An Analysis of Double Scale Models in the Japanese Elementary Mathematics Textbooks

일본 교과서에 제시된 이중 척도 모델에 관한 분석

Abstract

Previous studies on double scale models, visual models with two different scales (Chong, 2015), have focused on double number line and little research has been conducted on how to employ double scale models in the elementary mathematics textbooks series. Given this, we analyzed the characteristics of double scale models in the Japanese elementary mathematics textbooks in the following aspects: (a) the contents of units where double scale models were used; (b) the purposes of using such models; (c) the types of such models tailored to the contents and grade levels; and (d) the characteristics of problem contexts dealing with the models. The results of this study showed that double scale models were effectively used to connect the contents related to multiplication, specifically for the contexts of ratio. Such models were addressed for students in a systematic and gradual way as the grade levels went up. Based on these results, this paper describes implications on how to use double scale models in mathematics textbooks.

이중 척도 모델은 서로 다른 두 척도를 이용하는 시각적 모델로(정영옥, 2015), 그동안 이중 척도 모델에 관한 국내 연구는 주로 이중수직선에 한정되어 이루어졌으며, 우리나라 교과서에 이중 척도 모델을 어떻게 활용할 수 있는지에 대한 연구는 제한적으로 이루어졌다. 이에 본 연구에서는 이중 척도 모델을 적극적으로 활용하고 있는 일본 교과서를 분석하였는데, 구체적으로 이중 척도 모델이 제시된 단원의 학습 내용, 제시 목적, 형태의 변화 과정 및 문제 맥락의 특징을 중심으로 살펴보았다. 분석 결과, 이중 척도 모델은 곱셈과 관련된 학습 내용을 연결하여 지도하는 데 유용한 시각적 모델이며 특히 비율 맥락에서 사용하기에 적합하다는 것을 확인하였다. 또한 학년에 따라 이중 척도 모델의 제시 목적을 점진적으로 확대하고, 형태를 단계적으로 도식화함으로써 학생들의 이해를 돕고 있음을 알 수 있었다. 이와 같은 결과를 토대로 본 연구는 이중 척도 모델의 체계적인 활용 방안에 관해 시사점을 제시한다.

[그림 1] 비표의 예(교육부, 2018b, p. 43) [Fig. 1] An example of ratio table

[그림 2] 막대 모델의 예(교육부, 2018a, p. 114) [Fig. 2] An example of bar model

[그림 3] 막대 모델의 다른 예(van den Heuvel-Panhuizen, 2003, p. 22) [Fig. 3] Another example of bar model

[그림 4] 띠와 수직선을 합성한 형태의 예(Murata, 2008, p. 381) [Fig. 4] An example of forms synthesizing tape diagram and number line

[그림 5] 이중수직선의 예(장혜원 외, 2018, p. 237) [Fig. 5] An example of double number line

[그림 6] 이중 척도 모델을 처음으로 활용한 내용(藤井斉亮 외, 2013a, pp. 91-92) [Fig. 6] The first content using a double scale model

[그림 7] 분할 나눗셈 맥락에서 이중 척도 모델과 묶음 모델을 사용한 예(藤井斉亮 외, 2013c, p. 31) [Fig. 7] An example using a double scale model and a bundle model in the context of partitive division

[그림 8] 측정 나눗셈 맥락에서 묶음 모델을 사용한 예(藤井斉亮 외, 2013c, p. 103) [Fig. 8] An example using a bundle model in the context of measurement division

[그림 9] 유형 ①: 문제에 제시된 두 양을 이용하는 경우(藤井斉亮 외, 2013c, p. 44) [Fig. 9] The first type: Using two quantities presented in the problem

[그림 10] 유형 ②: 문제에 제시된 단위량을 이용하여 다른 양을 구하는 경우(藤井斉亮 외, 2013c, p. 45) [Fig. 10] The second type: Finding the other quantity using the unit quantity presented in the problem

[그림 11] 유형 ③: 문제에 제시된 양을 이용하여 단위량을 구하는 경우(藤井斉亮외, 2013c, p. 46) [Fig. 11] The third type: Finding the unit quantity using a quantity presented in the problem

[그림 12] 결과 값을 구체적으로 어림하기 위하여 이중 척도 모델을 제시한 예(藤井斉亮 외, 2013g, p. 23) [Fig. 12] An example of using a double scale model to estimate the result

[그림 13] 계산 원리를 탐색하기 위해 이중 척도 모델을 제시한 예(藤井斉亮 외, 2013e, p. 33) [Fig. 13] An example of using a double scale model to investigate a principle of computation

[그림 14] 분할 나눗셈 맥락에서 띠를 사용한 예(藤井斉亮 외, 2013a, p. 28) [Fig. 14] An example using tape diagram in the context of partitive division

[그림 15] 이중 척도 모델의 제시 형태 변화 과정 ①: 곱셈(藤井斉亮외, 2013a, p. 93) [Fig. 15] The first type of double scale models: Multiplication

[그림 16] 이중 척도 모델의 제시 형태 변화 과정 ②: 곱셈(藤井斉亮외, 2013a, p. 99) [Fig. 16] The second type of double scale models: Multiplication

[그림 17] 이중 척도 모델의 제시 형태 변화 과정 ③: 곱셈(藤井斉亮외, 2013b, p. 63) [Fig. 17] The third type of double scale models: Multiplication

[그림 18] 이중 척도 모델의 제시 형태 변화 과정 ④: 곱셈(藤井斉亮외, 2013e, p. 32) [Fig. 18] The fourth type of double scale models: Multiplication

[그림 19] 시각적 표현이 도식화되는 예(藤井斉亮 외, 2013b, p. 60) [Fig. 19] An example of changing a visual representation into a schematic diagram

[그림 20] 시각적 표현이 도식화되는 다른 예(藤井斉亮 외, 2013c, p. 74) [Fig. 20] Another example of changing a visual representation into a schematic diagram

[그림 21] 영역 모델과 수직선을 합성한 형태의 예(藤井斉亮 외, 2013f, pp. 89-90) [Fig. 21] An example of type synthesizing an area model and a number line

[그림 22] 띠를 2개 사용한 예(藤井斉亮 외, 2013b, p. 60) [Fig. 22] An example of using two tape diagrams

[그림 23] 이중 척도 모델의 제시 형태 변화 과정 ①: 배 (藤井斉亮외, 2013c, p. 44) [Fig. 23] The first type of double scale models: Times

[그림 24] 이중 척도 모델의 제시 형태 변화 과정 ②: 배 (藤井斉亮외, 2013d, p. 89) [Fig. 24] The second type of double scale models: Times

[그림 25] 이중 척도 모델의 제시 형태 변화 과정 ③: 배 (藤井斉亮외, 2013e, p. 39) [Fig. 25] The third type of double scale models: Times

[그림 26] 이중 척도 모델의 제시 형태 변화 과정 ④: 배 (藤井斉亮외, 2013e, p. 54) [Fig. 26] The fourth type of double scale models: Times

[그림 27] 측정 나눗셈 맥락에서 띠를 사용한 예(藤井斉亮 외, 2013a, p. 32) [Fig. 27] An example using tape diagram in the context of measurement division

[표 2] Carpenter 외(1999, pp. 66-67)가 제시한 문제 맥락의 분류 예시 [Table 2] Examples of problem contexts by Carpenter et al. (1999, pp. 66-67)

[표 1] 일본 교과서에 제시된 이중 척도 모델에 관한 분석의 초점 [Table 1] Focus of analyzing double scale models presented in Japanese mathematics textbooks

[표 3] 이중 척도 모델이 제시된 단원의 학습 내용 [Table 3] Learning contents of units dealing with double scale models

[표 4] 학년별 이중 척도 모델의 제시 목적 [Table 4] Purposes using double scale models according to the grade levels

[표 5] 학년별 이중 척도 모델의 제시 형태 [Table 5] Type of double scale models presented in each grade

[표 6] 이중 척도 모델이 제시된 문제 맥락의 분류 [Table 6] Categorization of problem contexts dealing with double scale models