Abstract
A modular exponentiation( E$M^{$=varepsilon$}$mod N) is one of the most important operations in Public-key cryptography. However, it takes much time because the modular exponentiation deals with very large operands as 512-bit integers. Modular exponentiation is composed of repetition of modular multiplications, and the number of repetition is the same as the length of the addition-chain of the exponent(E). Therefore, we can reduce the execution time of modular exponentiation by finding shorter addition-chain(i.e. reducing the number of repetitions) or by reducing the execution time of each modular multiplication. In this paper, we propose an addition-chain heuristics and two fast modular multiplication algorithms. Of two modular multiplication algorithms, one is for modular multiplication between different integers, and the other is for modular squaring. The proposed addition-chain heuristics finds the shortest addition-chain among exisiting algorithms. Two proposed modular multiplication algorithms require single-precision multiplications fewer than 1/2 times of those required for previous algorithms. Implementing on PC, proposed algorithms reduce execution times by 30-50% compared with the Montgomery algorithm, which is the best among previous algorithms.
모듈라 멱승 연산(M$^{E}$ modN)은 공개키 암호시스템에 있어서 가장 기본적이고 중요한 연산들 중 하나이다. 그런데 이는 512-비트 이상의 정수들과 같이 매우 큰 수들을 다루기 때문에, 수행속도가 느려서 빠른 연산 알고리즘을 필요로 한다. 모듈라 멱승 연산은 모듈라 곱셈의 반복 수행으로 이루어져있고, 이 때의 반복횟수는 지수(E)에 대한 덧셈사슬의 길이에 의해 결정된다. 따라서, 모듈라 멱승 연산을 빠르게 수행하기 위한 방법에는 두 가지가 있을 수 있다. 하나는 보다 짧은 덧셈사슬을 구함으로써 모듈라 곱셈의 반복횟수를 줄이는 것이고, 다른 하나는 각각의 모듈라 곱셈을 빠르게 수행하는 것이다. 본 논문에서는 하나의 덧셈사슬 휴리스틱과 두 개의 모듈라 곱셈 알고리즘들을 제안한다. 두개의 모듈라 곱셈 알고리즘들 중 하나는 서로 다른 두 수들 간의 모듈라 곱셈을 빠르게 수행하기 위한 것이고, 다른 하나는 모듈라 제곱을 빠르게 수행하기 위한 것이다. 본 논문에서 제안하는 덧셈사슬 휴리스틱은 기존의 알고리즘들보다 짧은 덧셈사슬을 찾을 수 있다. 본 논문에서 제안하는 모듈라 곱셈 알고리즘들은 기존의 알고리즘들 보다 1/2 이하의 단정도 곱셈만으로 모듈라 곱셈을 수행한다. 실제로 PC에서 구현하여 수행한 결과, 기존의 알고리즘들 중 가장 좋은 성능을 보이는 Montgomery 알고리즘에 비해 30~50%의 성능향상을 보인다.