사다리꼴 회절격자에서 테이퍼 측면의 광학적 효과에 대한 정확한 분석

Rigorous Analysis for Optical Impacts of Tapered Sidewall Profile on Trapezoidal Diffraction Grating

Abstract

주기적인 사다리꼴 격자구조에서 광 신호의 회절 특성과 테이퍼 측면의 중요한 효과를 분석하기 위하여, 처음으로 격자구조의 Toeplitz 유전율 tensor를 2D spatial Fourier 급수로 정의하고 공식화하였다. 그때 각 층에서의 필드들은 고유치 문제에 기초하여 표현하였으며, 완전한 해는 적절한 경계 값 문제에 의존하는 모드 전송선로 이론 (MTLT)을 사용하여 정확하게 유도하였다. 이에 기초하여, 사다리꼴 형태의 굴절률 분포를 갖는 격자구조의 테이퍼 측면 프로파일이 서브 파장 격자 반사기 설계에 어떠한 영향을 미치는지 자세하게 수치해석 하였다. 사다리꼴 격자구조의 회절특성에 기초한 수치해석 결과, 테이퍼 측벽 프로파일은 반사 대역폭, 평균 반사율, 그리고 밴드 에지를 결정하는 데 중요한 역할을 하는 것으로 나타났다.

To analyze the diffraction properties of optical signals and the significant impacts of tapered sidewall profile at periodic trapezoidal 2D diffraction gratings, Toeplitz dielectric tensor is first defined and formulated by 2D spatial Fourier expansions associated with trapezoidal profile. The characteristic modes in each layer is then based on eigenvalue problem, and the complete solution is found rigorously in terms of modal transmission-line theory (MTLT) to address the pertinent boundary-value problems. Based on those one, the numerical analysis is performed on how the tapered side profile of grating structures with trapezoidal refractive index distribution affects the design of a sub-wavelength grating reflector. The numerical results reveal that this tapered sidewall profile plays a critical role in determining the reflection bandwidth, the average reflectance, and the band edge.

Ⅰ. 서론

나노 스케일 서브 파장 격자 구조는 통합 나노 포토닉스 분야에서 많은 연구자들에 의하여 광범위하게 연구되어왔다. 전송 모드의 공진 (GMR: guide-mode resonance)에 기초한 제로-대비 격자 (ZCG: zero-contrast grating)^[1,2] 또는 고-대비 격자 (HCG: high-contrast grating)^[3,4]로 구성된 회절격자가 광대역 반사기의 설계를 위하여 제작되고 분석되었다. 이러한 구조를 사용하여, 공진 파장을 유연하게 조정할 수 있는 가능성과 고품질의 소자 설계를 위한 광학적 요소들을 연구할 수 있었다. 이 연구 내용의 초점은 광 필터, 광학 감지, 그리고 광 검출기^[5,6]와 같은 서브 파장 격자 장치의 잠재적인 응용 분야에 대한 분석이었다. 최근에는, 높은 종횡비를 가진 나노 막대 배열 (NRA: nano-rod array)이 반사방지, 자동세척 및 초소수성과 같은 다양한 영역의 광범위한 응용 분야에서 널리 연구되고 있다. 나노 스케일에서 마이크로 스케일까지의 다양한 크기를 가진 NRA는 다양한 템플릿 지원 에칭 기술을 사용하여 제작 될 수 있다^[7]. 그 중에서 건식 에칭 기술은 우수한 제어성과 CMOS 기술과의 호환성으로 인해 가장 제조하기 좋은 방법 중의 하나로 알려지고 있다. 그때 측벽의 테이퍼 프로파일은 일반적으로 대부분의 건식 에칭 기술, 특히 높은 종횡비 서브 파장 격자 구조에서 가로 에칭 시에 자연적으로 형성되는 공정상의 특성이다.

본 논문에서는 사다리꼴 형태의 굴절률 분포를 갖는 테이퍼 측면 프로파일이 나타나는 서브 파장 격자 구조를 활용하여, 대역 반사율이 테이퍼 격자의 측면 프로파일에 의하여 어떻게 영향을 크게 받는지 그 방식을 연구하는 수치 해석을 수행하였다. 유효 유전체 방법 (effective dielectric method: EDM)^[8]과 고유치 문제에 기초한 모드 전송선로 이론 (eigenvalue problem-based modal transmission-line theory: EP-MTLT)^[9]이 테이퍼 측면 프로파일로 인한 반사율, 반사 대역폭 및 밴드에지에 대한 영향을 미치는지 조사하기 위하여 수치 해석 도구로 사용되었다. 테이퍼 정도에 대한 허용 오차와 이러한 테이퍼 형 서브 파장 나노 스케일 격자 구조의 향후 응용 분야도 수치 해석 결과를 기반으로 논의하였다.

Ⅱ. 사다리꼴 회절격자의 설계원리

그림 1(a)에 사다리꼴 형태의 굴절률 분포를 갖는 일반적인 HCG의 기하학적 구성을 도시하였다. 그림에서 보듯이, 격자의 위와 아래를 굴절률 n_a = 1.0인 air로 구성하였으며, 격자 바 사이의 저 굴절률 매체도 또한 air를 선택하였다. 그때, 비스듬한 각도 θ_c에서 입사된 평면파는 격자구조에 의하여 절되어 공간조파를 발생시킨다. 이와 같은 구조의 HCG는 편광에 매우 민감하게 동작하며, 이때 격자 구조의 입사 면에 수직으로 편향되어 있는 입사 빔을 각각 transverse TE 또는 transverse TM 모드라고 한다.

그림 1. 테이퍼 측면 구조를 갖는 사다리꼴 회절격자의 (a) 기하학적 구조와 (b) 굴절률 분포.

Fig. 1. (a) Schematic diagram and (b) refractive index distribution of trapezoidal diffraction grating with tapered sidewall profile.

기본 원리를 분석하는데 초점을 맞추기 위하여 격자구조에 수직 (normal) (θ_c =0) 형태로 입사하는 TE 모드에 대하여 분석하였다. 주요 설계 매개 변수는 고 굴절률 재료인 실리콘의 굴절률 n_g = 3.48, 격자 주기 D, 격자 두께 t_g 그리고 격자 duty cycle η= D/W와 같이 표현하였다. 또한 그림 1(b)에서 보듯이, 사다리꼴 형태의 굴절률 분포를 구성하는 격자 막대의 truncated cone의 너비 S와 cone의 바닥 너비 W를 정의하였다. 그때, 테이퍼 형 측면 서브 파장 격자의 분석을 단순화하기 위하여 바닥 너비에 대한 truncated cone의 너비 비율인 tilt factor a = S/W를 설정하였다. 이 tilt factor는 테이퍼 측면 프로파일의 기울어진 정도를 의미하는 성분이다.

더욱이, 본 논문에서 제시한 회절 격자구조의 사다리꼴 형태의 굴절률 분포는 다음과 같다.

\(n(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{\Delta n}{d_{1}} x+n_{a} & , 0 \leq x<d_{1} \\ n_{g} & , d_{1} \leq x<d_{2} \\ -\frac{\Delta n}{d_{1}} x+\Delta n\left(\frac{d_{2}}{d_{1}}\right)+n_{g} & , d_{2} \leq x<d_{3} \\ n_{a} & , d_{3} \leq x<D \end{array}\right.\)       (1)

여기서, d₁ = (W- S)/2, d₂ = (W+ S)/2 , d₃ = W , Δn = n_g - n_a을 나타낸다.

주기적인 2D 패턴의 사다리꼴 격자 구조로 구성된 소자의 회절 특성을 분석하기 위하여 격자 패턴에 대한 Fourier 확장 특성을 정의해야 한다. 러나 지금까지 사다리꼴 격자 구조의 회절 특성은 격자를 discrete한 무한한 개수의 사각형 격자구조로 분리하여 근사적으로 분석하여 왔다. 본 논문에서 그림 1(b)와 식 (1)에서 보듯이, 굴절률 n_g인 사다리꼴 유전체와 n_a인 공기층으로 구성된 격자 구조의 굴절률을 새롭게 정의한 2D spatial Fourier 급수로 아래와 같이 정의하였다.

\(\varepsilon_{r}(x)=\sum_{n} \varepsilon_{n} e^{i(2 n \pi / D) x}\)       (2)

여기서, Fourier 계수 ε_n는 다음과 같이 유도할 수 있다.

\(\begin{aligned} \varepsilon_{n} &=\frac{1}{t_{g} D} \int_{0}^{t_{g}} \int_{0}^{D} \varepsilon(x, z) e^{-i(2 n \pi / D) x} d x d z \\ &=\frac{\Delta \varepsilon D}{(2 n \pi)^{2} d_{1}}\left\{e^{-i \frac{2 n \pi d_{3}}{D}}\left(e^{i \frac{2 n \pi d_{1}}{D}}-1\right)+\left(e^{-i \frac{2 n \pi d_{1}}{D}}-1\right)\right\} \end{aligned}\)       (3)

위의 식에서 Δε = ε_g1 - ε_g2 = \(n_{g}^{2}-n_{a}^{2}\), 이고 0-번째 Fourier 계수 ε₀는

\(\varepsilon_{0}=\varepsilon_{g 2}+\Delta \varepsilon\left(\frac{d_{3}-d_{1}}{D}\right)\)       (4)

와 같이 정의된다. 이 사다리꼴 격자의 Fourier 급수는 테이퍼 측면 프로파일의 기울어진 정도를 구성하는 변수 d₁ , d₂, d₃에 의존하여 다양한 형태의 기울기를 갖는 구조로 변형될 수 있다.

그때, 사다리꼴 회절 격자구조의 각 층들은 모드 전송선로 이론 (EP-MTLT)에 기초하여 연속적으로 연결된 전송선로로 등가화 할 수 있으며, 다과 같이 등가 전송선로의 특성 admittance 행렬로 정의할 수 있다.

\(\mathbf{Y}_{\mathbf{K}}=\left\{\begin{array}{ll} \mathbf{K}_{z} /\left(\omega \mu_{0}\right) & , \text { TE mode } \\ \left(\omega \varepsilon_{0}\right) / \mathbf{K}_{z} & , \text { TM mode } \end{array}\right.\)       (5)

여기서, K_z는 고유치 문제를 만족하는 eigenvalue를 나타낸다.

결국, EP-MTLT의 횡방향 공진조건 (Transverse resonance condition)을 적용하여 식 (5)의 특성 admittance 행렬로 구성된 등가 전송선로에서 전파하는 모드들의 반사도와 투과도를 마이크로파 공학의 개념으로 간단하고 정확하게 분석할 수 있다.

Ⅲ. 수치 해석 및 고찰

서브 파장 격자 구조의 테이퍼 측면 프로파일의 영향을 연구하기 위하여 a=1, 0.97, 0.94의 기울기 계수를 사용하여 수치 해석을 수행합니다. a=1인 경우는 이전 연구들에서 광범위하게 연구된 완벽한 수직 측면 프로파일 (그림 1(b)의 rectangular 분포)을 나타내며, a가 작을수록 테이퍼 측면 프로파일이 더욱더 기울어져 있는 사다리꼴 격자 구조를 의미한다. 그때 기울기 계수 a를 구성하는 cone의 바닥 너비 W를 0.7D로 고정시키고 HCG 서브 파장 구조의 반사 스펙트럼을 수치 해석한 그래프를 그림 2에 나타내었다. 여기서, 격자 주기는 D=0.716μm, 두께는 t_g=1.494 μm로 구성하였다. 또한, 반사율, 반사체 대역 모양 그리고 대역폭에 대한 테이퍼 측벽 기울기 계수의 영향을 분석하기 위하여 a는 3가지 대표 값 a=1.0, 0.97, 0.94을 선하였다.

그림 2. 테이퍼 측면 구조가 다른 사다리꼴 회절격자에서 TE 모드의 반사 스펙트럼 (W가 고정된 경우).

Fig. 2. (Color Online) Reflection spectra of TE mode at trapezoidal grating structures with different tapered sidewall profiles (W is fixed).

명확하게 그림에서 보듯이, 직사각형 모양의 공진 격자 (a=1.0, 파란색 곡선) 표면에 수직으로 입사한 TE 모드의 반사율 스펙트럼은 0에서 100%로 급격한 전이를 발생시키는, 높은 Q 공명이 다양한 파장에서 발생하였으며, 그 반대의 특성도 마찬가지로 나타나는 것을 알 수 있다. 예 들어 그림 2에 두 개의 화살표로 표시한 1.682 μm 와 1.773 μm 가 높은 Q 공명 특성을 설명하는 파장들을 의미한다.

그러나, 그림 1의 사다리꼴 격자 구조와 같이 기울기 각도가 증가함에 따라, 즉 a가 1.0에서 0.94로 감소함에 따라 테이퍼 측면의 기울기가 반사율과 대역폭에 미치는 중요한 특성이 명확하게 발생하는 것을 확인할 수 있다. HCG 서브 파장 격자 구조의 경우, 그림에서 보듯이, a가 감소함에 따라 특이한 변화가 반사율 스펙트럼에 추가되었으며, 특히 짧은 파장 1.51 μm 와 1.528 μm 에서 높은 Q 공명이 유발되었다.

더욱이, 기울기 계수 a가 10%만 변하여도 대역폭 전반에 걸쳐 80% 이상의 반사율을 가진 90 nm 의 반사 대역이 유지되기 어렵다는 것을 보여 주었다. 이와 같은 결과는 미래의 다양한 제조 방법 및 디자인에 대한 지침을 제공 할 수 있을 것으로 생각한다.

다음으로, 기울기 계수 a를 구성하는 사다리꼴 격자의 truncated cone 너비 S를 0.5 μm 와 같이 고정시키고, a=1.0, 0.97, 0.94에서 HCG 서브 파장 구조의 반사 스펙트럼을 수치 해석한 그래프를 그림 3에 나타내었다. 그림에서 보듯이. cone의 바닥 너비 W가 고정되어 있는 경우와 다르게 (그림 2 참조), a가 1.0에서 0.94로 감소함에 따라 두 개의 화살표로 표시된 높은 Q 공명이 발생하는 위치가 높은 파장대역으로 이동하는 특성을 보였다. 또한, 80% 이상의 반사율을 가진 반사 대역이 증가하는 현상이 나타났다.

그림 3. 테이퍼 측면 구조가 다른 사다리꼴 회절격자에서 TE 모드의 반사 스펙트럼 (S가 고정된 경우).

Fig. 3. (Color Online) Reflection spectra of TE mode at trapezoidal grating structures with different tapered sidewall profiles (S is fixed).

위에서 언급한 바와 같이 HCG 사체의 형성과 기울기 계수의 영향을 추가로 조사하기 위하여, 테이퍼 측면 구조가 다른 사다리꼴 회절격자들 사이에서 발생하는 위상과 크기 차이를 비교한 반사율 분포도를 수치 해석하였다. 먼저, W가 0.7D로 고정되어 있는 경우, 기울기계수 a=1.0 (그림 4(a))과 0.9 (그림 4(b))에 대한 반사율 분포도에서 보듯이, a가 감소함에 따라 광대역 반사를 위한 dual-mode 영역이 증가하는 현상이 발생하였다. 더욱이, a=1.0과 0.9의 반사율 분포도에 대한 위상차를 나타내는 그림 4(c)에서 보듯이, 격자 두께가 증가함에 따라 광대역 특성을 감소시키는 바둑판 패턴의 위상차 윤곽선이 잘 정렬되어 나타나는 것을 알 수 있다. 반면에 그림 4(d)에서 보듯이, 진폭 차이는 격자 두께와 상관없이 비교적 균일하게 바둑판 턴이 형성되었다. 다음으로, S가 0.5 μm 와 같이 고정되어 있는 경우, 기울기 계수 a=1.0 (그림 5(a))과 0.8 (그림 5(b))에 대한 반사율 분포도와 그 분포도들 사이의 위상차와 진폭 차이를 분석하였다. 위상차와 진폭 차이에 대한 패턴의 변화는 W가 고정되어 있는 경우와 유사하게 나타났으나, 광대역 반사를 위한 dual-mode 영역은 a가 감소함에 따라 현저하게 증가하는 특성을 보여주었다.

그림 4. 테이퍼 측면 구조가 다른 사다리꼴 회절격자에서 위상과 크기 차이를 비교한 반사율 분포도 (W가 고정된 경우).

Fig. 4. (Color Online) Reflectivity contour compared with phase and magnitude difference at trapezoidal grating structures with different tapered sidewall profiles (W is fixed).

그림 5. 테이퍼 측면 구조가 다른 사다리꼴 회절격자에서 위상과 크기 차이와 비교한 반사율 분포도 (S가 고정된 경우)

Fig. 5. (Color Online) Reflectivity contour compared with phase and magnitude difference at trapezoidal grating structures with different tapered sidewall profiles (S is fixed).

Ⅳ. 결론

본 논문에서는 광대역 반사체로서 HCG 서브 파장 격자 구조의 성능, 특히 실제 건식 에칭 제조 공정에서 자주 발생하는 사다리꼴 격자 구조의 테이퍼 측면 프로파일의 영향을 자세히 조사하였다.

수치해석 결과, 이 소자의 기본 메커니즘은 GMR 또는 격자 cavity 모드에 의하여 유도된 공진 파장에서 leaky 모드 특성 보다는 기본 회절 모드의 투과 및 반사파 제거에 의하여 그 특성이 발생하는 것으로 분류할 수 있다. 더욱이, 테이퍼측면 프로파일이 HCH 구조에서 반사기의 대역폭, 전체 반사율 및 기능적 안정성을 크게 감소시킬 것임을 입증하였다.

결국, 본 논문의 결과는 통합 나노 포토닉스 분야에서 테이퍼 측면 프로파일의 공학에 기초한 서브 파장 격자기반 광대역 반사기의 튜닝과 같은 HCG 서브 파장 격자구조의 다양한 응용을 용이하게 할 수 있을 것이다.