On a Representation of an Arbitrary Point on a Figure Focused on a Translated Figure

도형 위의 임의의 점의 표현에 대한 연구 -평행이동 된 도형을 중심으로-

Abstract

In Korean textbooks, by T(x,y) = (x+a, y+b) where a and b are horizontal and vertical changes respectively, an arbitrary point on the original figure f(x, y) = 0 has been expressed as a point (x, y) and a point on a translated figure f(x-a, y-b) = 0 has been expressed as a point (x', y'). If an arbitrary point on a figure f(x, y) = 0 is expressed as a point (x, y), then a point (x, y) and a figure f(x, y) = 0 are different targets but the same characters are used. In this following study, there were found that the expressions in these textbooks were stuck for more than 50 years, so students' thoughts were stiff. And therefore these are a need to be improved so that those things are studied as follows. First, inducing a formula, what are the students' responses like when were expressed differently from textbooks? Second, based on the results reviewed, how will the expressions of the textbook be revised? Third, how do the students respond to the modified expressions? As the result, a point on the original figure were expressed differently from textbooks and a point on a translated figure was put as a point (x, y), and about it, all of the students surveyed said that this improved expressions made in the study were easier.

교과서에서는 도형 f(x, y) = 0을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식을 구할 때 도형 f(x, y) = 0 위의 임의의 점을 점 (x, y)로, 평행이동 된 도형 f(x-a, y-b) = 0 위의 점은 점 (x', y') 로 표현하고 있다. 도형 f(x, y) = 0 위의 임의의 점을 점 (x, y)로 표현한다면 점 (x, y)와 도형 f(x, y) = 0은 다른 대상인데 같은 문자들이 사용되어지고 있다. 본 연구에서는 이러한 교과서의 표현이 50년 넘게 고수되어, 학생들의 사고가 경직되므로, 개선이 필요하다고 보고 다음과 같이 연구한다. 첫째, 공식을 유도할 때, 도형 위의 임의의 점을 교과서와 달리 표현했을 때의 학생들의 반응은 어떠한가? 둘째, 살펴본 결과를 바탕으로 교과서 표현을 어떻게 수정할 것인가? 셋째, 수정한 표현에 대해 학생들은 어떻게 반응하는가? 그 결과 도형 위의 임의의 점을 교과서와 달리 표현하고 평행이동 된 도형 위의 점을 점 (x, y)로 두었더니, 조사한 학생들은 모두 본 연구에서 개선한 설명이 더 쉽다고 응답하였다.

[그림 I-1] 2018학년도 고등학교 수학 교과서의 도형의 평행이동에 관한 그림(류희찬 외, 2018)

[그림 II-1]좌표 평면 위의 점에 관한 그림(해법수학연구회, 2019)

[그림 II-2] 점과 직선의 위치관계(장지경, 2007)

[그림 III-1] 도형의 평행이동의 두 가지 설명에 대한 이해도의 첫 번째 설문 조사지

[그림 III-2] 도형의 평행이동의 두 가지 설명에 대한 이해도의 두 번째 설문 조사지

[그림 IV-1] 설문 조사 결과 각 내용에 응답한 학생 수 분포

[그림 IV-2] 첫 번째 설문 조사할 때 1번 설명을 이해하기 쉬워 한 학생의 답안지

[그림 IV-3] 접선의 방정식 교과서 예제(황우형 외, 2013)

[그림 IV-4] 도형의 평행이동에 대한 첫 번째 수정된 설명

[그림 IV-5] 풍산자 수학(상) 문제집의 증명

[그림 IV-6] 두 번째 설문 조사할 때 2번 설명을 이해하기 쉬워 한 한 학생의 답안지

[그림 IV-7] 도형의 평행이동에 대한 2차 수정된 설명