Optical Characteristics of Blazed Grating-Assisted Directional Coupler

Blazed 격자 구조형 방향성 결합기의 광학 특성

Abstract

The optical characteristics and power transfers between guiding channels of blazed grating-assisted directional coupler (B-GADC) are evaluated in detail by using novel and rigorous modal transmission-line theory (MTLT) based on eigenvalue problem. To evaluate the coupling efficiency of B-GADC, the dispersion curves as a function of the grating period and wavelength are analyzed numerically for quasi-TE and quasi-TM modes. Furthermore, symmetric, sawtooth and asymmetric grating profiles are considered to know the effect of blazing characteristics on power transfer of GADC. The numerical results show that the grating period for minimum-gap condition to obtain maximum power transfer decreases gradually as the blazed structure changes from symmetric to asymmetric profile. On the other hand, the coupling length increases reversely.

새로운 고유치 문제에 기초한 모드 전송선로 이론 (Modal Transmission-Line Theory: MTLT))을 이용하여 blazed 격자 구조형 방향성 결합기 (B-GADC)의 광학 특성과 채널사이의 전력전달을 자세하게 분석하였다. 설계한 B-GADC의 결함효율을 분석하기 위하여 격자주기와 파장에 따라 변하는 quasi-TE 모드와 quasi-TM 모드의 분산곡선을 수치 해석하였으며, blazing 특성이 GADC의 결합효율에 미치는 영향을 분석하기 위하여 대칭형, 톱니형 그리고 비대칭형 blazed 격자구조를 설계하고 평가하였다. 수치해석 결과, blazed 격자구조가 대칭형에서 비대칭형으로 변함에 따라 최대 전력전송을 위한 최소 간격 조건을 만족하는 격자주기는 줄어들었으며 결합길이는 반대로 늘어나는 것을 확인하였다.

Ⅰ. 서론

간격으로 분리 된 2개의 평행 한 도파로로 구성된 방향성 결합기 (DC: Directional Coupler)는 온 칩 센서[1], 전원 스트립[2], 마이크로 링 필터[3] 및 Mach Zehnder 스위치[4]와 같은 많은 광 통신용 부품에 기본적으로 사용되어 왔던 중요한 소자이다. DC는 광 전력분배기로 설계되어 왔던 다중 모드 간섭 결합기 (MMIC:와 비교하여 다루기 쉬운 전력 분배 방법과 입력 손실이 무시할 정도로 낮은 특성으로 인하여 광 통신용 소자 제작에 널리 선호되어 왔다. 그러나 DC는 Si(≃ 35), SiO2(≃ 146)와 같은 실리콘 계열의 물질을 사용하여 설계하였을 경우 큰 굴절률의 차이로 인하여 발생하는 높은 편광 의존성 때문에 입력 파장에 따른 출력 특성의 변화가 심하며 실제 제작 시에 발생하는 허용오차 (tolerance)가 매우 크게 나타나며, 매우 긴 결합길이로 인하여 수백 나노미터 크기로 초소형화가 필요한 DWDM (Dense Wavelength Division Multiplexing) 기반의 광 통신용 소자에 적용하기가 어렵다.

이를 해결하기 위하여 전송 파장보다 크기와 두께가 작은 격자구조를 DC와 결합하여 구성한 격자 구조형 방향성 결합기 (GADC)를 설계하여 사용하였다. 매우 높은 결합 성능을 갖고 있는 GADC는 격자구조의 주기와 두께를 조정하여 낮은 결합길이를 갖는 소형 소자로 제작할 수 있으며, 중첩모드들 사이의 유효굴절률을 최소화하여 TE, TM 모드들의 편향 의존성을 현저하게 줄일 수 있다. 본 논문에서는 이와 같은 GADC의 광학적 성능에 부합하여 결합길이를 현저하게 줄일 수 있는 설계구조를 제안하였다.

지금까지 GADC는 사각형 형태 (rectangular profile)의 격자구조를 사용하여 왔다. GADC의 결합길이는 격자의 변화에 민감하여 의존한다. 그러므로 전송 방향에서 격자구조의 변화가 심한 blazed 형태의 격자를 사용하면 결합특성을 결정하는 중첩모드들의 유효굴절률의 변화가 매우 크며, 이를 이용하여 더욱 작은 결합길이를 갖는 GADC를 설계할 수 있다.

본 논문에서 설계한 B-GADC의 광 결합 특성을 정확하고 쉽게 분석하기 위하여 유효 유전체 방법 (effective dielectric method: EDM)[6]과 고유치 문제에 기초한 모드 전송선로 이론 (eigenvalue problem-based modal transmission-line theory: EP-MTLT)[7]이 적용하였으며, 이에 대한 내용을 2장에서 설명하였다. 또한, 3장에서는 설계한 B-GADC를 수치 해석하여 그 결합특성이 어떤 광학적, 물리적 변수들에 의존해서 변화하는지 3D 이미지와 2D 그래프를 통하여 자세하게 평가하고 그 설계 값을 제시하였다.

Ⅱ. B-GADC의 설계원리

Blazed 격자구조로 구성된 B-GADC는 rib형 도파로의 높이, 전송 폭, 굴절률에 따라 전송 특성이 변화한다. 더욱이, blazed 격자구조의 대칭성, 두께, 주기에 의존하여 전송 모드들 사이의 결합길이가 증가하거나 감소하는 다양한 형태의 결합특성을 나타낸다. 이러한 변수들에 의존하는 3D B-GADC가 그림 1(a)에 자세하게 도시되어 있다.

그림 1. Blazed 격자 구조형 방향성 결합기의 (a) 기하학적 3D 구조, (b) rib형 층의 단면도, (c) B-GADC의 평면도.

Fig. 1. (a) 3D geometric configuration, (b) side view of the rib-type layer, and (c) top view of blazed GADC.

그림 1(b)에서 보듯이, rib형 도파로는 굴절률 \(n_c = 1.46\)인 SiO₂ 기판 위에 두께 \(t_h = 200nm\), 굴절률 \(n_h = 3.48\)인 Si와 두께 \(t_s = 100nm\), 굴절률 \(n_s = 1.96\)인 \(SiN_X\)가 적층된 샌드위치 구조로 설계하였다. 여기서, \(SiN_X\)의 굴절률은 nitride 농도 \(_X\) 에 의존하여 결정된다.

또한, B-GADC에서 광 신호를 전달하는 입/출력 도파로의 폭은 \(W_f\)로 설계하였으며, 상/하향 도파로들 사이의 간격은 \(W_s = 500nm\)로 선택하였고 격자구조의 두께와 주기는 각각\(W_g\)와 \(d=d_1+d_2\)로 설계하였다. 그때 B-GADC에 존재하는 모드는 본질적으로 전파 방향에 따라 quasi-TE 모드 (\(z\)축에 대한 TE 모드)와 quasi-TM 모드 (\(z\)축에 대한 TM 모드)로 분류된다.

EDM을 적용하여 유효 굴절률 \(n_{eff1}\)와 \(n_{eff2}\)를 갖는 2D B-GADC로 등가화한 그림 1(c)에서 보듯이, 상향 도파로를 통하여 입사된 quasi-TE와 quasi-TM 모드들은 결합길이 \(L_c\)를 진행한 후에 상향 또는 하향 도파로를 통하여 출력된다.

이와 같은 B-GADC에서 전파하는 모드들의 전력결합 특성을 정확하게 해석하기 위하여 그림 1(c)에 등가화한 2D 평면도에 대한 전파상수 (propagation constant)를 결정해야만 한다. 왜냐하면 quasi-TE와 quasi-TM모드들의 결합길이는 다음과 같이 정의할 수 있기 때문이다.

\(L_{c, T E}=\frac{\pi}{\beta_{0, T E}-\beta_{1, T E}}, L_{c, T M}=\frac{\pi}{\beta_{0, T M}-\beta_{1, T M}}\)       (1)

여기서, \(\beta_0, \beta_1\)은 각각 기본 모드와 1^st-order 모드의 전파상수를 나타낸다.

주기적인 2D 패턴의 B-GADC의 결합 특성을 분석하기 위하여 격자 패턴에 대한 Fourier 확장 특성을 정의 해야 한다. 그림 1(c)에서 보듯이, 굴절률 \(n_{eff1}\)인 비대칭형 blazed 유전체와 \(n_{eff2}\)인 층으로 구성된 격자 구조의 굴절률은 2D spatial Fourier 급수로 아래와 같이 정의된다.

\(\varepsilon_{r}(x)=\sum_{n} \varepsilon_{n} e^{i(2 n \pi / d) x}\)       (2)

여기서, Fourier 계수 \(\epsilon_n\)는 다음과 같이 유도할 수 있다.

\(\begin{aligned} \varepsilon_{n} &=\frac{1}{t_{g} d} \int_{0}^{t_{g}} \int_{-d_{1}}^{d_{2}} \varepsilon(x, z) e^{-i(2 n \pi / d) x} d x d z \\ &=\frac{\Delta \varepsilon}{(2 n \pi)^{2}}\left(\frac{d}{d_{1}}+\frac{d}{d_{2}}\right)\left(1-e^{i\left(2 n \pi d_{1} / d\right)}\right) \end{aligned}\)       (3)

위의 식에서 \(\Delta \epsilon=\epsilon_{g 1}-\epsilon_{g 2}=n_{e f f 1}^{2}-n_{e f f 2}^{2}\)이고 0-번째 Fourier 계수 \(\epsilon_0\)는

\(\varepsilon_{0}=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{g 1}+\varepsilon_{g 2}\right)\)       (4)

와 같이 정의된다. 이 비대칭 blazed 격자의 Fourier 급수는 비대칭 (asymmetric type)을 구성하는 변수 \(d_1,\ d_2\)에 의존하여 다양한 형태의 blazed 격자구조로 변형될 수 있다. 즉, \(d_1 \ = \ d, \ d_2 \ = \ 0\)인 경우 식 (3)은 아래와 같이 정의되는 톱니형 (sawtooth type) 격자구조를 형성한다.

\(\varepsilon_{n}=\frac{i \Delta \varepsilon}{2 n \pi}\)       (5)

그리고 \(d_1 \ = \ d_2 \ = d/2\)인 경우 blazed 격자구조는 대칭형 (symmetric type) 격자구조가 되며 식 (3)은

\(\varepsilon_{n}=\frac{\Delta \varepsilon}{(n \pi)^{2}}(1-\cos (n \pi))\)       (6)

와 같이 나타낼 수 있다.

그때, EP-MTLT의 횡방향 공진조건 (Transverse resonance condition)

\(\left|\mathbf{Y}_{u p}\left(k_{z n}\right)+\mathbf{Y}_{d n}\left(k_{z n}\right)\right|=0\)       (7)

을 적용하여 B-GADC에서 전파하는 정확한 모드들의 고유값인 전파상수 \(k_{zn}\)를 결정할 수 있다. 여기서, \(\mathbf{Y}_{up}\)과 \(\mathbf{Y}_{dn}\)은 그림 1(c)을 종방향으로 등가화한 전송선로의 임의의 위치에서 위와 아래로 들여다본 입력 어드미턴스(admittance) 행렬을 의미한다.

결국, 그림 1(c)에서 보듯이 \(z \ = \ 0\)에서 입력된 광신호는 임의의 결합길이 \(z \ = \ L_c\)를 진행한 후에 상향 또는 하향 도파로를 통하여 출력되며, 그 출력 모드 전압^[8]은

\(\begin{aligned} V_{\text {out }}\left(L_{c}\right) &=\left(A_{1} B_{1} e^{i k_{1} L_{c}}+A_{2} B_{2} e^{i k_{2} L_{c}}\right) V_{i n}(0) \\ &=T_{f} V_{i n}(0) \end{aligned}\)       (8)

와 같고, 그 결합효율 (Coupling efficiency)은 다음과 같이 정의할 수 있다.

\(\eta=\frac{P_{o u t}}{P_{i n}}=\frac{\operatorname{Re}\left(k_{z, \text { out }}\right)}{\operatorname{Re}\left(k_{z, i n}\right)}\left|T_{f}\right|^{2}\)       (9)

본 논문에서 설계한 B-GADC의 분산곡선 (dispersion curve) 및 전력전송 특성을 분석하기 위하여 다음 장에서 식 (7)과 (9)을 수치해석 하였다.

III. 수치해석 및 고찰

본 논문에서 제안한 B-GADC의 전송 특성에 대한 타당성과 정확성을 보이기 위하여 정확한 EP-MTLT에 기초한 광 결합기의 분산특성과 결합효율을 분석하였다. 먼저, 각 blazed 격자 구조형 (대칭형, 톱니형, 비대칭형)에서 격자 주기에 따른 누설파와 표면파에 대한 분산 곡선을 분석하였다. TE 모드에 대한 분산곡선인 그림 2에서 보듯이, 동작 파장 \(\lambda \ = \ 1.55 \ _{\mu m}\)에서 위상정합 조건 (phase-matching condition: PMC)은 \(d_{ph} \ = \ 23.5_{\mu m}\)에서 발생하였으며, 각 구조형의 최소간격 조건 (minimum-gap condition: MGC)은 각각 \(d_{min} \ = \ 24.1_{\mu m}, \ 23.16_{\mu m}, \ 23_{\mu m}\)에서 나타났다. 즉, MGC를 만족하는 격자 주기는 격자 구조에 상관없이 발생함을 보였다. 이에 반하여 TM 모드에 대한 경우, 그림3에서 보듯이 MGC를 만족하는 격자 주기는 비대칭성인\(\Delta d \ = \ d_1 \ - \ d_2\)가 증가함에 따라 격자 주기가 조금씩 감소하였다.

그림 2. (a) 대칭형, (b) 톱니형, (c) 비대칭형 격자구조의 GADC에서 격자 주기에 따른 누설파 (점선)와 표면파 (실선)에 대한 분산 곡선: TE mode case

Fig. 2. Dispersion curves for rigorous leaky-wave(dashed-lines) and surface-wave (solid-lines) modes along with grating period at GADC with (a) symmetric, (b) sawtooth, and (c) asymmetric grating profile: TE mode case.

그림 3. (a) 대칭형, (b) 톱니형, (c) 비대칭형 격자구조의 GADC에서 격자 주기에 따른 누설파 (점선)와 표면파 (실선)에 대한 분산 곡선: TM mode case

Fig. 3. Dispersion curves for rigorous leaky-wave(dashed-lines) and surface-wave (solid-lines) modes along with grating period at GADC with (a) symmetric, (b) sawtooth, and (c) asymmetric grating profile: TM mode case.

다음으로, B-GADC에서 전파하는 중첩모드의 전력결합효율을 분석하여 각 격자 구조형에서 나타나는 결합길이 (coupling length)를 수치 해석하였다. 그림 4에서 보듯이, TE 모드의 경우 PMC 조건 하에서 결합길이는 격자구조가 대칭형에서 비대칭형으로 변함에 따라 각각 \(L_c \ \approx \ 3.7_{\mu m}, \ 7.1_{\mu m}, \ 7.35_{\mu m} \)에서 나타났다. 또한 TM 모드의 경우, 그림 5에서 보듯이 TE 모드의 경우와 유사한 형태의 결합길이 특성이 나타났다.

그림 4. B-GADC에서 전파하는 전송 모드의 필드분포: TE mode case.

Fig. 4. Field distribution of guided mode propagating through B-GADC: TE mode case. (a) \(L_c \ \approx \ 3.7_{\mu m}\), (b) \(7.1_{\mu m}\), (c) \( 7.35_{\mu m} \)

그림 5. B-GADC에서 전파하는 전송 모드의 필드분포: TM mode case.

Fig. 5. Field distribution of guided mode propagating through B-GADC: TM mode case. (a)\(L_c \ \approx \ 3.4_{\mu m}\), (b) \(6.6_{\mu m}\), (c) \(8.3_{\mu m}\)

결론적으로 B-GADC에서 최적 결합길이 특성을 얻기 위해서는 그림 2와 3에서 제시한 기존의 전형적인 결합조건들 (PMC, MGC)을 적용하기 보다는 B-GADC 내에서 전파하는 중첩모드들의 결합효율을 분석하고 그에 기초하여 설계, 제작하여야 한다. 이는 전파방향에 따른 격자구조의 불연속 특성이 사각형의 격자구조에 비하여 blazed 격자구조에서 매우 크게 발생하기 때문이라고 판단된다. 즉, blazed 격자구조는 두께가 다른 사각형 격자구조를 선형적으로 연속 연결된 형태로 유사화될 수 있기 때문에 같은 격자주기에서 하나의 요철구조를 갖는 사각형 격자보다 여러 개의 요철구조 특성을 갖는 blazed 격자의 불연속 특성이 매우 크게 발생한다. 그러므로 B-GADC를 설계할 때 최적 결합길이를 얻기 위한 소자의 크기는 격자주기에 맞추어 비례적으로 그 크기를 선택해야 한다. 예를 들어, 설계 시 격자주기를 PMC 조건을 만족하는 \(d_{ph}\)로 결정하였다면 그때 최적 전력전송을 얻기 위한 B-GADC의 크기는 ∼ 100\(L_c\)와 같이 선택하면 된다.

결국, 이와 같은 수치 해석적 사실로부터 다음과 같은 결론을 이끌 수 있다. B-GADC는 전형적으로 최적 전력전송 조건으로 사용되는 MGC이나 PMC이 아닌 결합기 내에서 전파하는 중첩모드들의 전력 전송특성을 분석하여 설계해야 한다는 것이다.

IV. 결론

본 논문에서는 blazed 격자 구조형 방향성 결합기(B-GADC)의 광학적 설계특성을 제안하였다. 제안한 B-GADC의 전파특성과 최대 결합효율을 갖는 최적 전력전송 특성을 정확하게 분석하기 위하여 고유치 문제에 기초한 정확한 모드 전송선로 이론 (EP-MTLT)의 분산특성과 결합효율을 정의하고 이용하였다.

분석결과, 본 논문에서 제안한 B-GADC에서 최적 전력전송을 위한 결합길이는 표면파 모드들의 PMC 또는 정확한 누설파 모드들의 MGC로부터 결정하기 보다는 중첩모드들의 필드분포를 분석하여 채택하여야 한다는 결과를 얻었다.

결국, 전파방향에서 격자구조의 불연속 특성 변화가 매우 큰 대칭형, 톱니형, 비대칭형 격자구조로 구성된 B-GADC는 설계 시 다양한 설계 변수들을 분석하고 종합하여야 좋은 특성의 결합기를 설계할 수 있다는 것이다.