\dot{\epsilon}^{e}+\dot{\epsilon}^{c}=\frac{\kappa}{1+e_{0}} \frac{\dot{\sigma}}{\sigma}+\frac{\mu}{1+e_{0}} \frac{1}{\tau}\left(\frac{\sigma}{\sigma_{p}}\right)^{\frac{\lambda-\kappa}{\mu}}\end{align}\)       (9)

\(\begin{align}\sigma_{p}=\sigma_{p 0} \exp \left[-\left(\frac{1+e_{0}}{\lambda-\kappa}\right) \epsilon^{c}\right]\end{align}\)       (10)

\(\begin{align}\mu=\frac{C_{\alpha}}{2.303}\end{align}\)       (11)

여기서 \(\begin{align}\dot{\epsilon}^{e}\end{align}\) : 탄성 거동에 의한 변형률 속도

\(\dot{\epsilon}^{c}\) : 시간 의존적인 크리프 변형률 속도

ε^c : 시간 의존적인 크리프 변형률

e₀ : 초기공극비

σ : 재하응력

\(\dot{\sigma}\) : 재하응력의 변화율

μ : 크리프 지수

C_⍺ : Mesri (1973)의 2차 압축지수

τ : 기준 시간, 하루에 해당하는 시간

σ_p0 : 초기 선행압밀응력. SSC model에서는 선행압밀응력이 creep 변형률에 따라서 변한다.

각 해석 사례별 수치해석 모델과 투수계수 조건을 Table 3에 나타내었다. MCC모델로 투수계수를 고정한 경우와 공극비에 따라서 식 (1)과 같이 변하는 경우로 구분하여 해석을 하고 후자의 해석 결과가 더 타당하였기 때문에 MCC 모델을 개선한 SSC 모델을 적용하는 경우에는 투수계수에 식 (1)을 적용하여 해석하였다. 수치해석은 MIDAS GTS NX V340R1을 사용하였다. 해석을 위한 유한요소메쉬는 압밀 시험 시료 크기인 직경 0.06 m, 높이 0.02 m인 원통형 3차원 솔리드 메쉬를 작성하였다. 시료는 X-Y 평면에 놓여 있고 중력은 Z축의 음의 방향으로 작용한다. 시료의 측면을 구속하는 압밀링을 모사하기 위해서 원통형 유한요소메쉬의 측면에 있는 절점들은 X축과 Y축의 변형을 구속하였다. 원통형 유한요소메쉬의 바닥면에 있는 절점들은 시료가 압밀시험기에 거치되어 있는 상황을 모사하기 위해서 X, Y, Z 축의 변형을 구속하였다. 압밀시험의 양면배수조건을 모사하기 위해서 원통형 유한요소메쉬의 상면과 하면에 배수조건을 적용하여 과잉공극수압이 0으로 유지되도록 하였다. 5 kPa∼1255 kPa까지 9단계의 재하를 모사하기 위해서 각각의 압밀응력을 하중조건으로 생성하고 각 하중조건을 1초 동안 재하한 후 24시간 동안 방치하는 조건을 부여해서 해석하였다. 경계조건과 하중조건 및 배수조건을 시각적으로 표현한 원통형 3차원 솔리드 메쉬를 Fig. 3에 나타내었다.

Table 3 Analysis cases according to numerical model and the condition of hydraulic conductivity

Fig. 3 Finite element mesh and boundary conditions for numerical analysis of consolidation tests

수치해석모델의 인자들은 각각의 역할이 있으므로 표준압밀시험과 같이 측방유동을 구속하고 상면 전체에 재하하여 전단변형을 억제하고 일축 압축을 시키는 조건에 대해서 해석하는 경우에는 각각의 인자들의 영향을 좀 더 명확하게 관찰할 수 있다. 예를 들어 κ를 변화시키면 과압밀영역에서 시간에 따른 침하곡선이 변하는 것을 확인할 수 있다. λ를 변화시키면 정규압밀영역에서의 침하곡선이 변한다. M를 변화시키면 측방유동과 전단변형에 의한 침하량이 변하겠지만 표준 압밀시험을 모사하는 경우에는 결과에 큰 영향을 나타내지 않는다. μ를 변화시키면 2차압축에 해당하는 침하곡선의 형상이 변한다. 식 (1)의 투수계수 k를 변화시키면 각 하중 단계별 침하곡선에서 1차 압밀 종료 시점이 변한다. c_k를 변화시키면 전체 하중 단계별 침하곡선에서 1차 압밀 종료 시점이 변한다. 선행압밀응력이나 과압밀비 (O.C.R.)을 변화시키면 최종침하량-log (압밀응력) 곡선 또는 공극비-log (압밀응력) 곡선에서 과압밀영역에서 정규압밀영역으로 변화는 전이영역에서의 형상과 이후 정규압밀영역에서의 직선부분의 위치가 변한다. 초기공극비나 투수계수 등 모델에 사용되는 나머지 인수들은 일부는 토질시험에 의한 값을 사용하거나 그 값을 초기 시작점으로 설정한 후 탐색할 수 있고 탄성계수 등은 삼축압축시험으로부터 구할 수도 있고 표준압밀시험으로부터 구할 수도 있다 (Kwon and Eam, 2024). 각 인자들의 일반적인 범위는 선행 연구 등 (Atkinson and Bransby (1978); Atkinson (1993); Ortigao (1995), Schofield and Wroth (1968); Wood (1990)에 의해 잘 알려져 있으므로 이 범위 내에서 목표로 설정한 침하곡선과 가장 일치하도록 각 인자별 특성을 고려하여 값을 변화시키면 특정 인자 값의 증가가 또 다른 인자의 값을 상쇄시키는 간섭효과를 감시하면서 모델 인자들을 결정할 수 있다.

Ⅲ. 결과 및 고찰

1. MCC model에 의한 압밀 시험의 수치해석

Fig. 4는 MCC model을 적용하여 유한요소법으로 수치해석한 결과 중에서 임의의 하중 단계와 임의의 재하 후 경과 시각에서 시료의 과잉공극수압의 분포를 나타낸 것이다. 인장을 양의 값으로, 압축을 음의 값으로 나타내었으며 약 –204 kPa∼0 kPa의 과잉공극수압 분포를 나타내고 있다. 일반적으로 낮은 값을 청색으로, 높은 값을 적색으로 표시하는데 압축을 음의 값으로 표시하였기 때문에 과잉공극수압의 소산이 늦어서 압력이 큰 시료의 중앙부분이 청색으로 표시되어 있다. 배수조건을 부여하여 재하 후 모든 경과시간 동안 시료의 밑면과 윗면은 과잉공극수압이 0을 유지하였다. 해석 결과를 이와 같은 그래픽으로 나타내면 개략적인 상태 파악만 가능하므로 이후 분석에서는 실험에서 측정된 시간에 따른 압밀 침하가 해석에서 시료 상면 중심부 절점의 변위에 대응하는 것으로 설정하고 분석하였다.

Fig. 4 Among the case 1 numerical analysis results, the pore water pressure distribution during consolidation

Fig. 5는 MCC model을 적용하고 투수계수가 압밀 전 구간에 걸쳐 일정하다고 설정한 case 1 조건에서 실험 결과와 잘 일치할 때까지 모델 인수들을 시행착오법으로 탐색한 것이다. 모델 인수들은 논문의 후반부에서 다른 해석 결과들과 비교 분석하고 여기에서는 해석된 거동 특성들만을 고찰하려고 한다. 압밀시험의 압축지수 (C_c) 및 재압축지수 (C_s)를 산정하는 e - logσ′ 곡선에 대응하는 침하량-압밀응력 곡선 (Fig. 5(a))이 최대한 일치하도록 식 (5)의 λ, 식 (6)의 κ, 그리고 선행압밀응력 (σ_p0)을 시행착오법으로 탐색했고 시간에 따른 침하곡선 (Fig. 5(b))이 최대한 일치하도록 투수계수 (k_z)를 시행착오법으로 탐색했다. MCC model은 기본적으로 2차 압축을 포함하지 않고 있음에도 모델 정수들은 2차 압축이 포함된 실험 결과로부터 산출하므로 Terzaghi의 압밀이론을 적용하는 압밀시험 규격인 한국산업규격 (KS F 2316)과 같은 조건이 형성된다. Kwon and Eam (2023)은 2차 압축이 포함된 실험 결과로부터 압축지수 (C_c)를 산출하면 실제 시간에 따른 압밀 침하량은 필연적으로 Terzaghi의 이론 곡선보다 작게 진행될 수밖에 없다고 하였다. Fig. 5(b)의 시간에 따른 침하 곡선을 살펴보면 이러한 상황이 거의 모든 정규압밀 영역에서 재현되고 있다는 것을 알 수 있다. 침하는 Z축의 음의 방향으로 변위가 발생하므로 음수로 나타내었다. Fig. 5(b)에서 세로로 기울어진 점선으로 나타낸 것은 유한요소법으로 해석한 각 압밀응력별 침하 곡선에서 두 번째 직선구간과 세 번째 직선 구간을 연장하여 압밀 종료 시점을 찾고 모든 재하 단계별 종료시점을 연결한 것이다. 종료 시점이 압밀 응력이 커질수록 빨라진다는 것을 알 수 있다. 반면에 실험 결과에서는 모든 정규 압밀 영역에서 종료 시점이 비슷하다. 따라서 투수계수를 시행착오법으로 탐색할 때 가장 잘 일치시킬 압밀 응력을 선정해야 했고 이 연구에서는 선행연구 (Kim ans Eam, 2014; Kwon and Eam, 2023)가 가장 많이 되어 있는 압밀응력 314 kPa에서의 침하곡선을 기준 곡선으로 설정하였다. 이 곡선보다 하중이 커지면 침하곡선의 편차도 더 커졌다.

Fig. 5 Comparison of the standard consolidation test and the case 1 numerical analysis results using the MCC model on the condition of constant hydraulic conductivity

Kwon and Eam (2024)은 임의의 재하 단계에서의 종료침하량을 기준으로 다음 재하 단계의 이론해석의 즉시침하량으로 부터 탄성계수를 산출하였다. 이 수치해석에서도 입력 정수 중에서 탄성계수는 압밀 시작 부분의 침하량에 영향을 미친다. 기준으로 설정한 314 kPa에서 침하 곡선과 가장 일치하도록 탄성계수를 시행착오법으로 탐색하였다. Kwon and Eam (2024)은 초기탄성계수가 압밀 응력에 따라서 변화하는 것으로 전제하고 쌍곡선 모델의 인자들에 적용을 하였다. MCC model에서는 탄성계수의 변화를 구현할 수 없고 GTS NX에서는 지반의 깊이가 증가해서 유효응력도 커지면 탄성계수도 증가하도록 설정할 수 있는 알고리즘을 구현하였으나 두께 0.02 m인 시료에는 반영할 수 없는 조건이고 깊이에 무관한 탄성계수의 증가는 반영할 수 없으므로 curve fitting의 기준으로 설정한 314 kPa 이외의 재하 단계에서는 즉시침하량도 차이를 나타내고 있다.

Fig. 6은 투수계수 이외의 인자들은 case 1 (Fig. 5)와 동일하게 적용하고 투수계수는 식 (1)을 적용하여 초기공극비에서의 포화투수계수 (k_z)와 투수계수감소비 (c_k)를 실험 결과와 가장 일치할 때까지 시행착오법으로 탐색한 case 2 해석 결과이다. 모든 재하 단계의 해석된 압밀 종료 시점이 비슷하므로 종료 시점을 연결한 세로 점선이 Fig. 5보다는 수직에 가깝게 나타났으며 실험 결과와도 더 잘 일치하고 있다. 따라서 향후 투수계수는 초기공극비에서 포화 투수계수를 기준으로 압밀이 진행되면서 감소하는 것을 전제로 해석하는 것이 적절할 것으로 판단하였다.

Fig. 6 Comparison of the standard consolidation test and the case 2 numerical analysis results using the MCC model on the condition of hydraulic conductivity varing according to void ratio

2. SSC model에 의한 압밀 시험의 수치해석

압밀 시험 결과는 명확하게 2차 압축을 드러내고 있으나 MCC model은 2차 압축을 해석할 수 없다. 따라서 이 모델을 개선해서 2차 압축을 해석할 수 있는 SSC model을 사용하여 압밀 시험 결과에 가장 근접한 결과를 얻을 때까지 모델 입력 정수를 시행착오법으로 탐색하였다. SSC model의 λ와 κ는 MCC model의 λ와 κ를 흙의 비체적 (1 + e)으로 나눈 값이며 원문 (Vermeer and Neher, 1999)에는 λ* 및 κ*로 표시되어 있으나 MIDAS GTS NX에서는 입력 정수들의 혼란을 피하기 위해 동일한 형태로 입력하도록 모델이 수정되어 있다. 따라서 MCC model의 해석된 값을 시작값으로 하고 시행착오법으로 실험 결과와 가장 일치하는 인자값들을 탐색했다. Fig. 7(a)는 λ와 κ를 탐색한 결과이다. 선행압밀응력을 나타내는 곡선부의 전후에서 서로 반대 경향의 편차가 약간 나타나고 있으나 전반적으로 실험 결과와 잘 일치하고 있다. 초기공극비에서의 포화투수계수 (k_z) 및 투수계수감소비 (c_k)는 case 2 해석 결과를 동일하게 적용하고 시간에 따른 침하곡선을 해석한 결과를 Fig. 7(b)에 나타내었다. 압밀응력이 628 kPa인 경우에는 침하량과 침하속도가 일치하고 있으며 314 kPa에서도 침하량은 SSC 모델에서는 0.001433 m이고 표준압밀시험에서는 0.001555 m로 압밀시험결과를 기준으로 SSC 모델은 약 8%의 차이를 보이고 있으나 침하 속도는 유사하다. 실무에서는 익숙한 MCC model을 많이 사용하고 있으나 2차 압축을 1차 압밀 침하량에 포함하여 시간에 따른 침하량을 과대평가하게 되므로 이를 개선한 SSC model을 사용하는 것이 적합하다고 판단하였다.

Fig. 7 Comparison of the standard consolidation test and the case 3 numerical analysis results using the SSC model on the condition of hydraulic conductivity varing according to void ratio

3. 해석된 모델 입력 정수의 비교 분석

Table 4에 case 1, case 2 및 case 3 해석에 적용한 모델 정수들을 나타냈다. MCC model은 해석을 시작할 때 현재 상태의 응력도 입력해야 하므로 각 절점의 응력을 계산하고 변위는 초기화하여 변위가 발생하지 않은 상태를 모사하는 사전 초기응력해석 단계가 필요하다. SSC model은 MCC model로부터 파생되었음에도 사전 초기응력해석을 할 필요가 없도록 개선되었으므로 초기응력해석을 본 해석에 사용하면 오류가 발생한다.

Table 4 The comparison of numerical analysis parameters

* : Atkinson and Bransby (1978); Atkinson (1993); Ortigao (1995), Schofield and Wroth (1968); Wood (1990)

MCC model을 사용한 case 1과 case 2의 탄성계수는 Kwon and Eam (2024)이 압밀응력 314 kPa인 경우에 산정한 초기탄성계수 3939 kPa (Table 2)를 참고하여 적용하였다. 314 kPa는 Fig. 5와 Fig. 6에서 시행착오법을 하면서 기준으로 설정한 재하 단계이다. Kwon and Eam (2024)이 제시한 것처럼 이전 단계 압밀의 종료 시점에서의 침하량과 현재 단계 압밀 침하 곡선의 시작 시점에서의 침하량과의 차이로 나타나는 즉시침하량은 초기탄성계수에 의해서 산출이 되는데 Fig. 5(b)와 Fig. 6(b)에서 압밀응력이 157 kPa인 경우의 종료 시점에서의 침하량과 314 kPa에서의 시작 시점에서의 침하량이 일치하고 있다는 것은 Terzaghi의 압밀이론을 적용한 경우에 산출한 초기 탄성계수의 타당성이 수치해석에 의해서 교차검증이 되었다는 것으로 해석할 수도 있다. 그러나 MCC model은 압밀링에 의해서 측방 변위가 구속된 조건으로 해석하는 경우에 탄성계수의 영향은 작고 정규압밀선의 기울기 (λ)와 과압밀선의 기울기 (κ)의 영향을 크게 받으므로 model의 한계라고 할 수 있다. SSC model을 사용한 case 3에서는 탄성계수를 case 1 및 case 2와는 다른 값을 사용하였다. 동일한 값을 사용하였더니 Fig. 7(b)에서 5 kPa에서의 즉시침하량이 압밀시험결과 보다 과도하게 크게 되어서 각 단계별 침하량이 모두 아래쪽으로 밀리는 결과를 나타내었다. 따라서 압밀시험결과와 가장 일치하도록 시행착오법으로 찾은 탄성계수를 사용하였다. Fig. 7(b)에서 압밀응력이 157 kPa인 침하곡선의 실험값과 해석된 값의 차이와 압밀응력이 314 kPa인 침하곡선의 시작 시점에서의 실험값과 해석된 값의 차이가 비슷하므로 Fig. 5(b) 및 Fig. 6(b)와 일관된 경향을 나타낸다. 종료 시점에서의 침하량 차이가 시작 시점의 침하량 차이보다 더 커서 압밀시험에 의한 즉시침하량보다 수치해석에 의한 즉시침하량이 Fig. 5(b) 및 Fig. 6(b) 보다 약간 작아진다는 것은 탄성계수가 4000 kPa 보다 큰 5000 kPa를 적용한 것으로 설명할 수 있다.

포아송비도 탄성계수와 마찬가지로 case 1과 case 2에서는 Kwon and Eam (2024)이 제시한 값 (Table 2)을 사용하였으나 case 3에서는 Fig. 7(b)의 5 kPa에서의 즉시 침하량이 압밀시험결과보다 과도하게 크게 되었다. 따라서 흙 입자와 공극수를 비압축성으로 설정하면 포아송비는 0.5이지만 수치해석 오류를 피하기 위해서 0.49를 적용하였다.

모든 재하 단계를 포함한 압밀 시험 전체 기간 동안 투수계수 (k_z)가 일정하다고 설정한 case 1에서는 Kwon and Eam (2024)의 압밀시험 결과로부터 산출한 각 재하 단계별 투수계수 (Fig. 2) 중에서 정규압밀영역의 평균투수계수를 기준값으로 설정하고 압밀시험 결과와 가장 일치하는 투수계수를 시행착오법으로 탐색해서 적용하였다. case 2에서는 압밀이 진행되는 동안 공극비의 감소에 따라서 투수계수도 감소하는 식 (1)을 적용하고 투수계수감소비 (c_k)와 초기공극비에서의 투수계수 (k_z0)를 Fig. 6(b)의 압밀시험 결과와 잘 일치하도록 시행착오법으로 탐색하였다. 압밀시험으로부터 Terzaghi의 압밀이론을 적용하여 산출한 투수계수와 case 2 수치해석에 의한 투수계수를 Fig. 8에 나타내었다. 압밀응력이 10 kPa와 39 kPa인 경우에는 압밀시험에 의한 투수계수가 더 크게 나타났으나 나머지 경우에는 잘 일치하고 있다. 물리적 현상의 연속성을 고려하면 기복이 큰 압밀시험 결과보다는 수치해석에 의한 결과가 더 신뢰성이 있으며 정규압밀 영역에서는 두 이론이 서로 부합한다고 판단하였다. 따라서 압밀이 진행되는 동안 투수계수가 일정하다는 Terzaghi의 근사화 가정은 임의의 하중 단계에서는 시간에 따른 압밀 침하 거동에 미치는 영향이 작지만 재하 응력의 범위가 넓은 경우에는 투수계수를 달리하여 적용해야 할 것으로 판단하였다.

Fig. 8 Comparison of the hydraulic conductivities estimated from consolidation test and the estimated from numerical analysis

Table 1의 압축지수 (C_c)와 식 (5)에 의하면 λ는 0.29를 사용해야 하지만 Fig. 5(a)의 압밀시험 결과와 정확하게 일치하지 않았기 때문에 시행착오법으로 탐색해서 case 1과 case 2의 해석에서는 0.24를 적용하고 case 3에서는 0.28을 적용하였다. 과압밀선의 기울기 (κ)는 선행연구에서 제시한 값이 없어서 λ의 1/5의 값을 탐색의 시작값으로 정하고 시행착오법으로 탐색하였다. λ=0.24 및 κ=0.07을 적용한 case 1과 case 2의 해석 결과는 Fig. 5(a)와 Fig. 6(a)에 나타내었고 λ=0.28 및 κ=0.03을 적용한 case 3 해석 결과는 Fig. 7(b)에 나타내었다.

MCC model을 사용한 case 1과 case 2 해석에서 한계상태선의 기울기 M은 식 (4)에 Kwon and Eam (2024)이 제시한 ϕ′ = 29°를 적용하였다. SSC model은 M 대신에 내부마찰각을 직접 적용하고 점착력도 필요하며 유효응력임을 감안하여 점착력은 c′=0을 적용하였다.

선행압밀응력 (σ_p0)은 Fig. 5(a)와 같은 침하량-선행압밀응력 곡선의 형태에 λ나 κ만큼 많은 영향을 미친다. 압밀 시험 결과에서 KS F 2316에 규정되어 있는 방법으로 산출한 80 kPa (Table 1)는 case 1과 case 2 해석에서는 Fig. 5(a)와 Fig. 6(a)에 나타낸 것처럼 시험 결과와 잘 일치하였다. SSC model은 식 (10)에 나타낸 것처럼 선행압밀응력이 고정되어 있지 않고 시간 의존적인 크리프 변형율에 따라서 커지기 때문에 초기 선행압밀응력 (σ_p0)을 입력해야 하고 시행착오법으로 탐색하여 60 kPa를 적용하였으며 그 결과를 Fig. 7(a)에 나타내었다.

인장응력은 MCC model에서는 허용되지 않지만 MIDAS GTS NX에서는 모델의 적용 범위를 확장하기 위해서 허용인장응력을 알고리즘에 반영하고 있다. 이 연구의 해석 조건에서는 기하학적으로 인장응력이 발생하지 않아야 하지만 10진수를 2진수로 변환하고 실수 연산을 하는 과정에서 0 대신에 -10^-15 정도의 작은 음수가 산출되어서 약간의 인장 응력을 적용하였다. SSC model에서는 인장응력이 허용되지만 기하학적으로 필요하지 않은 조건이므로 적용하지 않았다.

Kwon and Eam (2023)의 해석에서 2차 압축지수 (C_⍺)는 정규압밀 영역에서 평균적으로 0.0225이고 식 (11)을 적용하면 μ=0.0098이며 case 3 해석에서 이 값을 시작으로 시행착오법으로 탐색하여 크리프 지수 μ=0.008을 적용하였고 결과를 Fig. 7(b)에 나타내었다. Terzaghi의 압밀이론은 2차 압축을 반영하지 않고 있으므로 Mesri (1973)의 압밀이론을 적용하려면 적용 시점을 인위적으로 지정해야 한다. Kwon and Eam (2023)은 2차 압축이 1차 압밀도 91 %∼98% 범위에서 시작된다고 하였다. SSC model은 2차 압축을 포함하고 있으므로 Fig. 7(b)에서 확인할 수 있는 것처럼 2차 압축 시작 시점을 지정할 필요가 없이 1차 압밀과 2차 압축이 연속적으로 통합된 결과로 나타난다.

Table 4에 열거한 모델 인자들 중에서 기술하지 않은 나머지 인자들은 Kwon and Eam (2023; 2024)의 선행연구를 참고하였다.

Ⅳ. 결론

Terzaghi의 압밀 이론과 Mesri의 2차 압축 이론으로 이원화된 압밀 이론을 통합하고 시간에 따른 응력-변형 거동을 분석하기에 적합한 모델을 파악하기 위해서 modified cam-clay (MCC) model과 soft soil creep (SSC) model로 압밀시험과 동일한 조건을 부여하여 수치해석을 하고 다음과 같은 결론을 얻었다.

1. 대수축척의 공극비와 대수축척의 투수계수 사이에 선형 비례관계가 성립한다는 이론을 적용하고 MCC model과 SSC model을 이용하여 수치해석한 결과는 투수계수가 일정하다고 설정하고 해석한 것보다 압밀시험 결과와 잘 일치하였으므로 투수계수는 압밀이 진행되면서 감소하는 것으로 설정하는 것이 적합할 것으로 판단하였다.

2. MCC model은 2차 압축을 포함하지 않는 model이지만 표준압밀시험의 압축지수에 대응하는 정규압밀선의 기울기는 2차 압축을 포함하고 있으므로 실제 시간에 따른 침하곡선은 수치해석한 예측치보다 항상 작게 된다. Terzaghi의 압밀이론을 압밀시험 해석에 적용한 다른 선행연구에서도 동일한 결과를 나타내어 교차 확인을 하였다.

3. 2차 압축을 이론에 포함하는 SSC model은 압밀시험 결과에서 2차 압축을 포함한 전 구간에서 잘 일치하는 것으로 나타나서 연약 점토 지반의 수치해석을 하는 경우에 MCC model을 이용하는 것보다 SSC model을 사용하는 것이 적합하다고 판단하였다.

감사의 글

본 결과물은 농림축산식품부의 2021∼2023년 재원으로 농림식품기술기획평가원의 농업기반 및 재해대응 기술개발사업의 지원을 받아 연구되었음 (321067-3 연약지반 저수지 제체의 장기거동 분석 및 설계 모델 개발).